NAPĘD

ELEKTRYCZNY

Teresa Orłowska-Kowalska,

prof. dr hab. inż.

Zakład Napędów Elektrycznych

www.imne.pwr.wroc.pl/zne

godz. konsultacji: śr.11-13, pt.9-

11

WYKŁAD 2

Równanie ruchu

układu napędowego

Równanie ruchu UN

Równanie ruchu formułuje się na podstawie:
• zasady Hamiltona (najmniejszego działania),
• zasady zachowania energii (prosta

interpretacja fizyczna).

Całkowita energia E

e

dostarczona

przez silnik SE do maszyny roboczej
MR:
energia użyteczna E

u

+ energia

kinetyczna E

k

(zmagazynowana w układzie
napędowym - w masach wirujących).

Równanie ruchu UN

SE

MR

E

k

(J)



M

e

M

o

E

u

E

e

E

E

E

e

u

k





czyli:

P dt

P dt J

e

t

u

t









0

2

0

2



Moc dostarczona przez silnik:

P

M

e

e





Moc

użyteczna:

P

M

u

o





Po podstawieniu, zróżniczkowaniu
względem czasu)
i podzieleniu przez otrzymuje się:



M

M

J

d

dt

dJ

dt

e

o







 

2

Równanie ruchu UN

Równanie ruchu UN

Uwzględniając, że (gdzie a - kąt

obrotu wału):

M

M

J

d

dt

d
d

dJ

dt

J

d

dt

dJ

d

M

e

o

d























2

2

2






 

d

dt



M

d

jest nazywany momentem

dynamicznym napędu.

Równanie ruchu UN

Moment dynamiczny zawiera dwie

składowe zmiennej energii kinetycznej:

1- wynikająca ze zmiany prędkości przy

stałym momencie bezwładności

J

d

dt





2

2

dJ

d



2 - uwzględniająca zmienność momentu bezwładności

Równanie ruchu UN

W tej postaci równaniu ruchu nie występują

jawnie straty (tarcie, luzy) towarzyszące
przenoszeniu energii od silnika do mechanizmu.

Można przyjąć, że uwzględnione są w wartościach

M

o

lub M

e

, jako ich dodatkowe składniki, np.:





M

M

x t

M

o

o

t





, , ,











sign

*

k

*

k

M

t

2

1

przy czym:

Równanie ruchu UN

Większość układów napędowych ma

stały, niezależny od czasu ani od
położenia, moment bezwładności.

Dla takich napędów równanie ruchu

przyjmuje postać:

M

M

J

d

dt

M

e

o

d









Stany pracy układu

napędowego

Z punktu widzenia zmiany prędkości

kątowej rozróżnia się dwa stany pracy:

- stan ustalony

,



v

d

dt



0

0



dt

dv

w którym prędkość = const
(lub = const),
czyli:

lub

Stany pracy układu

napędowego

- stan

nieustalony

(przejściowy,

dynamiczny),

w którym prędkość const

(lub const),

czyli:

lub

 



v

d

dt



0

0



dt

dv

Stan ustalony - równowaga

statyczna

Stan ustalony

, zwany również

stanem

równowagi statycznej napędu

występuje

wówczas, gdy moment dynamiczny M

d

=0,

czyli moment obciążenia jest równoważony

przez moment silnika.

Stan ten jest charakteryzowany na wykresie
-M charakterystyk mechanicznych silnika
i maszyny roboczej,

punktem przecięcia A

charakterystyki



=f(M

e

) i



=f(M

o

).

Stan ustalony - równowaga

statyczna

M

M

o

M

M

o

M

e

M

e

M

A

M

A

A

A





A



A



b)

a)

Rys.1.15. Ilustracje stabilności statycznej układu

napędowego:

a - układ stabilny, b - układ niestabilny

.

Stan ustalony - równowaga

statyczna

Punkt A jest

stabilnym punktem równowagi

,

czyli układ napędowy w stanie ustalonym jest

stabilny (stateczny) wówczas,

gdy zakłócenie stanu równowagi wywołuje

powstanie momentu

dążącego do sprowadzenia układu ponownie

do położenia równowagi w punkcie A

(rys.1.15a).

Jeżeli to nie nastąpi, to układ jest niestabilny

(niestateczny)

Stan ustalony - równowaga

statyczna

Przy założeniu małych, dostatecznie
wolno przebiegających, odchyleń od
punktu pracy ustalonej, równania
rzeczywistych charakterystyk silnika i
maszyny roboczej można zastąpić

równaniami stycznych,

poprowadzonych

przez
punkt A odpowiadający stanowi
równowagi (rys.1.15), czyli:





M

a

e







M

b

o



Stan ustalony - równowaga

statyczna

a

dM

d

e

A













 

b

dM

d

o

A













 

Równanie ruchu (w przypadku J= const),
napisane dla przyrostów momentów i
prędkości, przyjmuje postać:

a

b

J

d

dt











Stan ustalony - równowaga

statyczna

Po
przekształceniu:

d

dt

a b

J









0

Rozwiązanie tego równania różniczkowego
wyznacza przebieg prędkości kątowej
przy małym zaburzeniu w punkcie pracy A:

 



Ce

a b

J

t

Stan ustalony - równowaga

statyczna

Rozważany

punkt pracy A będzie

stateczny

tylko wówczas, gdy odchyłka

prędkości będzie dążyła do zera:

lim 

 

0

t

Warunek ten będzie spełniony, jeśli
wykładnik potęgi w rozwiązaniu będzie
ujemny, czyli przy dla J>0, gdy będzie
spełniony warunek:

b

a

czyli

0







,

b

a

Stan ustalony - równowaga

statyczna

A więc punkt pracy A będzie

stateczny,

jeśli będzie spełniony

warunek stabilności statycznej

układu napędowego.

:

dM

d

dM

d

e

o

A

A





 

 



















Stan ustalony - równowaga

statyczna

Przy pracy statecznej napędu - ze
wzrostem prędkości kątowej moment
oporowy M

o

powinien rosnąć szybciej niż

moment obrotowy M

e

silnika napędowego

Wówczas, przy wzroście prędkości, M

o

>M

e

i następuje hamowanie, natomiast przy jej

zmniejszaniu się, M

o

<M

e

i mamy

przyspieszenie napędu .

 

W obydwu przypadkach układ napędowy

wraca

do poprzedniego punktu pracy.

Stan ustalony - równowaga

statyczna

Z przedstawionej analizy wynika, że

o

równowadze statycznej UN decyduje
charakter przebiegów statycznych
charakterystyk mechanicznych SE i MR.

Ten sam punkt A pracy ustalonej może

być jednocześnie, w zależności od
przebiegu charakterystyki maszyny
roboczej:

- stabilnym (dla krzywej 1),
- niestabilnym (dla krzywej 2) punktem

pracy.

Stan ustalony - równowaga

statyczna

M

e

A

B





A

0

M



B

2(M

o2

)

1(M

o1

)

Rys.1.16 Ilustracja stabilności statycznej układu

napędowego:

A- punkt pracy stabilnej dla krzywej 1 (M

o1

=C 

2

) i

niestabilnej dla krzywej 2 (M

o2

=const), B- punkt pracy

stabilnej dla krzywej 2.

Stany nieustalone

Stan nieustalony

(przejściowy,

dynamiczny) wiąże się ze zmianą punktu
pracy napędu w skutek działania trzech
rodzajów zaburzeń:



zakłóceń

(np. wahania napięcia lub

częstotliwości w sieci zasilającej),

 

awarii

(np. zwarcie w układzie zasilania,

chwilowy zanik napięcia sieci,
zablokowanie wirnika)

 

celowych działań

układu sterującego

(lub operatora) wymuszonych przez
specyfikę procesu technologicznego.

Stany nieustalone

Wśród celowych działań US można
wyróżnić następujące stany
dynamiczne:

-

rozruch

- przejście ze stanu

spoczynkowego do określonego stanu
pracy ustalonej (np. praca przy
obciążeniu i prędkości znamionowej,
praca na biegu jałowym, praca przy
obniżonej prędkości kątowej itp.),

-

zatrzymanie

(wybieg) - proces

odwrotny do powyższego, przy czym
zmniejszanie prędkości do zera
następuje w sposób naturalny, tj. w
wyniku sił tarcia w układzie,

Stany nieustalone

-

hamowanie

- proces,

podczas którego UN jest
zatrzymywany przez
dostarczenie dodatkowego
momentu większego niż
moment tarcia; przy czym
moment hamujący
(spowalniający) może być
uzyskiwany na wiele sposobów
(mechaniczny, hydrauliczny lub
elektromechaniczny),

Stany nieustalone

-

nawrót

(rewers - czyli

zmiana kierunku obrotów) –
proces, w którym następuje
przejście ze stanu pracy
ustalonej przy jednym kierunku
wirowania do pracy ustalonej w
przeciwnym kierunku wirowania.
Rewers prędkości związany jest z
zatrzymaniem lub hamowaniem
silnika i następnie z
natychmiastowym rozruchem w
przeciwnym kierunku wirowania,

Stany nieustalone

-

regulacja prędkości

kątowej

- polega na zmianie

charakterystyk =f(M

e

) silnika

przy utrzymywaniu niezmienionej
charakterystyki maszyny
roboczej. Następuje wówczas
przejście od jednej prędkości
ustalonej (w punkcie pracy A

’

)do

innej (punkt A

’’

) przy stałej

charakterystyce M

o

(rys.1,17a),

kolejne punkty pracy leżą na
charakterystyce MR,

Stany nieustalone

-

regulacja momentu obciążenia

-

polega na zmianie charakterystyk
=f(M

o

) maszyny roboczej przy

niezmienionej charakterystyce
silnika. Powoduje to przejście do
innego punktu pracy na
charakterystyce silnika (rys,1.17b);
kolejne punkty pracy leżą na
charakterystyce mechanicznej
silnika.

Stany nieustalone

Rys.1.17 Ilustracje regulacji prędkości i

momentu obciążenia

M

o

M

A'



a)

A''

A'''

M

e

M

A'



b)

M

o

A''

A'''

M

e

c)

M

A'



A''

A'''

Stany nieustalone

W szczególnych przypadkach

regulacja może wymagać zmian obu
charakterystyk mechanicznych: silnika i
maszyny roboczej (np. w układach
napędowych lokomotyw elektrycznych).

W takim przypadku kolejne punkty pracy
pokrywają cały obszar wyznaczony
granicznymi charakterystykami
uzyskanymi w procesie regulacji
(rys.1.17c).

Połączenie silnika z maszyną

roboczą

Silnik elektryczny może być połączony

z

mechanizmem

roboczym

w

następujący sposób:
a - w sposób sztywny, gdy:
b - poprzez element elastyczny,

dzięki skręceniu
którego pojawi się kąt skręcenia wału:

c - za pomocą elementów z luzami,

gdzie ruch

części elektrycznej jest przekazywany

mechanizmowi po tzw. wybraniu luzu,

czyli obróceniem się jednej części

mechanizmu

o kąt  przy drugiej nieruchomej.







e

m











s

e

m





Połączenie silnika z maszyną

roboczą

Rys.1.21 Połączenie silnika z mechanizmem:

a - sztywne, b- poprzez element sprężysty,

c- z luzem; 

e

,

m

- kąty obrotu wału silnika i

mechanizmu



e



m



e



m



e



m



s





a)

b)

c)

Połączenie sztywne



e



m

• 1. Połączenie sztywne:

Przy założeniu, że J= const,
równanie ruchu przyjmuje znaną
postać:

J

d

dt

M

M

M

e

o

d









Połączenie sztywne

Po uwzględnieniu, że moment
oporowy
może być funkcją prędkości



i mieć składową zewnętrzną M

o

(t)

będącą dowolną funkcją czasu oraz
składową typu tarcia suchego,
równanie momentu
mechanicznego MR w równaniu
ruchu ma postać:

M

M t

k

k sign

o

o







( )

1

2





Połączenie sztywne

Rys.1.22 Połączenie sztywne silnika i

maszyny roboczej: a- schemat

struktury,

b- momenty mechaniczne tarcia.



k

2

sign 

k

1



k

2

M

-k

2

0

M=f( 

b)

a)

M

e

M

o

(t)

M

d

J

e

+J

m



1











Połączenie elastyczne

2. Połączenie elastyczne (np. długi
wał)

Grupując część układu wokół silnika, a
pozostałą część przypisując maszynie
roboczej, otrzymuje się strukturę
dwumasową ze sprężystym elementem
łączącym, pokazaną na rys.1.23.

MR(J

m

)

SE(J

e

)

C

s



m



e



e



m

Połączenie elastyczne

Jeśli wprowadzi się pojęcie

współczynnika sprężystości C

s

, jako

zależność między kątem skręcenia  a

momentem przenoszonym:

[Nm/rad],

to

moment skrętny

będzie wyrażony

następująco:

C

M

s

s

s











m

e

s

s

s

s

C

C

M













Połączenie elastyczne

Wówczas równania równowagi
mechanicznej (równania ruchu)
przyjmą następującą postać:





J

d

dt

M C

dt

e

e

e

s

e

m



















C

dt M

J

d

dt

s

e

m

o

m

m















m

m

o

o

sign

k

k

)

t

(

M

M











2

1

:

czym

przy

Połączenie elastyczne

Rys.1.23. Schemat strukturalny połączenia

sprężystego silnika SE i maszyny roboczej MR

Połączenie elastyczne

Wynika to z faktu, że wspólny
poprzednio magazyn energii
kinetycznej związany z masą o
momencie bezwładności J=(J

e

+ J

m

)

został teraz rozdzielony na dwa, a
ponadto pojawił się jeszcze jeden w
postaci elementu sprężystego, który
magazynuje energię potencjalną
(wyrażoną w [Ws]):

Jak widać, rząd układu równań różniczkowych
podwyższa się w porównaniu z przypadkiem
połączenia sztywnego.

E

C

p

s

s



1

2

2



Połączenie elastyczne

Dokładniejsza analiza układu z masami i
elementami sprężystymi wykazuje istnienie
drgań własnych układu o częstotliwościach
równych odpowiednio dla silnika i
mechanizmu:

f

C

J

oe

s

e



1

2



f

C

J

om

s

m



1

2



f

C

J

J

J J

o

s

e

m

e m





1

2



Drgania te mogą ujawnić się w sposób

niebezpieczny,

jeśli któreś z wymuszeń (tzn. M

e

lub M

o

) będzie

zawierało

składową o bliskiej im częstotliwości.

Połączenie z luzem

Analizę UN z takim typem połączenia

przeprowadza się w podobny sposób jak

w przypadku połączenia sprężystego, tzn.

stosuje się

podział układu

na dwa zespoły zlokalizowane po

obydwu stronach elementu

wykazującego luz

.

Normalne przekładnie zębate oraz

niektóre połączenia przegubowe

wykazują

luzy.



e



m





Połączenie z luzem

Rozważa się dwa przedziały czasowe:

  -   pierwszy - w którym na skutek

występowania luzu

zespoły silnika i maszyny

roboczej

należy traktować jako

rozdzielone;

  -   drugi - w którym zespół

napędowy

przechodzi w układ

sztywny.

Połączenie silnika z maszyną

roboczą

Przedział pierwszy nazywany jest

wybieraniem luzu

i równanie dynamiki w tym przedziale
przyjmuje następującą postać:

J

d

dt

M

M

e

e

e

o







'

e

e

'

o

sign

k

k

M









2

1

:

gdzie

Połączenie silnika z maszyną

roboczą

Natomiast

w przedziale drugim -

bezluzowym

równanie dynamiki

odpowiada połączeniu sztywnemu :

o

e

M

M

dt

d

J

















sign

k

k

)

t

(

M

M

o

o

2

1

:

czym

przy

WYKŁAD 2

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

- czas na

odpoczyne

k....