http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I

9. Ruch drgający swobodny

RUCH DRGAJĄCY



Drganie (ruch

drgający) – ruch (lub zmiana stanu), który

charakteryzuje

się powtarzalnością w czasie wielkości fizycznych,

określających ten ruch lub stan (np. położenie, prędkość).

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Drganie okresowe (periodyczne)

– powtarzanie zachodzi zawsze

po tym samym czasie T, zwanym okresem.



Drganie okresowe harmoniczne

–

położenie ciała opisuje funkcja

sinus

(bądź kosinus)

:

 













t

A

t

x

sin



W ruchu harmonicznym:

Prędkość:

Przyspieszenie:

są również funkcjami harmonicznymi!

 















t

A

t

v

cos

 





)

(

sin

2

2

t

x

t

A

t

a



















DRGANIA HARMONICZNE



Przypomnienie:

Druga zasada dynamiki Newtona:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

m

F

dt

x

d

a





2

2



Ruch harmoniczny to taki, dla

którego

:

Siła jest proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie do niego
skierowana (prawo

Hooke’a). (F - siła harmoniczna)

x

k

F











Ogólne równanie różniczkowe drgań harmonicznych:

   

 

t

x

t

x

dt

t

x

d

2

2

2















Wykładniczy sposób zapisu drgań harmonicznych:

 

















t

i

A

t

x

exp

DRGANIA HARMONICZNE



Wielkości

opisujące

ruch

harmoniczny

prosty

(drgania

harmoniczne):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 













t

A

t

x

sin

-

jest

amplitudą drgań (maksymalną zmianą względem

położenia równowagi);
-

to faza

drgań (mierzona w radianach bądź stopniach);

-

to

częstość kołowa (pulsacja) (w radianach na sekundę);

-

to faza

początkowa.

A











t

T





2





-

Częstotliwość drgań:

(Hz

– herc)





2

1





T

f

DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKŁADY



Wahadło matematyczne:

Punkt materialny, zawieszony na

nieważkiej i nierozciągliwej nici;

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



sin

g

g

t







l

s









g

g

dt

d

l

dt

s

d











sin

2

2

2

2

g

l

T



2



Okres

drgań:

DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKŁADY



Wahadło fizyczne:

Ciało doskonale sztywne, które pod działaniem własnego ciężaru
waha

się dookoła osi poziomej, nie przechodzącej przez środek

ciężkości ciała;

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

mgL

I

T



2



Okres

drgań

:

DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKŁADY



Sprężyna:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

F



x

k

F









 

t

x

m

k

dt

x

d





2

2

Prawo

Hooke’a:

Równanie ruchu:

m

k

T



2



Okres

drgań:

x



DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKŁADY



Obwód LC:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Okres

drgań

:

0





L

C

U

U

0





dt

dI

L

C

q

dt

dq

I



0

1

2

2





q

LC

dt

q

d

LC

T



2



SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH



Zasada superpozycji:

Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm

drganiom, to jego wychylenie jest

sumą wychyleń, wynikających z

każdego ruchu.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Składanie drgań harmonicznych, odbywających się wzdłuż jednej

prostej:

1) przypadek

dwóch ruchów harmonicznych, odbywających się z

jednakową częstością

:







1

1

1

cos









t

A

x





2

2

2

cos









t

A

x

SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH

gdzie:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wypadkowa jest drganiem z

tą samą częstością!





w

w

w

t

A

x

x

x













cos

2

1





1

2

2

1

2

2

2

1

2

cos

2













A

A

A

A

A

w

amplituda

2

2

1

1

2

2

1

1

cos

cos

sin

sin











A

A

A

A

tg

w







faza



Amplituda drgania wypadkowego

zależy od różnicy początkowych

faz

drgań składowych. Jeśli ta różnica nie zmienia się z

upływem

czasu,

to

takie

drgania

synchroniczne

nazywamy

koherentnymi.





1

2







SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





1

2

2

1

2

2

2

1

2

cos

2













A

A

A

A

A

w

Przypadki

szczególne:

• Różnica faz drgań składowych równa się zeru albo całkowitej
wielokrotności 2



:







2

1

2







k

,...

2

,

1

,

0



k

Maksymalna amplituda

drgań jest

sumą amplitud drgań składowych.

SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





1

2

2

1

2

2

2

1

2

cos

2













A

A

A

A

A

w

Przypadki

szczególne:

• Różnica

faz

drgań

składowych

równa

się

nieparzystej

wielokrotności



:

,...

2

,

1

,

0



k

Maksymalna amplituda

drgań jest

różnicą

amplitud

drgań

składowych.





1

2

1

2















k

SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH



Przypadek

dwóch ruchów harmonicznych, odbywających się z różną

częstotliwością: wypadkowa jest prostym drganiem harmonicznym
tylko wtedy, gdy stosunek obu

częstotliwości można wyrazić liczbą

wymierną.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Przypadek

dwóch

ruchów

harmonicznych

(o

jednakowej

amplitudzie),

których częstości różnią się nieznacznie: dudnienia:

 









 

t

t

A

t

A

t

A

x

w











cos

2

cos

2

cos

cos











 













SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH



Jeśli różnica faz

drgań składowych zmienia się z

upływem czasu w sposób dowolny, to amplituda drgań wypadkowych
zmienia

się z upływem czasu i nie ma sensu w ogóle mówić o

składaniu amplitud. Jest to tzw. niekoherentne składanie drgań.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 

 





t

t

1

2









Drgania typu:

nazywamy modulowanymi.

 

 

 





t

t

t

A

t

x









cos

1) modulowana faza

(częstość) – FM:

const

A



 

t



2) modulowana amplituda

– AM:

const





max

A

dt

dA





ANALIZA HARMONICZNA



Analiza harmoniczna

– to sposób na przedstawienie złożonych

drgań

modulowanych

w

postaci

szeregu

prostych

drgań

harmonicznych.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



G. Fourier: dowolne drganie

złożone można przedstawić jako sumę

prostych

drgań

harmonicznych

o

wielokrotnościach

pewnej

podstawowej

częstości kątowej

:



 















N

n

n

n

t

n

A

t

x

0

sin





W

ogólnym przypadku, liczba wyrazów w szeregu Fouriera jest

nieskończona (możemy wtedy przejść do całek zamiast sum), ale
istnieją takie drgania, dla których szeregi Fouriera nie zawierają
pewnych

wyrazów.

SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH



Załóżmy, że punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch

drganiach

harmonicznych,

odbywających

się

z

jednakowymi

częstościami

w

dwóch kierunkach wzajemnie prostopadłych:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



 





x

x

t

A

t

x









sin

 





y

y

t

A

t

y









sin

SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH

1)

Początkowe fazy obu drgań są jednakowe:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Można tak ustawić odczyt czasu, żeby były równe zeru:

0





y

x





Dzieląc stronami:

- linia prosta

 

x

A

A

x

y

x

y



 





x

x

t

A

t

x









sin

 





y

y

t

A

t

y









sin

SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH

2)

Początkowa różnica faz obu drgań jest równa :

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Dzieląc stronami:

- linia prosta

 





x

x

t

A

t

x









sin

 





y

y

t

A

t

y









sin















y

x

 

x

A

A

x

y

x

y





SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH

3)

Początkowa różnica faz obu drgań jest równa

:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

I ostatecznie:

- elipsa

 





x

x

t

A

t

x









sin

 





y

y

t

A

t

y









sin



2



Wtedy:

 

 

t

A

t

x

x



cos



 

 

t

A

t

y

y



sin



1

2

2

2

2





y

x

A

y

A

x

Punkt porusza

się po tej elipsie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara;

SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH

4)

Początkowa różnica faz obu drgań jest równa

:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

I ostatecznie:

- elipsa

 





x

x

t

A

t

x









sin

 





y

y

t

A

t

y









sin



Wtedy:

 

 

t

A

t

x

x



cos





 

 

t

A

t

y

y



sin



1

2

2

2

2





y

x

A

y

A

x

– również elipsa, ale o obiegu zgodnym z ruchem wskazówek zegara;

2

3



SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH



Inne

różnice faz

– również elipsy, ale o osiach nie pokrywających się z osiami układu
współrzędnych.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



W przypadku

ogólnym – dowolne częstości, amplitudy, fazy – mamy

do czynienia z tzw. figurami Lissajous.