Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

1

Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy
funkcję

taką, że:

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

2

Przykład:

Rzucamy dwoma symetrycznymi kostkami:
czterościenną (z liczbą oczek od 1 do 4)
i sześciościenną. Niech:

, dla

Zdefiniuj i narysuj dystrybuantę zmiennej
losowej

.

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

3

Własności dystrybuanty dyskretnej zmiennej
losowej:



funkcja niemalejąca



przyjmuje wartości z przedziału [0,1]



prawostronnie ciągła

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

4

Przykład:

Niech:

Wyznacz

rozkład

prawdopodobieństwa

zmiennej losowej .

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

5

Przykład:

Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu
gdy wypadnie pierwszy orzeł. Niech zmienna
losowa oznacza liczbę wykonanych rzutów.
Znajdź

rozkład

prawdopodobieństwa

,

dystrybuantę

oraz

oblicz:

,

,

,

,

, .

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

6

Dystrybuanta

często

ułatwia

obliczenie

prawdopodobieństwa znalezienia się zmiennej
losowej w przedziale liczbowym, gdyż:

Czyli:

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

7

Przykład:

Niech oznacza wynik rzutu symetryczną
sześcienną kostką do gry. Oblicz średnią
wartość zmiennej losowej .

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

8

Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną,
średnią) dyskretnej zmiennej losowej
nazywamy liczbę:

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

9

Przykład:

Gra polega na wyciągnięciu trzech kul z urny
zawierającej 1 kulę białą, 5 czerwonych i 10
czarnych. Jeśli gracz wyciągnie same kule
czerwone, to wygrywa 10 zł, jeśli wyciągnie
kule we wszystkich kolorach, to wygrywa 2 zł.
Za udział w grze gracz płaci 1 zł. Jaki jest średni
zysk prowadzącego grę?

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

10

Przykład:

Jak

musiałaby

być

główna

wygrana

w poprzedniej grze, aby gra była sprawiedliwa?

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

11

Gra jest sprawiedliwa jeśli średnia wygrana
gracza (średnia wygrana prowadzącego grę)
jest równa 0.

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

12

Własności wartości oczekiwanej:



dla



dla





dla

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

13





dla dowolnej funkcji mamy

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

14

Przykład:

Rzucamy dwa razy symetryczną kostką. Niech

oznacza wynik rzutu na pierwszej kostce,

oznacza wynik rzutu na drugiej kostce, zaś

–

sumę oczek na obydwu kostkach. Oblicz

,

,

,

,

.

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

15

Wariancją dyskretnej zmiennej losowej
nazywamy liczbę:

,

czyli:

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

16

Własności wariancji:





dla



dla



Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

17



jeśli i są niezależne, to



jeśli

są

niezależne,

to

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

18

Odchyleniem

standardowym

dyskretnej

zmiennej losowej nazywamy liczbę:

Matematyka Dyskretna – wykład 7

dr Marcin Raniszewski

19

Przykład:

Rzucamy dwa razy symetryczną kostką. Niech

oznacza wynik rzutu na pierwszej kostce,

oznacza wynik rzutu na drugiej kostce, zaś

–

sumę oczek na obydwu kostkach. Oblicz

,

,

,

.