Spis treści:
Rachunek różniczkowy i całkowy
Relacje
Def. Produktem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych <x, y>, gdzie x ∈ X i y ∈ Y. [<x, y> ∈ XxY] ⇔ [(x ∈ X) ∧ (y ∈ Y)]
Def. Relacja binarna w zb. X jest:
refleksyjna (zwrotna) jeżeli ∀x x ϕ x
symetryczna jeżeli ∀x, y ∈ X (x ϕ y ⇒ y ϕ x)
tranzytywna (przechodnia) jeżeli ∀x, y, z ∈ X ( x ϕ y oraz y ϕ z ⇒ x ϕ z )
słabo antysymetryczna jeżeli ( x ϕ y oraz y ϕ x ⇒ x = y )
gdy spełnione 1 - 3 to relacja jest relacją równoważności w X.
Def. Relację (≤) w X, która jest refleksyjna, tranzytywna oraz słabo antysymetryczna nazywamy porządkiem. Porządek spójny nazywamy porządkiem liniowym.
Def. (Tw. Dirichleta) Zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, jeżeli istnieje bijekcja f: A → B | A ~ B.
Def. Mówimy, że zbiory równoliczne, A i B mają tę samą moc.
Tw. Jeżeli (R, +, *, 0, 1, ≤) jest ciałem uporządkowanym i ma własności kresu, to systemy (R, +, *, 0, 1) i (R, +, *, 0, 1, ≤) są izomorficzne, tzn. istnieje bijekcja f: R → R, który zachowuje wszystkie działania strukturalne.
Lemat Adama Każda liczba x ∈ R może być granicą pewnego ciągu liczb wymiernych.
Rachunek różniczkowy i całkowy
Granica ciągu
Def. Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an), jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego n > δ spełniona jest nierówność |an - g| < ε. Piszemy przy tym lim an = g.
lim an = g ⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀n>δ |an - g| < ε
Def. Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an), jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu g na osi liczbowej leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
Def. Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do plus (minus) nieskończoności wtwg ∀M ∃δ ∀n>δ an > (<) M i piszemy lim an = +(-)∞
Twierdzenia o ciągach
Tw. Ciąg zbieżny jest ograniczony.
Tw. (Bolzano-Weierstrass) Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.
Tw. (o trzech ciągach) Jeżeli lim an = lim cn = g, a ponadto istnieje taka liczba δ0, że dla każdego n > δ0 spełniona jest nierówność an ≤ bn ≤ cn, to lim bn = g.
Tw. (o zachowaniu nierówności słabej) Jeżeli i oraz istnieje taka liczba δ0, że dla każdego n > δ0 spełniona jest nierówność an ≤ bn, to a ≤ b.
Tw. (Warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu) Ciąg (an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ taka, że dla każdych dwóch liczb naturalnych r i s większych od δ spełniona jest nierówność |ar - as| < ε. (an) zb. ⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀r,s>δ |ar - as| < ε
Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych) Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne, lim an = a, lim bn = b, to ciągi (an ± bn), (an * bn), (an / bn) są także zbieżne, przy czym: lim (an ± bn) = a ± b, lim (an * bn) = a * b, lim (an / bn) = a / b (bn i b ≠ 0).
Def. Mówimy, że ciąg (an) punktów przestrzeni metrycznej Xd jest zbieżny do elementu g przestrzeni Xd wtwg ∀ε>0 ∃δ ∀n>δ d(<an, g>) < ε.
Granica funkcji
Def. Zbiór Q(x0; r) = {x ∈ X: d(<x0, x>) < r} nazywamy otoczeniem punktu x0. Liczbę r nazywamy promieniem otoczenia.
Def. Zbiór S(x0; r) = Q(x0; r) - {x0} nazywamy sąsiedztwem punktu x0 ∈ X.
Def. Punkt x0 ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtwg do każdego otoczenia Q(x0; r) należy co najmniej jeden różny od x0 punkt x ∈ A. ∀ε>0 ∃x ∈ A x ∈ S(x0; ε).
Tw. Punkt x0 przestrzeni metrycznej Xd jest punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtwg istnieje ciąg (xn) o wyrazach należących do zbioru A - {x0} i taki, że.
Def. Punkt X0 przestrzeni metrycznej Xd nazywamy punktem izolowanym zbioru A ⊂ X wtwg x0 ∈ A oraz gdy x0 nie jest punktem skupienia zbioru A.
Def. (Heinego) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 g granicę g i piszemy wtwg dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru Df - {x0} i zbieżnego do punktu x0 ciąg (f(xn)) jest zbieżny do punktu g.
Def. (Cauchy'ego) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 granicę g i piszemy wtwg ∀ε>0 ∃δ ∀x ∈ Df 0 < dx(<x, x0>) < δ ⇒ dy(<f(x), g>) < ε.
Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji) Jeżeli , i x0 jest punktem skupienia Df ∩ Dh, to lim [f(x)±h(x)]=g±p, lim [f(x)*h(x)]=g*p, lim [f(x)/h(x)]=g/p (p ≠ 0)
Tw. (o granicy funkcji złożonej). Jeżeli , przy czym g jest punktem skupienia zbioru f(X) i g nie należy do zbioru f(X-{x0}), oraz , to .
granice niewłaściwe.
Def. (Heinego) Mówimy, że funkcja f posiada w punkcie x0 granicę niewłaściwą +(-)∞ i piszemy wtwg dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru Df - {x0} i zbieżnego do punktu x0 ciąg (f(xn)) jest zbieżny do +(-)∞.
Def. (Cauchy) ⇔ ∀M ∃δ ∀x ∈ Df 0 < dx(<x, x0>) < δ ⇒ f(x) <(>) M.
granice w nieskończoności
Def. (Heinego) Funkcja f posiada w +[-]∞ granicę g / granicę niewłaściwą -(+)∞, jeżeli dla każdego ciągu (xn) rozbieżnego do +[-]∞, ciąg (f(xn)) jest zbieżny do g / rozbieżny do -(+)∞. Piszemy wtedy .
Def. (Cauchy)
⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀x ∈ Df x >[<] δ ⇒ (|f(x) - g| < ε)
⇔ ∀M ∃δ ∀x ∈ Df x >[<] δ ⇒ f(x) <(>) M.
Nieskończenie małe.
Def. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie małą w danym przejściu granicznym, jeżeli lim f(x) = 0.
Def. Nieskończenie małe f(x) i h(x) nazywamy nieskończenie małymi tego samego rzędu w danym przejściu granicznym, jeżeli istnieje granica właściwa .
Def. Z dwóch nieskończenie małych f(x) i h(x), f(x) nazywamy nieskończenie małą wyższego rzędu w danym przejściu granicznym, jeżeli .
Def. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie małą rzędu n (n ∈ N), gdy x → x0, jeżeli funkcje: f(x) i (x-x0)n są nieskończenie małymi tego samego rzędu, gdy x → x0.
Def. Dwie nieskończenie małe f(x) i h(x) nazywamy równoważnymi w danym przejściu granicznym i piszemy f(x) ~ h(x), gdy .
Def. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie wielką w danym przejściu granicznym, jeżeli lim |f(x)| = ∞.
Ciągłość funkcji liczbowych
Def. (Heinego) Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtwg dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru Df i zbieżnego do punktu x0 ciąg (f(xn)) jest zbieżny do punktu f(x0).'
Tw. Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 będącym punktem skupienia dziedziny Df wtwg
Def. (Cauchy'ego) Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtwg ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∈ Df | x - x0| < δ ⇒ | f(x) - f(x0)| < ε.
Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła wtwg jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.
Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła na zbiorze A ⊂ Df, A ≠ ∅, wtwg f|A jest funkcją ciągłą.
Def. Punkt x0 ∈ Df, w którym funkcja f nie jest ciągła nazywamy punktem nieciągłości tej funkcji.
Własności funkcji ciągłych
Tw. 1. (o ciągłości funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale A ⊂ R, to f(A) jest przedziałem oraz funkcja f-1 jest ciągła i rosnąca (albo odpowiednio malejąca) na przedziale f(A).
Tw. 2. (o ciągłości funkcji złożonej) Jeżeli funkcja wewnętrzna f jest ciągła w punkcie x0 i funkcja zewnętrzna h jest ciągła w punkcie u0 = f(x0), to funkcja złożona h°f jest ciągła w punkcie x0.
Tw. 3. (o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej). Jeżeli istnieje granica właściwa i funkcja h jest ciągła w punkcie u0 = g, to .
Tw. 4. (o lokalnym zachowaniu znaku) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz f(x0) > 0 albo f(x0) < 0 to istnieje takie otoczenie Q punktu x0, że dla każdego x ∈ Q∩Df spełniona jest nierówność f(x) > 0 albo odpowiednio f(x) < 0.
Tw. (Weierstrassa) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a; b>, to
f jest ograniczona na przedziale <a; b>
istnieją takie liczby c1, c2, że ,
Tw. (Cantora) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a; b>, to dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla każdych dwóch liczb x1 i x2 z tego przedziału, spełniających warunek |x1 - x2| < δ, spełniona jest nierówność |f(x1) - f(x2)| < ε.
Def. Funkcja f jest jednostajnie ciągła na przedziale X wtwg ∀ε>0 ∀x1∈X ∃δ>0 ∀x2∈X (|x1 - x2|) ⇒ (|f(x1) - f(x2)| < ε).
Tw. (Darboux) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a; b>, f(a) ≠ f(b) oraz liczba q jest zawarta między f(a) i f(b), to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), że f(c) = q.
Def. (war. Lipschitz) Funkcja f: X→ Y spełnia warunek Lipschitza jeżeli ∃L>0 ∀x1, x2 ∈ D ρ(f(x1), f(x2)) ≤ L d(x1, x2); L - stała Lipschitza.
Tw. (Cantor, Haine, Dini ?) Funkcja ciągła w dziedzinie zwartej jest ciągła jednostajnie.
Pochodna funkcji
Def. Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej jest to stosunek
Def. Granicę właściwą ilorazu różnicowego, gdy Δx → 0, nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f'(x0).
Różniczka funkcji
Tw. (o przedstawieniu przyrostu funkcji) jeżeli dziedzina funkcji f zawiera pewne otoczenie Q punktu x0 oraz istnieje pochodna f'(x0), to dla każdego przyrostu Δx takiego, że x0 + Δx ∈ Q, przyrost funkcji) można przedstawić następująco Δf = f'(x0) Δx + αΔx, przy czym α → 0, gdy Δx dąży do zera w dowolny sposób.
wniosek Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła.
Def. Funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie x0, jeżeli jej przyrost Δf = f(x0 + Δx) - f(x0) można dla każdego Δx dostatecznie bliskiego zeru przedstawić w postaci Δf = AΔx + o(Δx), gdzie A jest stałą, a o(Δx) jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż Δx, gdy Δx → 0.
Def. Różniczką funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn f'(x0)Δx. Oznaczamy ją symbolem df(x0), bądź też krótko df lub dy.
Obliczanie pochodnych
Tw. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeżeli funkcja x = g(y) jest ściśle monotoniczna i posiada funkcję pochodną g'(y) ≠ 0, to funkcja y = f(x) odwrotna do niej posiada funkcję pochodną f'(x), przy czym , gdzie y = f(x).
Tw. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcja h ma pochodną w punkcie x, a funkcja f ma pochodną w punkcie u = h(x), to funkcja złożona f°g ma w punkcie x pochodną (f°g)'(x) = f'[h(x)]*f'(x).
Def. Pochodną logarytmiczną funkcji f nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego .
Tw. (o pochodnej funkcji określonej parametrycznie) Jeżeli funkcja y - h(x) jest określona parametrycznie x = f(t), y = g(t), t ∈ (a; b), przy czym istnieją pochodne , to istniej także pochodna .
Twierdzenie Rolle'a
Tw. (Rolle'a) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale <a; b>, różniczkowalna na przedziale (a; b) oraz f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), że f'(c) = 0.
Twierdzenie l'Hospitala
Tw. (de l'Hospitala) Jeżeli:
dziedziny funkcji zawierają pewne sąsiedztwo S punktu x0.
albo
istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa),
to istnieje także granica , przy czym .
Twierdzenie o przyrostach
Tw. (o przyrostach, Lagrange'a) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym o końcach x0 i x, oraz ma pierwszą pochodną wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący między x0 i x, że f(x) - f(x0) = f'(c)(x - x0).
Ekstremum funkcji
Def. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje taka liczba dodatnia δ, że dla każdego x ∈ S(x0; δ) spełniona jest odpowiednio nierówność f(x) ≤ f(x0) (albo f(x) ≥ f(x0)). Dla nierówności mocnych otrzymamy maksimum i minimum właściwe
Tw. (Fermata) Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i ma w tym punkcie pierwsza pochodną, to f'(x) = 0.
Twierdzenie i wzór Taylora
Tw. (Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu (n-1) włącznie na przedziale domkniętym, o końcach x0 i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c, leżący między x0 i x, że
Wypukłość i wklęsłość wykresu funkcji. Punkt przegięcia.
Def. Mówimy, że krzywa y = f(x) jest wypukła (wklęsła) w punkcie x0, wtwg istnieje taka liczba r1 > 0, że różnica yA - yB = f(x) - f(x0) - f'(x0)(x - x0) jest dodatnia (ujemna) dla każdego x ∈ S(x0, r1).
Rachunek całkowy jednej zmiennej
Def. Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału <a; b> ciąg sum całkowych (σn) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów ξk, to tę granicę nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale i oznaczamy symbolem:
Warunki R-całkowalności
Tw. Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, to jest funkcją ograniczoną na tym przedziale. (war. konieczny, ale nie wystarczający)
Tw. (o R-całkowalności funkcji ciągłej). Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest R-całkowalna na tym przedziale. (war. wystarczający, ale nie konieczny)
Def. Mówimy, że podzbiór A zbioru R jest miary zero wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje pokrycie zboru A takim ciągiem przedziałów otwartych, którego długość jest mniejsza od ε.
Tw. Każdy podzbiór przeliczalny zbioru R ma miarę zero.
Tw. Każdy podzbiór zbioru miary zero ma miarę zero.
Tw. (Lebesgue'a). Funkcja f ograniczona na przedziale <a; b> jest R-całkowalna na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór punktów nieciągłości funkcji f na przedziale <a; b> jest miary zero.
Tw. Funkcja monotoniczna na przedziale <a; b> jest R-całkowalna na tym przedziale.
Własności całki oznaczonej
Tw. 1. Jeżeli funkcje f i h są R-całkowalne na przedziale <a; b>, to:
1) funkcja g+h jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, przy czym
2) funkcja Af, gdzie A - dowolna stała, jest R-całkowalna na przedziale <a; b>:
Tw. 2. Jeśli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, to:
1) f2 jest R-całkowalna na <a; b>
2) |f| jest R-całkowalna na <a; b>
Tw. 3. Jeżeli funkcje f i g są R-całkowalne na przedziale <a; b>, to funkcja f*g jest R-całkowalna na tym przedziale.
Tw. 4. Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na <a; b> i przedział <α; β> ⊂ <a; b>, to funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <α; β>, przy czym:
Tw. 5. Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b> i c ∈ (a; b), to
Tw. 6. Jeżeli ograniczona funkcja f jest ciągła na przedziale <a; b>, z wyjątkiem punktów zbioru A miary zero, i dla każdego x ∈ <a; b>-A funkcja f przyjmuje wartość zero, to
wniosek: Jeżeli dwie ograniczone funkcje f i h, z których jedna jest R-całkowalna na <a; b>, różnią się tylko na zbiorze skończonym, to druga z tych funkcji jest R-całkowalna i
Tw. 7. Jeżeli funkcje f i g są R-całkowalne na przedziale <a; b> i spełniają warunek: to
wniosek: Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na <a; b> i ograniczona na <a; b> z góry liczbą M, z dołu zaś liczbą m, to
Tw. 8. (tw. całkowe o wartości średniej). Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale <a; b>, to istnieje taki punkt c ∈ <a; b>, że:
Tw. 9. Jeżeli f jest funkcją R-całkowalna na przedziale <a; b>, to
Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego
Tw. 1. Jeżeli f jest funkcją R-całkowalną na przedziale <α; β>, α zaś dowolnie ustaloną liczbą w tym przedziale, to funkcja F, określona wzorem , jest ciągła w przedziale <a; b>.
Tw. (pierwsze twierdzenie główne rachunku całkowego). Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b> i α ∈ <a; b>, to funkcja F określnoa na tym przedziale wzorem: ma pochodną F'(x) = f(x), czyli:
Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, jeżeli dla każdego x ∈ X spełniony jest warunek F'(x) = f(x) lub dF(x) = f(x)dx.
Jeżeli przedział X jest jedno- lub obustronnie domknięty, to pochodną F'(x) w każdym z należących do niego końców rozumiemy jako odpowiednią pochodną jednostronna.
Tw. (podstawowe twierdzenie o funkcjach pierwotnych). Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, to:
funkcja Φ = F + C, gdzie C oznacza dowolną funkcję stałą, jest także funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X,
każdą funkcję pierwotną Φ funkcji f na przedziale X można przedstawić w postaci sumy F + C0, gdzie C0 jest stosownie do Φ i F dobraną stała funkcją.
Def. Całką nieoznaczoną funkcji f: <a; b> → R nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych f, co oznaczmy .
Tw. (o istnieniu funkcji pierwotnej). Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale X, to posiada na tym przedziale funkcję pierwotną.
Tw. (drugie twierdzenie główne rachunku całkowego, tw. Newtona-Leibniza). Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale <a; b>, F zaś jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f na tym przedziale, to
Tw. Całkowanie przez części Jeżeli funkcje u i v ma w pewnym przedziale ciągłe pochodne u' i v', to na tym przedziale.
Całkowanie przez podstawienie
Tw. 1. (o całkowaniu przez podstawienie t = h(x)). Jeżeli:
funkcja h jest różniczkowalna na przedziale X i przekształca go na przedział T,
funkcja g ma na przedziale T funkcję pierwotną G,
f = (g°h)*h' na przedziale X,
to: na przedziale X.
Tw. 2. (o całkowaniu przez podstawienie x = ϕ(t)). Jeżeli:
funkcja ϕ jest różniczkowalna i różnowartościowa na przedziale T i przekształca go na przedział X,
funkcja f ma na przedziale X funkcję pierwotną F,
to prawdziwa jest na tym przedziale równość
Zastosowanie całki oznaczonej
pole pod wykresem
objętość bryły obrotowej
długość łuku
Całka niewłaściwa w przedziale nieskończonym
Def. Jeżeli funkcja f(z) jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale <a; T> dla każdego T > a oraz istnieje granica właściwa , to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f(z) w przedziale od a do plus nieskończoności i oznaczamy symbolem .
Jeżeli granica istnieje i jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa funkcji f(z) w przedziale a do plus nieskończoności istnieje lub że jest zbieżna. Jeżeli granica nie istnieje, albo jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa nie istnieje lub że jest zbieżna.
Analogicznie dla minus nieskończoności i przedziału (-∞; +∞) (tu na dwie całki (-∞, 0>, i <0, ∞) ).
Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej
funkcja f(x) jest określona w przedziale <a, b):
Def. Jeżeli istnieje granica właściwa to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f(z) w przedziale <a; b> (całka niewłaściwa drugiego rodzaju).
Def. Całkę niewłaściwą zbieżną drugiego rodzaju nazywamy bezwzględnie zbieżną, jeżeli jest zbieżna całka .
Def. Całkę zbieżną nazywamy warunkowo zbieżną, jeżeli całka jest rozbieżna.
Całki niewłaściwe zależne od parametru
Def. Całkę nazywamy zbieżną w przedziale T jeżeli ∀ε>0 ∀t∈T ∃A0≥a ∀A>A0
Def. Całkę nazywamy jednostajnie zbieżną w przedziale T, jeżeli ∀ε>0 ∃A0≥a ∀t∈T ∀A>A0
Testy zbieżności całki niewłaściwej
Tw. (A. Cauchy) Jeżeli f: <a; +∞) → C jest lokalnie całkowlna, to równoważne są warunki:
całka niewłaściwa jest zbieżna
→ 0, α , β → ∞
Tw. (test porównawczy) Jeżeli
f: <a, +∞) → C jest lokalnie całkowalna
g: <a, +∞) → R, g ≥ 0, jest zbieżna
|f(x)| ≤ g(x) w <a, +∞)
jest zbieżna (bezwzględnie) oraz zachodzi oszacowanie .
Tw. (Dirichlet) Jeżeli f: <a, +∞) → R jest ciągła i ma ograniczoną pochodną (tzn. ∀<a, α> ma F górnej granicy całkowania ograniczoną) i g: <a; +∞) → R jest klasy C1 oraz g(x) maleje do zera, x → ∞ to całka niewłaściwa jest zbieżna oraz zachodzi równość .
Szeregi liczbowe i funkcyjne.
Szereg liczbowy
Def. Ciąg (Sn) sum nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem
Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej lim Sn = S, natomiast rozbieżnym w wypadku przeciwnym. Granicę nazywamy sumą szeregu. Szereg zbieżny ma sumę, natomiast szereg rozbieżny nie ma sumy. Piszemy też
Def.
Def. Szereg nazywamy sumą szeregów i
Warunek konieczny zbieżność szeregu. Jeżeli szereg jest zbieżny, to lim an = 0
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Tw. Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.
kryteria porównawcze. Jeżeli wyrazy ciągów oraz są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna N, że dla każdego n > N jest spełniona nierówność an ≤ bn, to:
zbieżność drugiego szeregu zapewnia zbieżność szeregu pierwszego
rozbieżność szeregu pierwszego zapewnia rozbieżność szeregu drugiego
kryterium Dirichleta (porównawcze w postaci granicznej). Szereg jest rozbieżny dla α ≤ 1, natomiast zbieżny dla α > 1.
kryterium d'Alemberta. Jeżeli istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa) , to szereg o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g < 1, natomiast rozbieżny, gdy g > 1.
kryterium pierwiastkowe (Cauchy'ego-Hadamard). Jeżeli istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa) to szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny, gdy g < 1, natomiast zbieżny, gdy g > 1.
kryterium całkowe Niech m oznacza dowolną liczbę naturalną. Jeżeli funkcja f(x) jest nierosnąca i nieujemna w przedziale <m; +∞), to całka oraz szereg są jednocześnie zbieżne, albo rozbieżne..
Szeregi o wyrazach dowolnych
Def. Szereg nazywamy szeregiem naprzemiennym.
kryterium Leibniza. Jeżeli ciąg (an) jest nierosnący oraz a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ ... oraz lim an = 0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.
kryterium Dirichleta. (an i bn dowolne) an monotonicznie maleje do zera oraz , to szereg jest zbieżny.
Def. Szereg zbieżny nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli jest zbieżny szereg
Def. Szereg zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym, jeżeli szereg jest rozbieżny
Tw. Jeżeli szereg jest zbieżny, to jest bezwzględnie zbieżny szereg .
Def. Szereg o wyrazach nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów. i .
Tw. (Cauchy'ego-Martensa o iloczynie szeregów). Jeżeli szeregi i są zbieżne, przy czym co najmniej jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny, przy czym
Szeregi funkcyjne
Def. Ciąg. (Sn(x)) sum nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem .
Def. Szereg funkcyjny nazywamy zbieżnym w zbiorze X, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny w tym zbiorze natomiast rozbieżnym w przeciwnym przypadku.
Funkcję graniczną S(x) nazywamy sumą szeregu funkcyjnego w zbiorze X i piszemy
Def. Ciąg funkcyjny (fn(x)) nazywamy zbieżnym (punktowo) w zbiorze X do funkcji granicznej f(x) i piszemy .
Def. (Cauchy) Ciąg funkcyjny (fn(x)) nazywamy jednostajnie zbieżnym w zbiorze X do funkcji granicznej f(x) i piszemy
Jeżeli ciąg (Sn(x)) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze X, to szereg funkcyjny nazywamy jednostajnie zbieżnym w tym zbiorze. Jeżeli szereg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze X i zbieżny jest szereg , to nazywamy go bezwzględnie zbieżnym w zbiorze X.
kryterium Weierstrassa. Jeżeli istnieje taka liczba naturalna N, że dla każdego n ≥ N i dla każdego x ∈ X spełniona jest nierówność |fn(x)| ≤ an przy czym szereg liczbowy jest zbieżny, to szereg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze X jednostajnie i bezwzględnie.
Tw. (Leibniz) Dany jest ciąg funkcyjny (fn(x)) na zbiorze D o wartościach R. Jeżeli fn(x) maleje do zera jednostajnie (ew. lokalnie jednostajnie) na D ⇒ jest zbieżny jednostajnie (ew. lok. jedn.) na D. Można oszacować |s(x) - sn(x)| ≤ fn+1(x).
Tw. (o całkowaniu szeregu funkcyjnego (wyraz po wyrazie)) Jeżeli szereg o wyrazach ciągłych w przedziale <a; b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny, to .
Tw. (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego (wyr. po wyr.)) Jeżeli wyrazy szeregu funkcyjnego mają ciągłe pochodne fn'(x) w przedziale <a; b>, szereg funkcyjny jest zbieżny w tym przedziale, a ponadto szereg jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a; b>, to dla każdego x ∈ <a; b>.
Def. Funkcję f ∈ C∞(Ux0, δ) nazywamy analityczną w punkcie x0, jeżeli w otoczeniu Ux0, δ jest ona sumą swojego szeregu Taylora. |x - x0| < δ
Tw. Jeżeli f klasy C∞(Ux0, δ) ma ograniczone pochodne, tzn. ∃M>0 ∀k≥0 ∀x∈Ux0, δ' < δ |f(k)(x)| ≤ M, to f jest analityczna w x0, czyli x ∈ Ux0, δ.
Tw. (N.H. Abel) Jeżeli szereg potęgowy jest zbieżny w punkcie x = 0, to jego suma jest w tym punkcie f ciągła: tzn. jeżeli szereg ma R = 1 i jest zbieżny w co najmniej jednym punkcie x0, to .
13 / יג