MO

Z4/10. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 10

1

Z4/10. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 10

Z4/10.1. Zadanie 10

Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej

przedstawionej na rysunku Z4/10.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

D

E

1,0

3,0

2,0

6,0

[m]

16,0 kN

8,0 kN/m

24,0 kN/m

Rys. Z4/10.1. Belka złożona

Analiza kinematyczna belki złożonej przedstawionej na rysunku Z4/10.1 znajduje się w zadaniu 9.

Zgodnie z tamtym zadaniem rysunek Z4/10.2 i Z4/10.3 przedstawiają wartości i zwroty reakcji
podporowych.

A

B

C

D

E

1,0

3,0

2,0

6,0

[m]

16,0 kN

8,0 kN/m

24,0 kN/m

33,33 kN

80,89 kN

69,78 kN

Rys. Z4/10.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w belce złożonej

A

B

C

1,0

3,0

2,0

6,0

[m]

16,0 kN

8,0 kN/m

C

D

E

24,0 kN/m

33,33 kN

6,667 kN

6,667 kN

80,89 kN

69,78 kN

Rys. Z4/10.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej

Z4/10.2. Wykres siły poprzecznej

Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziałach BC i DE siła poprzeczna będzie funkcją liniową natomiast w

pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. Przegub rzeczywisty C nie będzie wpływał na wartość
siły poprzecznej. Pionowe reakcje na podporach B i D będą powodowały skok siły poprzecznej o wartości
bezwzględnej równej danej reakcji.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/10. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 10

2

Rysowanie wykresu siły poprzecznej zaczniemy od punktu A. W punkcie tym działa siła o wartości

16,0 kN w dół. Siła poprzeczna w tym punkcie wynosi więc

T

A

=−

16,0 kN

.

(Z4/10.1)

W przedziale AB nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz

z lewej strony punktu B wartość stałą równą

T

AB

=

T

B



L



=−

16,0 kN

.

(Z4/10.2)

W punkcie B działa reakcja o wartości 33,33 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony

punktu B wynosi więc

T

B



P



=−

16,033,33=17,33 kN

.

(Z4/10.3)

W przedziale BC działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone o wartości 8,0 kN/m w dół więc

siła poprzeczna w tym przedziale będzie liniowo opadać a w punkcie C tego przedziału wynosi

T

C



L



=

17,33−8,0⋅3,0=−6,67 kN

.

(Z4/10.4)

Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału BC ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale
tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (4.125) jego odległość od punktu B wynosi

x

L

=

17,33

8,0

=

2,166 m

(Z4/10.5)

natomiast od punktu C, zgodnie ze wzorem (4.126) miejsce zerowe znajduje się w odległości

x

P

=

6,67

8,0

=

0,8338 m

.

(Z4/10.6)

Przegub rzeczywisty C nie będzie wpływał na wartość siły poprzecznej więc z prawej strony punktu C

siła poprzeczna wynosi

T

C



P



=−

6,67 kN

.

(Z4/10.7)

W przedziale CD nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz

z lewej strony punktu D wartość stałą równą

T

CD

=

T

D



L



=−

6,67 kN

.

(Z4/10.8)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/10. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 10

3

W punkcie D działa reakcja o wartości 80,89 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony

punktu D wynosi więc

T

D



P



=−

6,6780,89=74,22 kN

.

(Z4/10.9)

W przedziale DE działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone o wartości 24,0 kN/m w dół więc

siła poprzeczna w tym przedziale będzie liniowo opadać a w punkcie E tego przedziału wynosi

T

E

=

74,22−24,0⋅6,0=−69,78 kN

.

(Z4/10.10)

Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału DE ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale
tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (4.125) jego odległość od punktu D wynosi

x

L

=

74,22

24,0

=

3,093 m

(Z4/10.11)

natomiast od punktu E, zgodnie ze wzorem (4.126) miejsce zerowe znajduje się w odległości

x

P

=

69,78

24,0

=

2,908 m

.

(Z4/10.12)

Rysunek Z4/10.4 przedstawia ostateczną postać wykresu siły poprzecznej w całej belce złożonej

wyznaczonego metodą punktów charakterystycznych.

A

B

C

D

E

1,0

3,0

2,0

6,0

[m]

16,0 kN

8,0 kN/m

24,0 kN/m

33,33 kN

80,89 kN

69,78 kN

0,8334

2,167

2,908

3,093

T(x) [kN]

16,0

17

,3

3

6,67

74

,2

2

69

,7

8

Rys. Z4/10.4. Wykres siły poprzecznej w belce złożonej

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/10. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 10

4

Z4/10.3. Wykres momentu zginającego

Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziałach BC i DE moment zginający będzie funkcją kwadratową

natomiast w pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową. Wykres momentu będzie w całej belce ciągły.
Moment zginający w przegubie rzeczywistym C będzie miał wartość zero. W dalszej części, przy obliczaniu
wartości momentu zginającego w punktach charakterystycznych, siły, które kręcą zgodnie z założonym
momentem zginającym będziemy zapisywać z minusem, siły które kręcą przeciwnie z plusem.

A

16,0 kN

A

16,0 kN

1,0

[m]

M

A

M

B

(L)

a)

b)

Rys. Z4/10.5. Momenty zginające na obu końcach przedziału AB

Rysunek Z4/10.5 a) przedstawia moment zginający w punkcie A. Zgodnie z tym rysunkiem moment

ten ma wartość

M

A

=

0,0kNm

.

(Z4/10.13)

Rysunek Z4/10.5 b) przedstawia moment zginający w punkcie B z lewej strony podpory. Zgodnie z

tym rysunkiem moment ten ma wartość

M

B



L



=−

16,0⋅1,0=−16,0 kNm

.

(Z4/10.14)

Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.

3,0

C

8,0 kN/m

6,667 kN

[m]

M

B

(P)

C

6,667 kN

M

C

(L)

a)

b)

Rys. Z4/10.6. Momenty zginające na obu końcach przedziału BC

Rysunek Z4/10.6 a) przedstawia moment zginający w punkcie C z lewej strony. Zgodnie z tym

rysunkiem moment ten ma wartość

M

C



L



=

0,0 kNm

.

(Z4/10.15)

Rysunek Z4/10.6 b) przedstawia moment zginający w punkcie B z prawej strony podpory. Zgodnie z

tym rysunkiem moment ten ma wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/10. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 10

5

M

B



P



=

6,667⋅3,0−8,0⋅3,0⋅

1
2

⋅

3,0=−16,0 kNm

.

(Z4/10.16)

Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z4/10.14). Znak minus oznacza, że rozciąga
on górną część belki.

C

8,0 kN/m

6,667 kN

A

B

1,0

0,8338

[m]

16,0 kN

8,0 kN/m

33,33 kN

2,166

M

1

M

1

Rys. Z4/10.7. Ekstremalny moment zginający w przedziale BC

Rysunek Z4/10.7 przedstawia ekstremalny moment zginający w przedziale BC. Zgodnie z rysunkiem

Z4/10.7 a) wynosi on

M

1

=−

16,0⋅



1,02,166





33,33⋅2,166−8,0⋅2,166⋅

1

2

⋅

2,166=2,771 kNm

(Z4/10.17)

Zgodnie z rysunkiem Z4/10.7 b) wynosi on

M

1

=

6,667⋅0,8338−8,0⋅0,8338⋅

1
2

⋅

0,8338=2,778 kNm

.

(Z4/10.18)

Jak widać ekstremalne momenty zginające w przedziale BC obliczone dla lewej i prawej części belki AC są
prawie takie same. Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.

C

6,667 kN

M

C

(P)

C

2,0

6,667 kN

[m]

M

D

(L)

a)

b)

Rys. Z4/10.8. Momenty zginające na obu końcach przedziału CD

Rysunek Z4/10.8 a) przedstawia moment zginający w punkcie C z prawej strony. Zgodnie z tym

rysunkiem moment ten ma wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/10. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 10

6

M

C



P



=

0,0 kNm

.

(Z4/10.19)

Rysunek Z4/10.8 b) przedstawia moment zginający w punkcie D z lewej strony podpory. Zgodnie z

tym rysunkiem moment ten ma wartość

M

D



L



=−

6,667⋅2,0=−13,33 kNm

.

(Z4/10.20)

Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.

E

24,0 kN/m

69,78 kN

6,0

[m]

M

D

(P)

E

69,78 kN

M

E

a)

b)

Rys. Z4/10.9. Momenty zginające na obu końcach przedziału DE

Rysunek Z4/10.9 a) przedstawia moment zginający w punkcie D z prawej strony. Zgodnie z tym

rysunkiem moment ten ma wartość

M

D



P



=

69,78⋅6,0−24,0⋅6,0⋅

1
2

⋅

6,0=−13,32 kNm≈−13,33 kNm

.

(Z4/10.21)

Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z4/10.20). Znak minus oznacza, że rozciąga
on górną część belki.

Rysunek Z4/10.9 b) przedstawia moment zginający w punkcie E. Zgodnie z tym rysunkiem moment

ten ma wartość

M

E

=

0,0 kNm

.

(Z4/10.22)

[m]

E

69,78 kN

2,908

24,0 kN/m

2,0

3,093

[m]

C

D

24,0 kN/m

6,667 kN

80,89 kN

M

2

M

2

a)

b)

Rys. Z4/10.10. Ekstremalny moment zginający w przedziale DE

Rysunek Z4/10.10 przedstawia ekstremalny moment zginający w przedziale DE. Zgodnie z rysunkiem

Z4/10.10 a) wynosi on

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/10. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 10

7

M

2

=−

6,667⋅



2,03,093





80,89⋅3,093−24,0⋅3,093⋅

1
2

⋅

3,093=101,4 kNm

(Z4/10.23)

Zgodnie z rysunkiem Z4/10.10 b) wynosi on

M

2

=

69,78⋅2,908−24,0⋅2,908⋅

1

2

⋅

2,908=101,4 kNm

.

(Z4/10.24)

Jak widać ekstremalne momenty zginające w przedziale DE obliczone dla lewej i prawej części belki CE są
takie same. Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.

Rysunek Z4/10.11 przedstawia ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w belce

złożonej wyznaczone metodą punktów charakterystycznych.

A

B

C

D

E

1,0

3,0

2,0

6,0

[m]

16,0 kN

8,0 kN/m

24,0 kN/m

33,33 kN

80,89 kN

69,78 kN

0,8334

2,908

2,167

0,8334

2,167

3,093

2,908

3,093

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

16,0

17

,3

3

6,67

74

,2

2

69

,7

8

0,0

16

,0

2,7

78

0,

0

13

,32

0,

0

10

1,4

Rys. Z4/10.11. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego wyznaczone metodą punktów

charakterystycznych

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni