1

Wykład - dynamika

Geometria mas. Dynamika układu

punktów materialnych

Masowy moment bezwładności

Masowym momentem bezwładności J punktu materialnego względem
bieguna, osi lub płaszczyzny nazywamy skalarną wielkość, równą
iloczynowi masy punktu i kwadratu odległości tego punktu od tego
bieguna, osi lub płaszczyzny.

[

]

2

m

kg

J

⋅

2

r

m

J

l

⋅

=

r

m

r

m

r

m

Masowy moment bezwładności

Dla punktu materialnego

∑

=

⋅

=

n

i

i

i

l

r

m

J

1

2

∫

=

dm

r

J

l

2

2

r

m

J

l

⋅

=

Dla układu punktów materialnych

Dla ciała materialnego

Promień bezwładności

Jeżeli ciało sztywne o masie M ma moment bezwładności J

l

względem

prostęj l-l, to możemy znaleźć taką odległość od osi, że punkt materialny o
masie M będzie miał ten sam moment bezwładności J

l

.

Odległość i będzie określona równaniem Mi

2

=J

l

, skąd:

M

J

i

l

=

Masa zredukowana

Masą zredukowaną bryły na odległość nazywamy taką masę M, skupioną
w punkcie O odległym od prostej l-l, której moment bezwładności
względem prostej l-l jest równy momentowi bezwładności bryły względem
tej prostej.

2

r

J

M

l

z

=

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności ciała sztywnego względem pewnej osi
jest równy momentowi ciała względem prostej równoległej
przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn
masy ciała i kwadratu odległości między osiami.

2

md

J

J

s

l

+

=

l

S

d

m

J

l

– moment bezwładności względem osi l,

J

s

– moment bezwładności względem osi

przechodzącej przez pkt. S,

m – masa ciala,

d – odleglość między osiami

2

Momenty bezwładności względem płaszczyzn

układu współrzędnych

∑

=

=

n

i

i

i

xy

z

m

J

1

2

∑

=

=

n

i

i

i

yz

x

m

J

1

2

∑

=

=

n

i

i

i

zx

y

m

J

1

2

x

x

z

z

m

y

y

i

i

i

i

Dla układu punktów materialnych

Momenty bezwładności względem osi układu

współrzędnych

∑

=

+

=

n

i

i

i

i

x

z

y

m

J

1

2

2

)

(

∑

=

+

=

n

i

i

i

i

y

z

x

m

J

1

2

2

)

(

∑

=

+

=

n

i

i

i

i

z

y

x

m

J

1

2

2

)

(

x

x

z

z

m

y

y

i

i

i

i

Dla układu punktów materialnych

Moment bezwładności względem bieguna

∑

=

+

+

=

n

i

i

i

i

i

O

z

y

x

m

J

1

2

2

2

)

(

x

O

x

z

z

m

y

y

i

i

i

i

Dla układu punktów materialnych

Zależności między momentami bezwładności

z

zx

yz

y

xy

yz

x

xy

zx

J

J

J

J

J

J

J

J

J

=

+

=

+

=

+

zx

y

x

z

yz

x

z

y

xy

z

y

x

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

=

−

+

=

−

+

=

−

+

)

(

2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

Zależności między momentami bezwładności

O

zx

yz

xy

J

J

J

J

=

+

+

w płaskim układzie współrzędnych

O

z

y

x

J

J

J

J

=

+

+

)

(

2

1

O

y

x

J

J

J

=

+

Momentem dewiacji punktu materialnego względem dwóch
wzajemnie prostopadłych płaszczyzn

α

i

β

nazywamy iloczyn

masy punktu materialnego i jego odległości od danych płaszczyzn.

Moment dewiacji (odśrodkowy)

'

i

i

i

r

r

m

D

=

αβ

]

[

2

kgm

D

αβ

dm

r

r

D

∫

⋅

=

'

αβ

Dla bryły

i

r

i

r’

α

m

i

i

r

i

3

Momenty dewiacji w układzie kartezjańskim

∑

=

=

n

i

i

i

i

yz

z

y

m

D

1

∑

=

=

n

i

i

i

i

zx

x

z

m

D

1

∑

=

=

n

i

i

i

i

xy

y

x

m

D

1

Płaszczyzny zx oraz yz

Płaszczyzny zx oraz xy

Płaszczyzny yz oraz xy

Główne osie bezwładności

Trzy wzajemnie prostopadłe osie x, y, z poprowadzone z punktu O
wyznaczające trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny xy, yz, zx względem
których momenty odśrodkowe układu punktów materialnych (bryły
sztywnej) są równe zeru, nazywamy głównymi osiami bezwładności.

0

1

=

=

∑

=

n

i

i

i

i

xy

y

x

m

D

0

1

=

=

∑

=

n

i

i

i

i

yz

z

y

m

D

0

1

=

=

∑

=

n

i

i

i

i

zx

x

z

m

D

x

x

z

z

m

y

y

S

O

S

ś

rodek masy

i

i

i

i

Główne centralne osie bezwładności

x

x

z

z

m

y

y

O=S

S

ś

rodek masy

i

i

i

i

Jeżeli punkt O jest środkiem masy rozpatrywanego układu
punktów materialnych (bryły sztywnej), to osie te nazywamy
głównymi centralnymi osiami bezwładności.

Transformacja obrotowa momentu bezwładności

moment bezwładności ciała względem prostej, której położenie w układzie
współrzędnych Oxyz określają kąty , , .

α

β

γ

α

γ

γ

β

β

α

γ

β

α

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

cos

2

2

2

zx

yz

xy

z

y

x

l

D

D

D

J

J

J

J

−

−

−

−

+

+

=

i

ρ

x

i

y

i

z

i

m

i

Masowe momenty bezwładności

y

y

y

x

x

l,m

m,r

m,r

x

z

z

z

r

r

pr

ę

t

tarcza

kula

2

12

1

ml

J

J

z

y

=

=

2

2

2

1

4

1

mr

J

mr

J

J

z

y

x

=

=

=

2

5

2

mr

J

J

J

z

y

x

=

=

=

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

Na rysunku zostało przedstawione ciało sztywne obracające się z prędkością kątową

ω

= const

dm

x

2

ω

dm

h

2

ω

dm

y

2

ω

z

x

y

Ay

R

Ax

R

By

R

Bx

R

l

x

y

dm

A

ω

B

4

∫

=

+

+

0

2

xdm

R

R

Bx

Ax

ω

∫

=

+

+

0

2

ydm

R

R

By

Ay

ω

Równania rzutów na osie x i y przybierają następującą postać

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

∫

=

−

−

0

2

xzdm

l

R

Bx

ω

∫

=

−

−

0

2

yzdm

l

R

By

ω

Biorąc pod uwagę to, że momenty względem osi Ax i Ay
elementarnej siły odśrodkowej wynoszą odpowiednio:

-ω²yzdm

oraz

ω

²xzdm

przyrównując kolejno do zera sumy momentów sił względem

wspomnianej osi, otrzymujemy:

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

∫

=

c

mx

xdm

∫

=

c

my

ydm

∫

=

yz

D

yzdm

∫

=

xz

D

xzdm

W równaniach momentów, występują całki, które równe są momentom

odśrodkowym:

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

Równaniom równowagi można nadać następującą postać

0

2

=

+

+

c

Bx

Ax

mx

R

R

ω

0

2

=

+

+

c

By

Ay

my

R

R

ω

0

2

=

−

−

yz

By

D

l

R

ω

0

2

=

−

−

xz

Bx

D

l

R

ω

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

Z powyższych równań znajdujemy

l

D

R

xz

Bx

2

ω

−

=

l

D

R

yz

By

2

ω

−

=













−

−

=

c

xz

Ax

mx

l

D

R

2

ω













−

−

=

c

yz

Ay

my

l

D

R

2

ω

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

2

2

2

2

2













−

+













−

=

+

=

c

yz

c

xz

Ay

Ax

A

my

l

D

mx

l

D

R

R

R

ω

2

2

2

2

2

yz

xz

By

Bx

A

D

D

l

R

R

R

+

=

+

=

ω

Wartości bezwzględne reakcji dynamicznych łożysk możemy zatem zapisać:

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

5

Środek masy

Środkiem masy układu nazywa się punkt
geometryczny S, którego promień-wektor
r

s

wyznacza się wg wzoru:

M

r

m

r

n

i

i

i

s

∑

=

=

1

x

y

z

1

r

2

r

n

r

S

S

r

Momenty statyczne

Momentem statycznym układu punktów materialnych
względem płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas
punktów układu przez odległości od tej płaszczyzny

,

,

,

1

1

1

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

i

i

i

xy

n

i

i

i

zx

n

i

i

i

yz

z

m

M

y

m

M

x

m

M

x

y

z

1

r

2

r

n

r

S

S

r

Zasada ruchu środka masy

Zasada ruchu środka masy:

Ś

rodek masy porusza się jak swobodny punkt materialny o masie

równej masie całego układu pod działaniem sumy geometrycznej
sił czynnych i reakcji.

Zasada zachowania ruchu środka masy

Jeżeli suma geometryczna sił czynnych i reakcji jest równa zeru, to środek
masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym (jeżeli miał początkową prędkość).

∑

∑

=

=

+

=

n

i

m

j

j

i

s

R

F

a

M

1

1

M – masa układu,

F

i

– siła czynna

R

j

- reakcja

Równania ruchu środka masy

Równanie poniższe określają ruch środka masy (dynamiczne równania ruchu
ś

rodka masy)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

+

=

+

=

+

=

n

i

m

j

jz

iz

s

n

i

m

j

jy

iy

s

n

i

m

j

jx

ix

s

R

F

z

M

R

F

y

M

R

F

x

M

1

1

1

1

1

1

&

&

&

&

&

&

Pęd układu punktów materialnych

Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi
całej masy układu skupionej w jego środku masy

∑

=

=

=

n

i

i

i

s

m

v

M

p

1

ν

Pochodna względem czasu wektora ogólnego układu
punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił
zewnętrznych, działających na dany układ

∑

=

=

i

F

p

dt

p

d

&

Zasada równoważności pędu i impulsu

Przyrost

wektora

pędu

układu

punktów

materialnych w określonym przedziale czasu jest
równy sumie impulsów sił zewnętrznych działających
na układ

dt

F

p

p

t

t

∫

=

−

2

1

1

2

S

p

p

=

−

1

2

6

Kręt układu punktów materialnych

Kręt ogólny układu punktów materialnych względem
obranego bieguna nazwiemy sumę geometryczną
poszczególnych wektorów krętu

∑

∑

=

=

×

=

=

n

i

i

i

i

n

i

o

i

o

m

r

K

K

1

1

ν

Kręt układu punktów materialnych

Pochodna względem czasu wektora krętu ogólnego
układu punktów materialnych obliczonego
względem dowolnego bieguna jest równa
wektorowi momentu głównego sił zewnętrznych,
działających na dany układ, wyznaczonego
względem tego samego bieguna

o

o

o

M

K

dt

K

d

=

=

&

Zderzenie środkowe proste

Zderzenie środkowe proste

Zderzenie środkowe proste

Zderzenie środkowe ukośne

UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE

1

O

1

v

2

O

2

v

1

O

u

2

O

u

1

O

'

1

v

2

O

'
2

v

Rozpatrzmy następujący przypadek zderzenia. Załóżmy, że kule poruszają się w

tym samym kierunku przy czym

v

1

> v

2

.

'

2

2

'

1

1

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

+

=

+

Dla układu mo

ż

na napisa

ć

równanie p

ę

du

Okres pierwszy rozpoczyna si

ę

z chwila zetkni

ę

cia si

ę

uderzaj

ą

cych kul i trwa dopóki pr

ę

dko

ś

ci kul nie wyrównaj

ą

si

ę

, czyli nie osi

ą

gn

ą

pewnej wspólnej pr

ę

dko

ś

ci oznaczonej

na rysunku przez u.

UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE

Przebieg uderzenia mo

ż

emy podzieli

ć

na dwa okresy:

1

O

1

v

2

O

2

v

1

O

u

2

O

u

Z chwil

ą

wyrównania si

ę

pr

ę

dko

ś

ci rozpoczyna si

ę

drugi

okres uderzenia, podczas którego lokalne odkształcenia kul
stopniowo malej

ą

, a co za tym idzie, malej

ą

równie

ż

siły

wzajemnego oddziaływania obu kul.

UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE

Przebieg uderzenia mo

ż

emy podzieli

ć

na dwa okresy:

1

O

u

2

O

u

1

O

'

1

v

2

O

'
2

v

7

Z powyższych równań można wyznaczyć wspólna prędkość obu

kul na końcu rozważanego okresu

(

)

2

2

1

1

2

1

1

v

m

v

m

m

m

u

+

+

=

UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE

S’, S’’ to odpowiednio impulsy siły z któr

ą

w pierwszym i

drugim okresie uderzenia oddziałuje kule na siebie

∫

−

=

−

=

−

'

''

1

'

1

1

τ

τ

S

Fdt

u

m

v

m

∫

=

=

−

'

''

2

'

2

2

τ

τ

S

Fdt

u

m

v

m

Z hipotezy Poissona przyjmujemy

ż

e :

'

''

kS

S

=

UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE

k oznacza pewien stały współczynnik wyznaczony na
podstawie doświadczeń i zwany współczynnikiem
restytucji.

UDERZENIA

1

2

'

1

'

2

v

v

v

v

k

−

−

−

=

Wg hipotezy Newtona

Wartości współczynnika restytucji dla ciał wykonanych
z tego samego materiału:

•Drewno

k=0,26

•Stal

k=0,56

•śeliwo

k=0,66

•Szkło

k=0,94

•Ołów

k=0,20

UDERZENIA