Natalia Parchańska
TWIERDZENIE TALESA - GIMNAZJUM
Omówione podręczniki to: „Matematyka krok po kroku”, „Matematyka Nowej
Ery”, „Matematyka z plusem”.
W którym miejscu jest wprowadzone, co jest potrzebne aby je wprowadzić?
Potrzebna jest znajomość pojęcia proste równoległe znajomość kątów, oraz umiejętność układania proporcji.
„Matematyka krok po kroku”- wprowadzone jest w pierwszym semestrze trzeciej klasy w dziale przekształcenia geometryczne. ”Matematyka Nowej Ery” – początek drugiego semestru drugiej klasy, jako cały duży dział.
”Matematyka z plusem” – początek drugiego semestru trzeciej klasy w dziale figury podobne.
Sposoby wprowadzenia.
„Matematyka krok po kroku”
Na początku działu krótka notka dotycząca Talesa. Następnie zostaje zaznaczone to ze teraz zostaje omówione jedno z najważniejszych twierdzeń geometrii. Kolejno za pomocą konstrukcji zostaje udowodnione twierdzenie Talesa oraz podana jedna z najczęściej spotykanych wersji tego twierdzenia.:
Jeżeli dwie proste przecinające się przetniemy kilkoma prostymi równoległymi, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez proste równoległe na jednej z prostych jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków na drugiej prostej (odpowiednie odcinki są wyznaczone przez te same pary prostych równoległych).
Jako przykład zastosowania Talesa zostaje rozwiązane zadanie, w którym dzięki twierdzeniu Talesa wyznaczamy długość odc. X.
Następnie na przykładzie pokazany jest podział odcinka na równe części i podział odcinka w stosunku 2:3.
Podanie innej formy twierdzenia Talesa.
Zadanie polegające na tym ze mając podane odcinki a, b, c należy skonstruować odcinek d taki ze a/b =c/d. Jakie inne proporcje można ułożyć przy użyciu tych wielkości Czy zawsze konstrukcja odcinka o długości d będzie przebiegała w ten sam sposób?
Przejście do zadań.
„Matematyka Nowej Ery”
Nawiązanie do wakacji. Historyjka o promie i statkach. Na początek 2 zadania:
Dwa statki płyną ze stałą v w kierunkach przedstawioną na rysunku. Statki nie mogą się zderzyć. Z jaką v nie może płynąc statek b jeżeli statek a płynie z v 10 węzłów Wyznacz geometrycznie v statku b jeśli statek a płynie dokładnie na wschód z v 20 węzłów, a statek b na południe i oba statki mają się spotkać. Położenie statków zostało przedstawione na rysunku.
Przypomnienie wiadomości o odcinkach proporcjonalnych. Oraz 3 zadania dotyczące proporcjonalności.
Krótka historia o Talesie.
Podanie twierdzenia Talesa:
Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to stosunek długości odcinków powstałych na jednym ramieniu będzie równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.
Następnie zostaje umieszczony dowód i inna forma tego twierdzenia .
Przejście do zadań.
„Matematyka z plusem”
Na początku króciutka legenda o Talesie i piramidach. Następnie umieszczony zostaje rysunek pokazujący drzewo, Talesa i ich cienie oraz zadanie: Przyjrzyj się rysunkowi. Ile razy cień człowieka jest dłuższy od wysokości człowieka ? Jak myślisz, ile razy cień drzewa jest dłuższy od wysokości drzewa? Jaką wysokość ma drzewo?
Tales przy swoich pomiarach korzystał z faktu, że długości cieni są proporcjonalne do wysokości przedmiotów rzucających te cienie.
Objaśnienie pojęcia proporcjonalności odcinków.
Ćwiczenie polegające na sprawdzeniu proporcjonalności wskazanych odcinków. Ćwiczenie to ilustruje ogólną własność, nazywaną twierdzeniem Talesa.
B’
A’
O
A B
Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.
$$\frac{|OA^{'}|}{|OA|} = \ \frac{|OB'|}{|OB|}$$
Uwaga: Zakładamy, że kąt ma miarę mniejszą niż 180 stopni.
Kolejno zostają pokazane inne proporcje często wykorzystywane przy rozwiązywaniu zadań.
Następnie przedstawiona jest krótka biografia Talesa.
Przejście do zadań
Jakie problemy, trudności mogliby mieć uczniowie podczas realizacji tego zagadnienia?
Mogą wystąpić trudności z dopasowaniem odpowiednich odcinków, które trzeba dopasować do proporcji.
Podczas realizacji, jakich tematów są one później wykorzystywane?
W geometrii, przy obliczaniu odcinków.
Czy występują i w jakiej postaci na egzaminach zewnętrznych, podać przykłady zadań uwzględniając poszczególne standardy.
2003 r. Ewa usiadła na ławce w odległości 6 m od domu Adama. Odbity od kałuży słoneczny promień poraził ja w oczy. To Adam z okna swego pokoju przesłał Ewie zajączka. Oblicz, na jakiej wysokości Adam błysnął lusterkiem, jeśli promień odbił się w odległości 0,75 m od Ewy, a jej oczy znajdowały się na wysokości 1 m nad ziemią. Zrób rysunek pomocniczy. Zapisz obliczenia.
- standard IV. 1. Stosowanie techniki twórczego rozwiązywania problemów
2006 Rysunek przedstawia szkic przekroju dachu dwuspadowego. Wysokość dachu GC = 54 m a szerokość podstawy Ab = 14,4m. Oblicz długość krokwi AC i długość belki DE wiedząc ze odległość belki od podstawy dachu jest równa 2,4 m (czyli FG=2,4). Zapisz obliczenia.
- standard I.2. Wykonywanie obliczeń w sytuacjach praktycznych
IV.2 Standard analizowanie sytuacji problemowej – oblicz długość odcinka mając podane długości 3 odcinków
I.3. Posługiwanie się własnościami figur – do wszystkich zadań
IV.1 Stosowanie techniki twórczego rozwiązywania problemów – obliczanie długość drzewa mając dane długości określające wzrost człowieka, jego cienia i cienia drzewa
IV.4 Tworzenie i realizowani planu rozwiązania – podział odcinka na stosunki
4. Czy można w jakiś sposób wykorzystać je podczas realizacji ścieżek międzyprzedmiotowych lub podczas realizacji programu z innego przedmiotu?
Można wiadomości te wykorzystać podczas realizacji programu z innych przedmiotów np.:
Fizyka – Na przejeździe kolejowym dłuższe ramię zapory ma długość równą 5m, natomiast krótsze ramię ma długość równą 1m. O ile centymetrów podniesie się koniec dłuższego ramienia zapory, jeżeli koniec krótszego ramienia obniży się o 90 cm? Czy potrafisz wyjaśnić, dlaczego koniec krótszego ramienia zapory jest dodatkowo obciążony?
Technika – Stolarz przepiłował deskę na dwie części tak, że stosunek długości otrzymanych części był równy 2:5. Korzystając z informacji podanych na rysunku, oblicz długość deski.
2x 2x + 6
Biologia – drzewo wysokości 12m rzuca cień długości 10m, a rosnący obok krzew rzuca cień długości 1,5m. Oblicz wysokość krzewu.
Plastyka – wykorzystanie twierdzenia przy rysowaniu prespektywy.
Zadania wykorzystujące twierdzenie Talesa w realizacji ścieżek międzyprzedmiotowych:
- ścieżka czytelnicza i medialna – W niektórych aparatach fotograficznych film znajduje się w odległości 3cm od obiektywu. Oblicz wysokość sfotografowanego obiektu, jeżeli zdjęcie wykonano z odległości 15m, a wysokość tego obiektu na negatywie wynosi 25mm
- ścieżka prozdrowotna – Siatka tenisowa ma wysokość 0,9m. Serwujący zawodnik stoi 12m od siatki i uderza piłkę znajdującą się na wysokości 2,7m. W jakiej najbliższej odległości od siatki może upaść piłka na boisko przeciwnika, jeżeli przyjmiemy, że zaserwowana piłka leci po linii prostej?
- obrona cywilna – oblicz długość lufy armaty, korzystając z danych przedstawionych na rysunku (rys.)
- integracja europejska –Podczas meczu Polska – Niemcy ma być wykonany rzut wolny. Piłka znajduje się naprzeciwko środka bramki, 2m przed linią pola karnego. Obrońcy ustawiają mur w odległości 9m od piłki. Oblicz, ilu zawodników powinno stanąć w murze, aby zasłonić całą szerokość ramki. Przyjmij, że każdy z zawodników tworzy fragment muru o szerokości 0,5m. (Szerokość bramki – 7,32m; odległość linii pola karnego od bramki - 16m)
Sformułować cele operacyjne do poszczególnych zagadnień.
Uczeń rozumie:
treść twierdzenia Talesa
potrzebę stosowania twierdzenia Talesa
Uczeń potrafi:
stosować twierdzenie Talesa w zadaniach rachunkowych
rozwiązywać równania w postaci proporcji
rozwiązywać zadania tekstowe związane z twierdzeniem Talesa i twierdzeniem odwrotnym
Uczeń zna:
pojęcie proporcji i jej własności
pojęcie odcinków proporcjonalnych
twierdzenie Talesa
Przedstawić podstawowe zadania, które należałoby wykonać z uczniami, aby mogli opanować to zagadnienie. Zadania ciekawe, oryginalne, zadania dla uczniów bardzo zdolnych.
Zadania typowe:
Oblicz długość odcinka AB
6
3
A
2 B
Oblicz długość odcinka a
35
28
20 a
Popatrz na rysunek poniżej. Znajdź brakujące wyrazy proporcji.
$$\frac{x}{z} = \ \frac{x + y}{?}$$
t b
z a
x y
W trapezie ABCD podstawy AB i DC mają długości 10cm i 5cm, a ramię AD ma długość 4cm. Przedłużenia ramion przecinają się w punkcie E. Oblicz długość odcinka DE.
Narysuj trzy różne odcinki i oznacz, je literami a, b i c. Skonstruuj odcinek takiej długości x, aby spełniona była równość $\frac{a}{b} = \ \frac{c}{x}\ $
Zadania ciekawe:
Z dwóch miejscowości wyjeżdżają jednocześnie na spotkanie Zbyszek i Magda. Wskaż miejsce ich spotkania, wiedząc, że stosunek prędkości pojazdów, którymi się poruszają, jest równy 4:5. Rozważ dwa przypadki.
Narysuj dwa odcinki i oznacz ich długości przez a oraz przez b. Następnie skonstruuj odcinek, którego długość jest równa $\frac{3}{4} \bullet a - \ \frac{2}{7} \bullet b.$ Czy taka konstrukcja jest zawsze wykonalna? Jaki warunek muszą spełniać liczby a i b?
Punkty A = (2,2) i B = (3,3) należą do prostej o równaniu y = x. Przez punkt C = (4, -1) poprowadzono prostą AC, a przez punkt B prostą równoległą do AC. Oblicz długość odcinka wyznaczonego przez te proste na osi odciętych.
Obserwując słupy telegraficzne ustawione wzdłuż drogi, wydaje nam się, że ich wysokość się zmniejsza wraz ze zwiększaniem się odległości od obserwatora. Wiedząc, że:
Słupy telegraficzne mają 12m wysokości,
Są ustawione od siebie w odległości 40m,
Pozornie tracą na tej odległości 10cm wysokości,
Oblicz długość odcinka do pozornego zetknięcia się słupów z ziemią.
Drabina ma 140cm długości. Odstęp pomiędzy szczeblami drabiny jest równy 20cm. Odległość między bokami drabiny w jej dolnej części jest równa 50cm, a w górnej 40cm. O ile centymetrów zmniejsza się długość poszczególnych szczebli drabiny?
Jakie ciekawe metody, środki dydaktyczne można wykorzystać podczas realizacji tego zagadnienia?
Można wykorzystać metodę projektu, praca w grupach, karty pracy.