Wykład 2

równania różnicowe,

transformata Z

Lecture 2

differential equations, Z

transform

Jerzy Łopatka ITK WEL WAT

Jerzy Łopatka ITK WEL WAT

UKŁADY SPEŁNIAJĄCE RÓWNANIA LINIOWE RÓŻNICOWE

jest to podklasa układów liniowych

odpowiedź układu jest liniową kombinacją aktualnej i poprzednich
wartości wymuszenia i poprzednich wartości odpowiedzi

z

-1

z

-1

z

-1

z

-1

z

-1

z

-1

y(n

)

b

0

x(n

)

x(n-

1)

x(n-

2)

b

1

b

M-1

b

M

x(n-M)

x(n-M+1)

a

1

a

N-1

a

N

y(n-

1)

y(n-

2)

y(n-N+1)

y(n-N)

b

2

a

2



































N

k

M

r

r

k

N

k

M

r

r

k

r

n

x

b

k

n

y

a

n

y

a

r

n

x

b

k

n

y

a

1

0

0

0

0

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

że

zalożymy

gdy

albo

a, b - współczynniki
filtru
N,M – rząd filtru
x(n) – sygnał
wejściowy
y(n) – sygnał
wyjściowy

Jeżeli N=0 (odpowiedź zależy
jedynie od wymuszenia), to
układ

posiada

skończoną

odpowiedź impulsową (SOI-
FIR), w przypadku przeciwnym
nieskończoną (NOI-IIR)

Jerzy Łopatka ITK WEL WAT

SYSTEMS FULFILLING LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

it is a subclass of linear systems

System response is a linear combination of current and previous values

of excitation and the previous values of response

z

-1

z

-1

z

-1

z

-1

z

-1

z

-1

y(n

)

b

0

x(n

)

x(n-

1)

x(n-

2)

b

1

b

M-1

b

M

x(n-M)

x(n-M+1)

a

1

a

N-1

a

N

y(n-

1)

y(n-

2)

y(n-N+1)

y(n-N)

b

2

a

2



































N

k

M

r

r

k

N

k

M

r

r

k

r

n

x

b

k

n

y

a

n

y

a

r

n

x

b

k

n

y

a

1

0

0

0

0

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

że

zalożymy

gdy

albo

a, b - filter coefficients

N, M – filter order
x (n) - input signal
y (n) - output

If N = 0 (the answer depends
only on the excitation), then
the system has a finite impulse
response

(FIR),

otherwise

infinite (NOI)

Assuming that

Jerzy Łopatka ITK WEL WAT

Przekształcenie Z

Transformatę Z X(z) ciągu x(n) określa się jako

(1)

gdzie z jest zmienną zespoloną.
Transformatę Z ciągu x(n) oznacza się jako Z(x(n)).
Transformata wyrażona zależnością (1) nazywana jest dwustronną
transformatą Z w odróżnieniu od jednostronnej transformaty Z określonej
jako

(2)

Transformaty są równoważne jeśli x(n) = 0 dla n < 0.
Zbiór wartości zmiennej z, dla którego transformata Z danego
ciągu jest zbieżna nazywa się obszarem zbieżności.

X z

x n z

n

n

( )

( )







 





X z

x n z

I

n

n

( )

( )













0

Jerzy Łopatka ITK WEL WAT

Z Transform

Z

Transform X(z) of x (n) is defined as

(1)

where z is a complex variable.
Z transform of x (n) is expressed as Z (x (n)).
Transform (1) is called the bilateral transform, unlike the unilateral
transform defined as

(2)

Transforms are equivalent when x (n) = 0 for n <0
Variable set of values for which the Z-transform convergent is called the
convergence area.

X z

x n z

n

n

( )

( )







 





X z

x n z

I

n

n

( )

( )













0

Jerzy Łopatka ITK WEL WAT

Własności transformaty Z

Ciąg

Transformata Z

1.

x(n)

X(z)

R

x-

< |z| < R

x+

2.

y(n)

Y(z)

R

y-

< |z| < R

y+

3.

ax(n)+by(n)

aX(z)+bY(z)

max[R

x-

,R

y-

]<|z|

<min[R

x-

,R

y-

]

4.

x(n+n

0

)

z

n

0

X(z)

R

x-

< |z| < R

x+

5.

a

n

x(n)

X(a

-1

z)

|a|R

x-

< |z| < |a|R

x+

6.

nx(n)

R

x-

< |z| < R

x+

7.

x*(n)

X*(z*)

R

x-

< |z| < R

x+

8.

x(-n)

X(1/z)

1/R

x-

< |z| < 1/R

x+

9.

Re[x(n)]

R

x-

< |z| < R

x+

10. Im[x(n)]

R

x-

< |z| < R

x+

11. x(n)y(n)

X(z) Y(z)

max[R

x-

,R

y-

]<|z|

<min[R

x-

,R

y-

]

12. x(n) y(n)

R

x-

 R

y-

< |z| < R

x+

 R

y+

Jerzy Łopatka ITK WEL WAT

Z transform properties

Ciąg

Transformata Z

1.

x(n)

X(z)

R

x-

< |z| < R

x+

2.

y(n)

Y(z)

R

y-

< |z| < R

y+

3.

ax(n)+by(n)

aX(z)+bY(z)

max[R

x-

,R

y-

]<|z|

<min[R

x-

,R

y-

]

4.

x(n+n

0

)

z

n

0

X(z)

R

x-

< |z| < R

x+

5.

a

n

x(n)

X(a

-1

z)

|a|R

x-

< |z| < |a|R

x+

6.

nx(n)

R

x-

< |z| < R

x+

7.

x*(n)

X*(z*)

R

x-

< |z| < R

x+

8.

x(-n)

X(1/z)

1/R

x-

< |z| < 1/R

x+

9.

Re[x(n)]

R

x-

< |z| < R

x+

10. Im[x(n)]

R

x-

< |z| < R

x+

11. x(n)y(n)

X(z) Y(z)

max[R

x-

,R

y-

]<|z|

<min[R

x-

,R

y-

]

12. x(n) y(n)

R

x-

 R

y-

< |z| < R

x+

 R

y+