MO

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3

1

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 3

Z4/3.1. Zadanie 3

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej przedstawionej na rysunku

Z4/3.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

D

E

[m]

1,0

2,0

2,0

1,0

16,0 kN/m

18,0 kN

Rys. Z4/3.1. Belka złożona

Z4/3.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z4/3.2. przedstawia belkę złożoną traktowaną w analizie kinematycznej jako płaski układ

tarcz sztywnych.

4

1

2

3

C

I

II

A

C

D

E

Rys. Z4/3.2. Belka złożona jako płaski układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z4/3.2 układ składa się z dwóch tarcz sztywnych, które razem posiadają sześć

stopni swobody. Tarcze te są podparte czterema prętami podporowymi 1, 2, 3 i 4 oraz przegubem
rzeczywistym C. Wszystkie te więzy odbierają razem sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek
konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i
statycznie wyznaczalnym.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana. Stanowi ona
więc podłoże dla tarczy sztywnej numer II.

Tarcza sztywna numer II jest podparta przegubem rzeczywistym C oraz prętem podporowym numer 4.

Przegub rzeczywisty C nie leży na kierunku pręta podporowego numer 4. Został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i
statycznie wyznaczalana.

Ponieważ obie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne i statycznie wyznaczalne możemy więc

stwierdzić, że cały płaski układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Możemy więc przystąpić do dalszych obliczeń.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3

2

Z4/3.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Chcąc wyznaczyć reakcje podporowe musimy belkę złożoną rozłożyć na dwie składowe belki proste.

Rysunek Z4/3.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej.

A

B

C

[m]

1,0

2,0

2,0

1,0

16,0 kN/m

C

D

E

18,0 kN

H

A

V

A

V

C

(AC)

H

C

(AC)

V

C

(CE)

H

C

(CE)

V

D

M

A

16,0 kN/m

X

Y

C

V

C

(CE)

H

C

(CE)

H

C

(AC)

V

C

(AC)

Rys. Z4/3.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Zgodnie z rysunkiem Z4/3.3 wartości reakcji działających w przegubie rzeczywistym C spełniają

warunki.

H

C



AC



=

H

C



CE



,

(Z4/3.1)

V

C



AC



=

V

C



CE



.

(Z4/3.2)

Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym C wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę CE na oś poziomą X



X



CE



=

H

C



CE



=

0

H

C



CE



=

0,0 kN

.

(Z4/3.3)

Uwzględniając (Z4/3.1) otrzymamy

H

C



AC



=

0,0 kN

.

(Z4/3.4)

Poziomą reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A wyznaczymy z równania sumy rzutów

wszystkich sił działających na belkę AC na oś poziomą X



X



AC



=

H

A

−

H

C



AC



=

0

H

A

=

0,0kN

.

(Z4/3.5)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3

3

Wyznaczania reakcji pionowych zaczniemy od belki CE, ponieważ na belkę tą działają tylko dwie

takie reakcje, a my dysponujemy dwoma równaniami równowagi.

Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej D otrzymamy z równania sumy momentów

wszystkich sił działających na belkę CE względem punktu C.



M

C



CE



=−

V

D

⋅

2,016,0⋅2,0⋅

1
2

⋅

2,018,0⋅3,0=0

V

D

=

43,0 kN

.

(Z4/3.6)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję przegubie rzeczywistym C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił

działających na belkę CE względem punktu D.



M

D



CE



=

V

C



CE



⋅

2,0−16,0⋅2,0⋅

1

2

⋅

2,018,0⋅1,0=0

V

C



CE



=

7,0 kN

.

(Z4/3.7)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę CE na oś pionową Y.



Y



CE



=

V

C



CE





V

D

−

16,0⋅2,0−18,0=43,07,0−50,0=0

.

(Z4/3.8)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę CE zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.

Mając wyznaczone reakcje w podporach belki CE możemy teraz wyznaczyć reakcje w belce AC.

Uwzględniając (Z4/3.2) otrzymamy pionową reakcję działającą w przegubie rzeczywistym działającą na
belkę AC o wartości

V

C



AC



=

7,0 kN

.

(Z4/3.9)

Moment w utwierdzeniu A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na

belkę AC względem punktu A.



M

A



AC



=

M

A



16,0⋅2,0⋅



1,0

1

2

⋅

2,0





V

C



AC



⋅

3,0=0

M

A



16,0⋅2,0⋅



1,0

1
2

⋅

2,0





7,0⋅3,0=0

M

A

=−

85,0 kNm

.

(Z4/3.10)

Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego.

Pionową reakcję w utwierdzeniu A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił

działających na belkę AC względem punktu C.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3

4



M

C



AC



=

V

A

⋅

3,0M

A

−

16,0⋅2,0⋅

1
2

⋅

2,0=0

V

A

⋅

3,0−85,0−16,0⋅2,0⋅

1
2

⋅

2,0=0

V

A

=

39,0 kN

.

(Z4/3.11)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę AC na oś pionową Y.



Y



AC



=

V

A

−

V

C



AC



−

16,0⋅2,0=39,0−7,0−32,0=0

.

(Z4/3.12)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę AC zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.

Rysunek Z4/3.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki

złożonej.

A

B

C

[m]

1,0

2,0

2,0

1,0

16,0 kN/m

C

D

E

18,0 kN

16,0 kN/m

43,0 kN

7,0 kN

7,0 kN

39,0 kN

85,0 kNm

Rys. Z4/3.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej

Z4/3.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z4/3.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

A

x

39,0 kN

85,0 kNm

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/3.5. Siły działające w przedziale AB

Jak widać na rysunku Z4/3.5 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siłę

poprzeczną wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na
kierunek tej siły.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3

5



T =T



x



−

39,0=0

T



x



=

39,0 kN

.

(Z4/3.13)

Analizując wzór (Z4/3.13) widać, że siłę, która ma zwrot zgodny z dodatnim zwrotem siły poprzecznej
zapisaliśmy z minusem natomiast siłę, która ma zwrot przeciwny zapisaliśmy z plusem. W dalszej części
będziemy już korzystali z tej zasady.

Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą

część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.



M =−M



x



−

85,039,0⋅x=0

M



x



=

39,0⋅x−85,0

.

(Z4/3.14)

Analizując wzór (Z4/3.14) widać, że moment od siły, która kręci zgodnie ze zwrotem dodatniego momentu
zginającego zapisaliśmy z minusem natomiast moment od siły, która kręci przeciwnie z plusem. W dalszej
części będziemy już korzystali z tej zasady. Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją
jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=−

85,0 kN

M



1,0



=

39,0⋅1,0−85,0=−46,0 kNm

.

(Z4/3.15)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=

39,0=T



x



.

(Z4/3.16)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek

Z4/3.9.

Z4/3.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z4/3.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała

postać

q



x



=

16,0

kN

m

.

(Z4/3.17)

Jak widać na rysunku Z4/3.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siła

poprzeczna ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3

6

C

x

16,0 kN/m

7,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/3.6. Siły działające w przedziale BC

T



x



=

16,0⋅x7,0

.

(Z4/3.18)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartość na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=

7,0 kN

T



2,0



=

16,0⋅2,07,0=39,0 kN

.

(Z4/3.19)

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału BC wartości tych samych znaków. Nie będzie ona miała więc
miejsca zerowego w przedziale BC

Moment zginający w przedziale CD ma postać

M



x



=−

7,0⋅x−16,0⋅x⋅

x
2

=−

8,0⋅x

2

−

7,0⋅x

.

(Z4/3.20)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wartości w punktach końcowych przedziału BC wynoszą

M



0,0



=

0,0 kNm

M



2,0



=−

8,0⋅2,0

2

−

7,0⋅2,0=−46,0 kNm

.

(Z4/3.21)

Trzecim punktem będzie fakt, że „brzuszek” paraboli musi być skierowany w stronę obciążenia ciągłego
równomiernie rozłożonego czyli w dół. Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część
przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.29) i (4.30). Pierwsze z nich ma postać

dT



x



dx

=

16,0=q



x



.

(Z4/3.22)

Drugie z nich ma postać

dM



x



dx

=−

16,0⋅x−7,0=−T



x



.

(Z4/3.23)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3

7

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek

Z4/3.9.

Z4/3.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD

Rysunek Z4/3.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

x

16,0 kN/m

7,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

C

Rys. Z4/3.7. Siły działające w przedziale CD

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała

postać

q



x



=

16,0

kN

m

.

(Z4/3.24)

Jak widać na rysunku Z4/3.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siła

poprzeczna ma postać

T



x



=

7,0−16,0⋅x

.

(Z4/3.25)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartość na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=

7,0 kN

T



2,0



=

7,0−16,0⋅2,0=−25,0 kN

.

(Z4/3.26)

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału CD wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc
miejsce zerowe w przedziale CD. Znajduje się ono

7,0−16,0⋅x

0

=

0

x

0

=

0,4375 m

(Z4/3.27)

od początku przedziału CD czyli od punktu C.

Moment zginający w przedziale CD ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3

8

M



x



=

7,0⋅x−16,0⋅x⋅

x

2

=−

8,0⋅x

2



7,0⋅x

.

(Z4/3.28)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



0,4375



=−

8,0⋅0,4375

2



7,0⋅0,4375=1,531 kNm

M



2,0



=−

8,0⋅2,0

2



7,0⋅2,0=−18,0 kNm

.

(Z4/3.29)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.20) i (4.21). Pierwsze z nich ma postać

dT



x



dx

=−

16,0=−q



x



.

(Z4/3.30)

Drugie z nich ma postać

dM



x



dx

=−

16,0⋅x7,0=T



x



.

(Z4/3.31)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale CD przedstawia rysunek

Z4/3.9.

Z4/3.7. Funkcje sił przekrojowych w przedziale DE

Rysunek Z4/3.8 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale DE. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

N(x)

T(x)

M(x)

E

x

18,0 kN

X

Rys. Z4/3.8. Siły działające w przedziale DE

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.

Jak widać na rysunku Z4/3.8 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna
ma postać

T



x



=

18,0 kN

.

(Z4/3.32)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3

9

A

B

C

D

E

[m]

1,0

2,0

2,0

1,0

16,0 kN/m

18,0 kN

85,0 kNm

39,0 kN

43,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

39,0

7,

0

25

,0

18,0

85

,0

46

,0

0,0

18

,0

0,

0

0,4375

1,563

0,4375

1,563

1,5

31

Rys. Z4/3.9. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego

Moment zginający w przedziale DE będzie miał postać

M



x



=−

18,0⋅x

.

(Z4/3.33)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



1,0



=−

18,0⋅2,0=−18,0 kNm

.

(Z4/3.34)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

18,0=−T



x



.

(Z4/3.35)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale DE przedstawia rysunek

Z4/3.9.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/3. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3

10

Z4/3.8. Wykresy sił przekrojowych

Rysunek Z4/3.9 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego

w belce złożonej.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni