Analiza I

WPPT PWr

Wprowadzenie

Wa˙zne wzory, fakty i nierówno´sci

1. 1 + 2 + . . . + n =

n(n+1)

2

2. 1

2

+ 2

2

+ . . . + n

2

=

1
6

n(n + 1)(2n + 1)

3. Je´sli q 6= 1 to 1 + q + q

2

+ . . . + q

n

=

1−q

n+1

1−q

4.

√

2 /

∈ Q

5. Bernouli: (∀x ≥ −1)(∀n ∈ N) ((1 + x)

n

≥ 1 + nx)

6. n! = 1 · 2 · . . . n

7.

n
k

=

n!

k!(n−k)!

8.

n
k

+

n

k+1

=

n+1
k+1

9. |x + y| ≤ |x| + |y|

10. Nierówno´s´c trójk ˛

ata: |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|

11. Wzór dwumianowy: (x + y)

n

=

P

n
k=0

n
k

x

k

y

n−k

12. Cauchy: |

P

k
n=1

a

n

b

n

| ≤

q

P

k
n=1

a

2

n

q

P

k
n=1

a

2

n

Indukcja matematyczne

1. Wariant 1: Ka˙zdy niepusty podzbiór N ma element najmniejszy.

2. Wariant 2: Je´sli A ⊆ N, a ∈ A oraz

(∀n)(n ∈ A → n + 1 ∈ A), to (∀n ∈ N)(n ≥ a → n ∈ A)

3. Wariant 3: Nie istnieje ostro malej ˛

acy niesko´nczony ci ˛

ag liczb

naturalnych.

Uwaga: wszystkie powy˙zsze warianty indukcji s ˛

a równowa˙zne.

Supremum

Def. α = sup(A) je´sli (∀x ∈ A)(x ≤ α) oraz

(∀β) ((∀x ∈ A)(x ≤ β) → α ≤ β)

Zasada supremum: Ka˙zdy ograniczony z góry zbiór liczb
rzeczywistych ma supremum.

Ci ˛

agi

Def.

g = lim

n

a

n

je´sli

(∀ε > 0)(∃N )(∀n > N )(|a

n

− g| < ε)

Tw.

Ka˙zdy monotoniczny, ograniczony ci ˛

ag jest zbie˙zny.

Wa˙zne granice i wzory:

1. lim

n

1

n

= 0

2. lim

n

(a

n

± b

n

) = lim

n

a

n

± lim

n

b

n

3. lim

n

(a

n

· b

n

) = lim

n

a

n

· lim

n

b

n

4. lim

n

a

n

b

n

=

lim

n

a

n

lim

n

b

n

je´sli lim

n

b

n

6= 0

5. Je´sli |q| < 1 to lim

n

q

n

= 0

6. lim

n

n

√

n = 1

Tw.

Je´sli ci ˛

ag jest zbie˙zny do granicy g to ka˙zdy jego (niesko´nczony)

podci ˛

ag jest zbie˙zny do g

Tw.

[

Weierstrass

] Ka˙zdy ograniczony ci ˛

ag posiada podci ˛

ag zbie˙zny.

Tw.

[O trzech ci ˛

agach] Je´sli a

n

≤ b

n

≤ c

n

dla wszystkich n oraz

lim a

n

= lim c

n

= g to lim b

n

= g.

Def.

e =

P

k

1

k!

= 2.7182818284590452353602874713...

Def.

Ci ˛

ag (a

n

) jest ci ˛

agiem Cauchy’ego je´sli

(∀ε > 0)(∃N )(∀n, m > N )(|a

n

− a

m

| < ε)

Tw.

Ka˙zdy ci ˛

ag Cauchy’ego jest zbie˙zny.

Tw.

Je´sli

P

∞
n=0

|a

n

| < ∞ to szereg

P

∞
n=0

a

n

jest zbie˙zny.

Wa˙zne granice :

1. lim(1 +

1

n

)

n

= e

2.

P

∞
n=1

1

n(n+1)

= 1

3.

P

∞
n=1

1

n

= ∞

4.

P

∞
n=1

1

n

a

< ∞ ↔ a > 1

5.

P

∞
n=1

(−1)

n+1

n

jest zbie˙zny

Def.

Liczba g jest punktem skupienia ci ˛

agu (a

n

) je´sli

(∀ε > 0)(∀N )(∃n > N )(|a

n

− g| < ε)

Tw.

g jest punktem skupienia ci ˛

agu (a

n

) wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje poci ˛

ag ci ˛

agu (a

n

) zbie˙zny do g

Def.

g = lim sup

n

a

n

je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje N takie, ˙ze

(∀n > N )(a

n

< g + ε) oraz (∀ε > 0)(∀N )(∃n > N )(a

n

> g − ε)

Tw.

lim sup

n

a

n

= sup{g : g jest punktem skupienia (a

n

)}

Tw.

[Kryterium d’Alamberta] Je´sli lim sup

n

|

a

n+1

a

n

| < 1 to

P

∞
n=0

|a

n

| < ∞.

Tw.

[Kryterium Cauchy’ego] Je´sli lim sup

n

|

n

p|a

n

| < 1 to

P

∞
n=0

|a

n

| < ∞.

Tw.

[O zag˛eszczaniu] Je´sli a

0

≥ a

1

≥ a

2

≥ . . . ≥ 0 to

P

∞
n=0

a

n

< ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

P

∞
n=0

2

n

a

2

n

< ∞.

Def.

(a

n

) = O((b

n

)) je´sli istnieje C > 0 oraz N takie, ˙ze

(∀n > N )(|a

n

| ≤ C|b

n

|)

Tw.

(a

n

) = O((b

n

)) wtedy i tylko wtedy, gdy lim sup

n

|

a

n

b

n

| < ∞.

Def.

(a

n

) = Θ((b

n

)) je´sli (a

n

) = O((b

n

)) i (b

n

) = O((a

n

))

Funkcje ci ˛

agłe

Trygonometria w kapsułce:

e

i·t

= cos(t) + i sin(t)

, gdzie t ∈ R.

1. sin

2

(x) + cos

2

(x) = 1

2. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

3. cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)

4. tan(x + y) =

tan(x)+tan(y)

1−tan(x) tan(y)

Def.

Funkcja f : A → R jest ci ˛

agła w punkcie x

0

∈ A je´sli

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)(|x − x

0

| < δ → |f (x) − f (x

0

)| < ε)

Def.

Funkcja f : A → R jest ci ˛

agła je´sli jest ci ˛

agła w ka˙zdym punkcie

zbioru A.

Suma, ró˙znica, iloczyn oraz iloraz dwóch funkcji ci ˛

agłych jest funkcj ˛

a

ci ˛

agł ˛

a. Wszystkie wielomiany s ˛

a ci ˛

agłe. Je´sli f jest ci ˛

agła to równie˙z |f |

jest ci ˛

agła. Zło˙zenie funkcji ci ˛

agłych jest ci ˛

agłe. Funkcja Dirichleta

D(x) = [[x ∈ Q]] nie jest ci ˛

agła w ˙zadnym punkcie.

Def.

exp(x) =

P

∞
n=0

x

n

n!

Podstawowe własno´sci: exp(x + y) = exp(x) exp(y), exp(x) = e

x

.

Tw.

Funkcja f : A → R jest ci ˛

agła w punkcie x

0

∈ A wtedy i tylko

wtedy, gdy dla dowolnego ci ˛

agu (a

n

) punktów ze zbioru A zbie˙znego

do x

0

mamy lim

n

f (a

n

) = f (lim

n

a

n

)

Tw.

Je´sli funkcja f : (a, b) → R jest ci ˛

agła i f(a)<0<f(b), to istnieje

takie c ∈ (a, b), ˙ze f (c) = 0.

Tw.

Je´sli funkcja f : (a, b) → R jest ci ˛

agła i monotoniczna, to

f [(a, b)] = (α, β) dla pewnych α, β oraz f

−1

: (α, β) jest ci ˛

agła.

Def.

ln(x) = exp

−1

(x)

Podstawowe własno´sci logarytmu: ln(exp(x)) = x,
ln(x · y) = ln x + ln y, ln(x

a

) = a ln x, x

a

= exp(a ln x),

log

2

x =

ln x
ln 2

, ln(2) ≈ 0.693147.

Def.

Niech f : A → R i x

0

∈ (a, b). Wtedy lim

x→x

0

f (x) = g je´sli

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)(0 < |x − x

0

| < δ → |f (x) − g| < ε)

Funkcja f jest ci ˛

agła w punkcie a je´sli lim

x→a

f (x) = f (a)

Tw.

[

Weierstrass

] Je´sli f : [a, b] → R jest ci ˛

agła to istnieje x

0

∈ [a, b]

takie, ˙ze f (x

0

) = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}

Def.

Niech f : R → R. Wtedy lim

x→∞

f (x) = g je´sli

(∀ε > 0)(∃D)(∀x > D)(|f (x) − g| < ε)

Def.

Niech f : A → R i x

0

∈ (a, b). Wtedy lim

x→x

0

f (x) = ∞ je´sli

(∀E)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)(0 < |x − x

0

| < δ → f (x) > E)

Istnieje szereg dalszych wariantów granicy: w −∞, lewostronne,
prawostronne itd.

Ró˙zniczkowanie

Def.

f

0

(x) = lim

h→0

f (x+h)−f (x)

h

Podstawowe wzory

1. (x

a

)

0

= ax

a−1

2. (f ± g)

0

= f

0

± g, (f · g)

0

= f

0

· g + f · g

0

,

(f /g)

0

= (f

0

· g − f · g

0

)/(g

2

)

3. (f ◦ g)

0

(x) = f

0

(g(x)) · g

0

(x)

4. (f

−1

)

0

(x) = 1/f

0

(f

−1

(x))

5. (e

x

)

0

= e

x

, (ln x)

0

= 1/x, sin

0

(x) = cos(x),

cos

0

(x) = − sin(x) (ln(x))

0

= 1/x,

arcsin(x)

0

= 1/

√

1 − x

2

, (arctan(x))

0

= 1/(1 + x

2

),

(a

x

)

0

= ln(a)a

x

Def.

f ma lokalne maksimum (minimum) w punkcie a je´sli istnieje

ε > 0 takie, ˙ze f (x) ≤ f (a) (f (x) ≥ f (a)) dla wszystkich
x ∈ (a − ε, a + ε)

Tw.

Je´sli f jest ró˙zniczkowalna w (a, b) oraz ma lokalne ekstremum w

punkcie c ∈ (a, b) to f

0

(c) = 0.

Tw.

[Rolle] Je´sli f : [a, b] → R jest ci ˛

agła, ró˙zniczkowalna w (a, b)

oraz f (a) = f (b) = 0 to istnieje c ∈ (a, b) takie, ˙ze f

0

(c) = 0.

Tw.

[Lagrange] Je´sli f : [a, b] → R jest ci ˛

agła oraz ró˙zniczkowalna w

(a, b) to istnieje c ∈ (a, b) takie, ˙ze

f (b) − f (a)

b − a

= f

0

(c)

Tw.

[Cauchy] Je´sli f, g : [a, b] → R s ˛

a ci ˛

agłe i ró˙zniczkowalna w (a, b)

oraz g

0

(x) 6= 0 dla x ∈ (a, b) to istnieje c ∈ (a, b) takie, ˙ze

f (b) − f (a)

g(b) − g(a)

=

f

0

(c)

g

0

(c)

Tw.

[Wzór Taylora] f (x + h) =

P

n−1
k=0

f

(k)

(x)

k!

h

k

+

f

(n)

(ζ)

n!

h

n

dla

pewnego ζ ∈ (x, x + h)

Badanie własno´sci funkcji

Ka˙zda funkcja jest sum ˛

a funkcji parzystej i nieparzystej:

f (x) =

f (x) + f (−x)

2

+

f (x) − f (−x)

2

Tw.

Je´sli dla ka˙zdego x ∈ (a, b) mamy f

0

(x) > 0 to f jest ostro

rosn ˛

aca na (a, b)

Tw.

Je´sli δ > 0 i f

0

(x) < 0 dla x ∈ (a − δ, a) oraz f (x) > 0 dla

x ∈ (a, a + δ) i f jest ci ˛

agła w punkcie a to f ma lokalne ekstremum w

punkcie a

Def.

Funkcja f : (a, b) → R jest wypukła je´sli dla ka˙zdych

α, β ∈ (a, b) oraz t ∈ (0, 1) prawdziwa jest nierówno´s´c

f (tα + (1 − t)β) ≤ tf (α) + (1 − t)f (β)

Tw.

Je´sli dla ka˙zdego x ∈ (a, b) mamy f

00

(x) > 0 to f jest wypukła na

(a, b)

Tw.

Je´sli f

0

(a) = 0 i f

00

(x) > 0 (f

00

(x) < 0) w pewnym otoczeniu a

to f ma lokalne minimum (maksimum) w punkcie a

Tw.

[Jensen] Je´sli f jest wypukła na przedziale [a, b], to dla dowolnych

x

1

, . . . n

n

∈ [a, b] oraz t

1

, . . . t

n

≥ 0 takich, ˙ze t

1

+ . . . + t

n

= 1

mamy f (t

1

x

1

+ . . . + t

n

x

n

) ≤ t

1

f (x

1

) + . . . t

n

f (x

n

).

Tw.

Je´sli x

1

, . . . , x

n

> 0 to

n

1

x

n

+ . . . +

1

x

n

≤

n

√

x

1

· x

n

≤

x

1

+ . . . + x

n

n

Rachunek całkowy

Podział odcinka [a, b]: ci ˛

ag σ = (x

0

, x

1

, . . . , x

n

) taki, ˙ze

a = x

0

< x

1

< . . . < x

n

= b. u

Całka Riemanna

Def.

Niech f : [a, b] → R oraz niech σ b˛edzie podziałem odcinka [a, b].

Sum ˛

a doln ˛

a i sum ˛

a górn ˛

a Riemana funkcji f dla podziału σ nazywamy

liczby

s(f, σ) =

X

I∈σ

inf

x∈I

(f (x)) · |I| ,

S(f, σ) =

X

I∈σ

sup

x∈I

(f (x)) · |I| .

Def.

Funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna je´sli

sup{s(f, σ) : σ ∈ Σ} = inf{S(f, σ) : σ ∈ Σ}

gdzie Σ jest zbiorem wszystkich podziałów odcinka [a, b]. Liczb˛e t˛e
nazywamy całk ˛

a Riemana z funkcji f na odcinku [a, b] i oznaczana jest

symbolem

R

b

a

f (x)dx.

Tw.

Funkcje ci ˛

agłe s ˛

a całkowalne w sensie Riemanna.

Przykład: Funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych
(f (x) = 1 dla x ∈ Q oraz f (x) = 0 dla x ∈ R \ Q) nie jest całkowalna
(w sensie Riemana) na ˙zadnym przedziale.

Tw.

Je´sli a < b < c to

R

c

a

f (x)dx =

R

b

a

f (x)dx +

R

c

b

f (x)dx

Tw.

Je´sli f : [a, b] → R jest ci ˛

agła, to istnieje c ∈ (a, b) takie, ˙ze

R

b

a

f (x)dx = f (c) · (b − a)

Tw.

[

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

] Je´sli funkcja

f : R → R jest ci ˛

agła, to

d

dx

Z

x

a

f (t)dt



= f (x)

Całka nieoznaczona

Def.

(F (x) =

R g(x)dx) ⇔ (F

0

= g)

Całk˛e nieoznaczon ˛

a z funkcji f nazywamy równie˙z funkcj ˛

a pierwotn ˛

a

funkcji f .

Tw.

Je´sli F =

R f (x)dx to R

b

a

f (x)dx = F (b) − F (a)

Podstawowe wzory

1.

R

1
x

= ln(x) + C

2. je´sli a 6= −1 to

R x

a

dx =

1

a+1

x

a+1

+ C

3.

R e

x

dx = e

x

+ C,

4.

R sin(x)dx = cos(x) + C,

5.

R cos(x)dx = − sin(x) + C

6.

R

1

1+x

2

dx = arctan(x) + C

7.

R f

0

(x)g(x)dx = f (x)g(x) −

R f (x)g

0

(x)dx

8. Je´sli g jest monotoniczna na [a, b], to

R

b

a

f (g(t))g

0

(t)dt =

R

g(b)

g(a)

f (x)dx

Zastosowania

Tw.

e(

n

e

)

n

< n! < e(n + 1)(

n

e

)

n

Tw.

ln(n + 1) < H

n

< 1 + ln(n), gdzie H

n

=

P

n
k=1

1
k

1. koło o promieniu r ma pole πr

2

2. elipsa zadana równaniem

x

2

a

2

+

y

2

b

2

≤ 1 ma pole πab.

3. koło o promieniu r ma obwód 2πr

4. kula o promieniu r ma obj˛eto´s´c

3
4

πr

3

5. kula o promieniu r ma powierzchni˛e 4πr

2

6. je´sli f

00

(t) = g dla t ∈ R, to f (t) =

1
2

gt

2

+ v

0

t + x

0

, gdzie

x

0

= f (0) oraz v

0

= f

0

(0).

Szeregi pot˛egowe

Def.

Niech f (x) =

P

∞
n=0

a

n

x

n

. Promieniem zbie˙zno´sci f (x)

nazywamy liczb˛e r = sup{x :

P

∞
n=0

|a

n

x

n

| < ∞}.

Tw.

r = (lim sup

n

p|a

n

|)

−1

Tw.

Je´sli r jest promieniem zbie˙zno´sci f (x) oraz x ∈ (−r, r) to f jest

ró˙zniczkowalna w x, f

0

(x) =

P

n≥1

na

n

x

n−1

oraz promie´n

zbie˙zno´sci f

0

równie˙z wynosi r

Tw.

Je´sli r jest promieniem zbie˙zno´sci szeregu pot˛egowego f (x) =

P

∞
n=0

a

n

x

n

, oraz |x| < r to

R

x

0

f (t)dt =

P

n≥0

1

n+1

a

n

x

n+1

.

Tw.

ln

1

1−x

=

P

∞
k=1

1
k

x

k

dla |x| < 1

Tw.

sin(x) =

P

∞
k=0

(−1)

k x

2k+1

(2k+1)!

Tw.

cos(x) =

P

∞
k=0

(−1)

k x

2k

(2k)!

Funkcje specjalne

Tw.

[Wzór Stirlinga] n! ≈

√

2πn

n

e

n

Def.

Γ(x) =

R

∞

0

t

x−1

e

−t

dt (dla x > 0)

Tw.

Je´sli n ∈ N to Γ(n + 1) = n!

Def.

B(a, b) =

R

1

0

x

a−1

(1 − x)

b−1

Tw.

Je´sli a, b ∈ N

+

to B(a, b) =

Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b)

Def.

Dla a ∈ R oraz k ∈ N:

a
k

=

a

k

k!

, gdzie a

k

=

Q

k−1
i=0

(a − i)

Tw.

Dla ka˙zdego a ∈ R i |x| < 1 mamy (1 + x)

a

=

P

k≥0

a
k

x

k

Podstawowe polecenia programu
Mathematica

1. Plot[f[x],{x, a, b}]: rysowanie wykresu funkcji jednej zmiennej

2. Limit[a[n], n -> \[Infinity]]: granica ci ˛

agu a[n]

3. D[f[n], x]: pochodna funkcji f[x]

4. D[f[n], {x, 2}]: pochodna drugiego rz˛edu funkcji f[x]

5. Integrate[f[x],x]: całka nieoznaczona z funkcji (wzgl˛edem

zmiennej x)

6. Integrate[f[x],{x, a, b}]: całka oznaczona z funkcji na przedziale

[a, b]

7. Simplify[w]: upraszczanie wyra˙zenia w

8. FullSimplify[w]: dokładniejsze upraszczanie wyra˙zenia w

9. Solve[u == v,x]: rozwi ˛

a˙z równanie u = v wzgl˛edem zmiennej x

10. Plot[f[x,y],{x, a, b}, {y, c, d}]: rysowanie wykresu funkcji

dwóch zmiennych