MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

1

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 17

Z4/17.1. Zadanie 17

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla ramy płaskiej przedstawionej na rysunku

Z4/17.1. Wymiary ramy podane są w metrach.

A

B

C

D

E

F

[m]

2,0

5,0

2,0

4,0

6,

0

12,0 kN/m

16

,0

kN/

m

10,0 kN

24,0 kNm

Z4/17.1. Rama płaska

Z4/17.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z4/17.2. przedstawia ramę płaską traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę

sztywną.

Tarcza sztywna na rysunku Z4/17.2 posiada trzy stopnie swobody. Jest ona podparta trzema prętami

podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem także trzy stopnie swobody. Został więc
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Rama może więc być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.

Z4/17.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie płaskiej musimy najpierw przyjąć ich

dodatnie zwroty. Rysunek Z4/17.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach ramy.

Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na

ramę na oś poziomą X.



X = H

A



16,0⋅4,0=0

H

A

=−

64,0 kN

.

(Z4/17.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

2

2

1

3

A

B

D

E

F

Rys. Z4/17.2. Rama jako płaska tarcza sztywna

X

Y

A

B

C

D

E

F

[m]

2,0

5,0

2,0

4,0

6,0

12,0 kN/m

16

,0

k

N/m

10,0 kN

24,0 kNm

V

A

H

A

V

F

2,0

G

Rys. Z4/17.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego.

Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających

na ramę względem punktu G, w którym przecinają się kierunki reakcji H

A

oraz V

F

.



M

G

=

V

A

⋅

7,0−24,0−12,0⋅5,0⋅

1
2

⋅

5,016,0⋅4,0⋅



2,0

1

2

⋅

4,0





10,0⋅2,0=0

V

A

=−

14,57 kN

.

(Z4/17.2)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

3

Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego.

Pionową reakcję na podporze F otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających

na ramę względem punktu A.



M

A

=−

V

F

⋅

7,0−24,012,0⋅5,0⋅



2,0

1

2

⋅

5,0





16,0⋅4,0⋅



2,0

1
2

⋅

4,0





10,0⋅9,0=0

V

F

=

84,57 kN

.

(Z4/17.3)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na ramę na oś pionową Y.



Y =V

A



V

F

−

12,0⋅5,0−10,0=−14,5784,57−60,0−10,0=0

.

(Z4/17.4)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na ramę zostały obliczone poprawnie i znajdują się
w równowadze.

Rysunek Z4/17.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej

ramy płaskiej.

A

B

C

D

E

F

[m]

2,0

5,0

2,0

4,

0

6,0

12,0 kN/m

16

,0

kN/

m

10,0 kN

24,0 kNm

14,57 kN

84,57 kN

64,0 kN

Rys. Z4/17.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach ramy płaskiej

Z4/17.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z4/17.5 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale AB. Na

rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe. Jako dolną część pręta AB przyjmiemy prawą część
zaznaczoną na rysunku Z4/17.5 linią przerywaną.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

4

A

x

14,57 kN

64,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/17.5. Siły działające w przedziale AB

W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu

zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem

•

siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi pręta AB będzie

zerowa. Siła normalna ma postać

N



x



=

14,57 kN

.

(Z4/17.5)

Siła poprzeczna ma postać

T



x



=

64,0 kN

.

(Z4/17.6)

Moment zginający w przedziale AB będzie miał postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

5

M



x



=

64,0⋅x

.

(Z4/17.7)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



6,0



=

64,0⋅6,0=384,0 kNm

.

(Z4/17.8)

Jak wiadomo dodatnie momenty zginające rozciągają prawą część przekroju pręta i będziemy je odkładać z
prawej strony.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.19), (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie trzecie. Ma ono postać

dM



x



dx

=

64,0=T



x



.

(Z4/17.9)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w przedziale AB

przedstawiają rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12.

Z4/17.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z4/17.6 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale BC. Na

rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

A

B

[m]

x

6,

0

24,0 kNm

14,57 kN

64,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/17.6. Siły działające w przedziale BC

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

6

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi pręta BC będzie

zerowa. Siła normalna ma postać

N



x



=

64,0 kN

.

(Z4/17.10)

Siła poprzeczna ma postać

T



x



=−

14,57 kN

.

(Z4/17.11)

Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać

M



x



=−

14,57⋅x64,0⋅6,0−24,0=−14,57⋅x 360,0

.

(Z4/17.12)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

360,0 kNm

M



2,0



=−

14,57⋅2,0360,0=330,9 kNm

.

(Z4/17.13)

Jak wiadomo dodatnie momenty zginające rozciągają dolną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
dole.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.19), (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie trzecie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

14,57=T



x



.

(Z4/17.14)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w przedziale BC

przedstawiają rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12.

Z4/17.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD

Rysunek Z4/17.7 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale CD. Na

rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała

postać

q



x



=

12,0

kN

m

.

(Z4/17.15)

Siła normalna w przedziale CD ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

7

D

E

F

[m]

2,0

x

4,0

12,0 kN/m

16

,0

k

N/m

10,0 kN

84,57 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/17.7. Siły działające w przedziale CD

N



x



=

16,0⋅4,0=64,0 kN

.

(Z4/17.16)

Siła poprzeczna ma postać

T



x



=−

84,5710,012,0⋅x=12,0⋅x−74,57

.

(Z4/17.17)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=−

74,57 kN

T



5,0



=−

74,5712,0⋅5,0=−14,57 kN

.

(Z4/17.18)

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału BC wartości jednakowych znaków. Nie będzie ona miała
więc miejsca zerowego w tym przedziale.

Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać

M



x



=−

84,57⋅x−10,0⋅



x2,0





16,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,0−12,0⋅x⋅

x

2

=−

6,0⋅x

2



74,57⋅x108,0

.

(Z4/17.19)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Ponieważ jednak funkcja ta nie ma w przedziale CD ekstremum
(siła poprzeczna nie ma miejsca zerowego) wystarczy, że wyznaczymy jej wartości tylko w dwóch punktach,
trzecim punktem będzie „brzuszek” paraboli skierowany w stronę obciążenia ciągłego równomiernie
rozłożonego q czyli w dół. Wartości momentu zginającego wynoszą

M



0,0



=

108,0 kNm

M



5,0



=−

6,0⋅5,0

2



74,57⋅5,0108,0=330,9 kNm

.

(Z4/17.19)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

8

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.28), (4.29) i (4.30). Równania drugie i trzecie mają postać

dT



x



dx

=

12,0=q



x



,

(Z4/17.20)

dM



x



dx

=

74,57−12,0⋅x=−T



x



.

(Z4/17.21)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w przedziale CD

przedstawiają rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12.

Z4/17.7. Funkcje sił przekrojowych w przedziale DE

Rysunek Z4/17.8 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale DE. Na

rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

E

x

10,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/17.8. Siły działające w przedziale DE

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi pręta DE będzie

zerowa. Siła normalna ma postać

N



x



=

0,0 kN

.

(Z4/17.22)

Siła poprzeczna ma postać

T



x



=

10,0 kN

.

(Z4/17.23)

Moment zginający w przedziale DE będzie miał postać

M



x



=−

10,0⋅x

.

(Z4/17.24)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

9

M



0,0



=

0,0 kNm

M



2,0



=−

10,0⋅2,0=−20,0 kNm

.

(Z4/17.25)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.28), (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie trzecie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

10,0=−T



x



.

(Z4/17.26)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w przedziale DE

przedstawiają rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12.

Z4/17.8. Funkcje sił przekrojowych w przedziale DF

Rysunek Z4/17.9 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale DF. Na

rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe. Jako dolną część pręta DF przyjmiemy prawą część
zaznaczoną na rysunku Z4/17.9 linią przerywaną.

F

x

16

,0

k

N/

m

84,57 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/17.9. Siły działające w przedziale DE

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała

postać

q



x



=

16,0

kN

m

.

(Z4/17.27)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

10

Siła normalna w przedziale DF ma postać

N



x



=−

84,57,0 kN

.

(Z4/17.28)

Siła poprzeczna ma postać

T



x



=−

16,0⋅x

.

(Z4/17.29)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=

0,0 kN

T



4,0



=−

16,0⋅4,0=−64,0 kN

.

(Z4/17.30)

Jak widać siła poprzeczna ma miejsce zerowe w punkcie F.

Moment zginający w przedziale DF będzie miał postać

M



x



=−

16,0⋅x⋅

x
2

=−

8,0⋅x

2

.

(Z4/17.31)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Ekstremum funkcji momentu zginającego będzie się znajdowało
w punkcie F na początku przedziału. Wartość tego ekstremum oraz wartości na końcach przedziału DF
wynoszą

M



0,0



=

0,0 kNm

M



4,0



=−

8,0⋅4,0

2

=−

128,0 kNm

.

(Z4/17.32)

Ujemny moment zginający będziemy rysowali po lewej stronie pręta DF.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.19), (4.20) i (4.21). Równania drugie i trzecie mają postać

dT



x



dx

=−

16,0=−q



x



,

(Z4/17.33)

dM



x



dx

=−

16,0⋅x=T



x



.

(Z4/17.21)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w przedziale DF

przedstawiają rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

11

Z4/17.9. Wykresy sił przekrojowych

Rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12 przedstawiają ostateczne wykresy funkcji siły normalnej i

poprzecznej oraz momentu zginającego w ramie płaskiej wyznaczone metodą ogólną. Ze względu na ich
czytelność wykresów nie narysujemy w jednakowej skali dla całej ramy płaskiej.

N [kN]

64,0

14

,5

7

84

,5

7

0,0

Rys. Z4/17.10. Wykres siły normalnej w ramie płaskiej

T [kN]

14,57

64

,0

74

,5

7

10,0

64,0

0,0

Rys. Z4/17.11. Wykres siły poprzecznej w ramie płaskiej

Z4/17.10. Sprawdzenie wykresów sił przekrojowych

W celu sprawdzenia wykresów siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego

przedstawionych na rysunkach Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12 wykonamy sprawdzenie równowagi sił oraz
momentów w węzłach B i D ramy płaskiej.

Rysunek Z4/17.13 a) przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w węźle B. Jak widać

spełnione są równania sumy rzutów na oś poziomą X i pionową Y.

Rysunek Z4/17.13 b) przedstawia równowagę momentów skupionego oraz zginających w węźle B.

Jak widać spełnione jest równanie sumy momentów względem punktu B.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17

12

M [kNm]

33

0,9

0,0

384,0

36

0,0

0,0

20

,0

0,0

128,0

10

8,

0

[m]

2,0

5,0

2,0

Rys. Z4/17.12. Wykres momentu zginającego w ramie płaskiej

24,0 kNm

64,0 kN

64,0 kN

14,57 kN

14,57 kN

B

24,0 kNm

B

384,0 kNm

360,0 kNm

X

Y

a)

b)

Rys. Z4/17.13. Równowaga węzła B

64,0 kN

D

64,0 kN

84,57 kN

74,57 kN

10,0 kN

D

20,0 kNm

128,0 kNm

108,0 kNm

X

Y

a)

b)

Rys. Z4/17.14. Równowaga węzła D

Rysunek Z4/17.14 a) przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w węźle D. Jak widać

spełnione są równania sumy rzutów na oś poziomą X i pionową Y.

Rysunek Z4/17.14 b) przedstawia równowagę momentów skupionego oraz zginających w węźle D.

Jak widać spełnione jest równanie sumy momentów względem punktu D.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni