gik mnu calkowanie id 190983 Nieznany

background image

Całkowanie numeryczne

Piotr Modliński

20 października 2010

Spis treści

1

Wstęp

1

2

Definicje i oznaczenia

1

3

Kwadratury proste Newtona-Cotesa

2

3.1

Formuła prostokątów . . . . . . . . .

2

3.2

Formuła trapezów . . . . . . . . . . .

2

4

Kwadratury złożone Newtona-Cotesa

2

4.1

Złożona formuła prostokątów

. . . .

3

4.1.1

Oszacowanie błędu . . . . . .

3

4.2

Złożona formuła trapezów . . . . . .

3

4.2.1

Oszacowanie błędu . . . . . .

3

5

Uwagi na koniec

4

6

Zadania kontrolne

4

6.1

Zadanie 1 . . . . . . . . . . . . . . .

4

6.2

Zadanie 2 . . . . . . . . . . . . . . .

4

1

Wstęp

Wielokrotnie w naukach technicznych występuje ko-
nieczność obliczenia całki oznaczonej. O ile jest
to rozwiązanie bardzo wygodne z matematycznego
punktu widzenia, wpisuje się idealnie w analizę funk-
cji, można snuć teoretyczne rozważania, o tyle jest
często bardzo trudne do wykonania w praktyce. Z
definicji obliczenie wartości całki oznaczonej wy-
maga wyznaczenia funkcji pierwotnej, a następnie
obliczenie jej wartości na granicy przedziałów. Wła-
śnie to określenie postaci funkcji pierwotnej jest czę-
sto największym problemem. Najprostszą sytuacją
jest taka, w której po prostu nie potrafimy tej funk-
cji wyznaczyć. Zdarza się również, że nie jest to
wina naszej niekompetencji, ale funkcja pierwotna
jest w ogóle niemożliwa do wyznaczenia – np. nie
ma postaci analitycznej. Może zdarzyć się, że ana-
lityczne obliczenia już po wyznaczeniu funkcji pier-
wotnej dają bardzo duży błąd numeryczny, zatem są

z punktu widzenia dalszego przetwarzania nieprzy-
datne. Wreszcie ostatnią grupę stanowią funkcje ta-
blicowane, w których postać funkcji podcałkowej jest
aproksymowana za pomocą listy wartości pobieranej
np. z pomiarów. W tej sytuacji także nie ma możli-
wości określenia postaci analitycznej.

Zamiast robić to analitycznie, w przypadku całki

oznaczonej można wykorzystać do obliczeń kompu-
ter. W sposób numeryczny możliwe jest wyznacze-
nie przybliżonej wartości całki oznaczonej na zada-
nym przedziale jeśli tylko potrafimy określić war-
tość funkcji podcałkowej dla konkretnych wartości.
W dalszej części zajmiemy się przykładowymi me-
todami określania całki, a także oszacowaniem do-
kładności takiego przybliżenia.

2

Definicje i oznaczenia

Kwadraturą (czy kwadraturą numeryczną) okre-
ślamy przedstawioną niżej metodę obliczania całek
oznaczonych.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

I(f ) =

R

b

a

f (x)dx – całka oznaczona

S(f ) =

P

n
i
=0

f (x

i

)A

i

– formuła liniowa (kombi-

nacja liniowa wartości funkcji w punktach x

i

),

gdzie A

i

jest tzw. współczynnikiem formuły li-

niowej, oraz x

i

∈< a, b >

R(f ) = I(f ) − S(f ) – błąd formuły

Można zauważyć wówczas, że I(f ) ≈ S(f ), a przy-
bliżenie jest tym dokładniejsze, im większa jest
liczba n.

Liczbę n nazywamy rzędem kwadratury – kwadra-

tura jest dokładna dla wszystkich wielomianów stop-
nia mniejszego od n, oraz istnieje wielomian stopnia
n, dla którego nie jest dokładna.

1

background image

3

Kwadratury

proste

Newtona-Cotesa

Tzw. kwadratury Newtona-Cotesa polegają na przy-
bliżeniu funkcji podcałkowej za pomocą wielomianu
określonego stopnia, czyli:

Z

b

a

f (x)dx ≈

Z

b

a

W (x)dx

gdzie W (x) jest tzw. wielomianem interpolacyjnym
Lagrange’a
funkcji f opartym na równoodległych
węzłach x

i

= a + ih, gdzie i = 0, 1, . . . , n, zaś

h =

b−a

n

.

Dla zastosowań praktycznych (nie wchodząc zbyt

głęboko w teorię) wykorzystywanych na zajęciach
będziemy używali tylko dwóch kwadratur:

• Kwadraturę stopnia 0 – tzw. formułę prostoką-

tów

• Kwadraturę stopnia 1 – tzw. formułę trapezów

Wykorzystywane są także kwadratury wyższych rzę-
dów (np. rzędu 2 – tzw. formuła parabol wykorzy-
stująca 3 kolejne punkty), oraz metody Monte-Carlo
(opierające się o losowe próbkowanie i szacowanie
pola pod i nad wykresem funkcji), jednak nie bę-
dziemy się nimi dalej zajmować skupiając się jedynie
na dobrym zrozumieniu dwóch najprostszych.

3.1

Formuła prostokątów

Funkcję przybliżamy wielomianem stopnia zerowego,
a więc funkcją stałą. Zgodnie z definicją wykorzystu-
jemy do tego tylko jeden węzeł x

0

= a, toteż nasze

przybliżenie ma postać:

Z

b

a

f (x)dx ≈

Z

b

a

f (a)dx = f (a) · (b − a)

Schematycznie przedstawiono to na rysunku 1, gdzie
zakreskowano dokładną wartość całki, natomiast
przybliżenie oznaczono kolorem szarym.

Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby wy-

boru punktu węzłowego dokonać w inny sposób –
np. biorąc środek przedziału, bądź dowolny inny.

3.2

Formuła trapezów

Nieznacznie bardziej złożoną kwadraturą jest tzw.
formuła trapezów. W tym przypadku wielomian in-
terpolacyjny jest wielomianem stopnia 1, czyli do-
wolną prostą. Ponieważ mamy do czynienia z wie-
lomianem stopnia 1, potrzebujemy dwóch punktów,

x

b

f(x)

W(x)=f(a)

y

a

Rysunek 1: Kwadratura prosta stopnia 0 – formuła
prostokątów

by go wyznaczyć

1

. Przyjmujemy więc następujące

punkty węzłowe:

x

0

= a ⇒ f (x

0

) = f (a)

x

1

= b ⇒ f (x

1

) = f (b)

Wyznaczamy zatem funkcję liniową i całkujemy ją
na przedziale < a, b >. Powstaje trapez (stąd nazwa
formuły trapezów), którego pole można wyznaczyć
prosto ze wzoru:

Z

b

a

f (x)dx ≈

Z

b

a

W (x)dx =

f (a) + f (b)

2

(b − a)

Schematycznie rozwiązanie przedstawione zostało na
rysunku 2, gdzie zakreskowano dokładną wartość
całki, natomiast przybliżenie oznaczono kolorem sza-
rym.

x

b

f(x)

W(x)

y

a

Rysunek 2: Kwadratura prosta stopnia 1 – formuła
trapezów

4

Kwadratury

złożone

Newtona-Cotesa

Jak nietrudno zauważyć, metody te są tym skutecz-
niejsze, im granice całkowania są położone bliżej sie-
bie. Wykorzystując powyższe spostrzeżenie można

1

nie będę tego dowodził, jeśli ktoś jest zainteresowany, od-

syłam do własności układu równań Cramera

2

background image

wykazać, że jeśli podzielimy przedział < a, b > na
m ­ 0 równych części, otrzymamy następującą za-
leżność:

R(f ) ­

m

X

i=1

R

i

(f )

gdzie:
R

i

(f ) =

R

b

i

a

i

f (x)dx −

R

b

i

a

i

W (x)dx

a

i

= a + (i − 1)h

b

i

= a + ih

h =

b−a

m

lub bardziej intuicyjnie – suma błędów zrobionych
na wielu małych przedziałach jest mniejsza niż błąd
zrobiony na jednym dużym przedziale (będącym
sumą małych).

Powyższe spostrzeżenia wykorzystać można do

budowy znacznie dokładniejszych kwadratur – tzw.
kwadratur złożonych. Podobnie, jak przy omawianiu
kwadratur prostych, tak i tutaj mamy do czynienia
z różnymi możliwymi podejściami, jednak skupimy
się na dwóch najprostszych – wielomianach stałych
i liniowych.

4.1

Złożona formuła prostokątów

Dla każdego podprzedziału (długości h) przybliżamy
funkcję pewną stałą – wartością funkcji podcałkowej
liczonej w początku przedziału (lub w dowolnym in-
nym ustalonym punkcie). Mamy wówczas:

S(f ) = h ·

m

X

i=1

f (a

i

)

Poglądowo przedstawiona została na rysunku 3.

x

b

f(x)

y

a

Rysunek 3: Kwadratura złożona stopnia 0 – formuła
prostokątów

4.1.1

Oszacowanie błędu

Zakładając, że funkcja podcałkowa jest klasy C

1

(czyli ma ciągłą pierwszą pochodną) na przedziale
< a, b > można oszacować, że

|R(f )| ¬

M

1

(b − a)

2

· h

gdzie:
M

1

= max

x∈<a,b>

|f

0

(x)|

Widać wyraźnie, że zagęszczając podział, popeł-
niany błąd zbiega do zera (lim

h→0

R(f ) = 0), co po-

twierdza intuicyjne spostrzeżenia, które poczynili-
śmy wyżej. Jeżeli nasza funkcja ma jeszcze lepsze
własności, tj. f ∈ C

2

< a, b > (ma ciągłą drugą

pochodną na rozważanym przedziale), można osza-
cować wielkość błędu znacznie dokładniej, ale poniż-
sze oszacowanie jest prawdziwe jedynie dla wyboru
punktów węzłowych pośrodku przedziału:

|R(f )| ¬

M

2

(b − a)

24

· h

2

gdzie:
M

2

= max

x∈<a,b>

|f

00

(x)|

4.2

Złożona formuła trapezów

Dokładna analogia do złożonej formuły prostokątów
– dla każdego podprzedziału przybliżamy funkcję
podcałkową funkcją liniową wyznaczaną na podsta-
wie wartości funkcji podcałkowej na granicach pod-
przedziału. Można wyznaczyć następujące przybli-
żenie:

S(f ) = h ·

f (a) + f (b)

2

+

m

X

i=2

f (a

i

)

!

Interpretacja graficzna przedstawiona została na ry-
sunku 4.

x

b

f(x)

y

a

Rysunek 4: Kwadratura złożona stopnia 1 – formuła
trapezów

4.2.1

Oszacowanie błędu

Można wykazać, że jeśli f ∈ C

2

< a, b > to błąd

przybliżenia spełnia następującą nierówność:

|R(f )| ¬

M

2

(b − a)

12

· h

2

3

background image

5

Uwagi na koniec

Zbieżność

Z powyższych rozważań (w szczególności z osza-
cowania błędów) wynika, że ciąg kwadratur
Newtona-Cotesa S

m

(f ), gdzie m jest liczbą pod-

przedziałów, jest zbieżny dla wszystkich funkcji
f ∈< a, b > dla m → ∞ (czyli h → 0), a więc:

lim

m→∞

S

m

(f ) = I(f ) =

Z

b

a

f (x)dx

Warunek stopu

W praktyce często trudne jest szacowanie ilo-
ści iteracji niezbędnych do osiągnięcia żądanej
dokładności na podstawie przedstawionych teo-
retycznych oszacowań, lub jest ona silnie za-
wyżona (zwłaszcza jeśli nie umiemy dokładnie
ograniczyć pochodnych). Aby poradzić sobie z
tym problemem stosuje się często iteracyjne wy-
konywanie coraz dokładniejszych przybliżeń i
badanie różnic kolejnych, tj. dąży się do tego,
by:





S

m

(f ) − S

m+1

(f )

S

m+1

(f )





¬ 

gdzie  jest pożądaną dokładnością. Podejście
to wystarcza dla całkowania znakomitej więk-
szości funkcji wykorzystywanych w praktyce.
W każdym kolejnym przybliżeniu wykorzystuje
się często wielokrotność liczby używanych pod-
przedziałów, co umożliwia wykorzystanie w ob-
liczeniach już wykorzystanych wartości.

6

Zadania kontrolne

6.1

Zadanie 1

Proszę obliczyć złożoną formułę prostokątów (dwu-
krotnie – raz z wyborem punktu węzłowego na po-
czątku, drugi raz na środku podprzedziału), oraz
trapezów, a następnie porównać wyniki obliczeń z
wartościami dokładnymi dla następujących zesta-
wów funkcji i przedziałów:

1. f (x) = x

2

, x ∈< 0, 1 >

2. f (x) = sin(x), x ∈< 0, π >

3. f (x) = e

x

, x ∈< 1, 2 >

4. f (x) = x, x ∈< 0, 1 >

Dla jakich przypadków która z kwadratur jest do-
kładna (dokładniejsza) i dlaczego? Proszę porównać
wyniki obliczeń z teoretycznymi oszacowaniami błę-
dów.

6.2

Zadanie 2

Dana jest funkcja f (x) = 0, 001x

2

e

x

. Zdefiniujmy

całkę oznaczoną postaci I(f ) =

R

4

1

f (x)dx. Proszę

obliczyć wartość całki za pomocą złożonej kwadra-
tury trapezów stosując minimalną liczbę potrzeb-
nych przedziałów tak, aby:

1. wykorzystując teoretyczne oszacowanie błędu

mieć gwarancję, że błąd kwadratury |R(f )| ¬

= 0, 01

2. Błąd kwadratury spełniał rzeczywiście zależ-

ność |R(f )| ¬  = 0, 01 (na podstawie porów-
nania z wartością rzeczywistą wyznaczoną ana-
litycznie, nie na podstawie oszacowań!)

3. Spełniony został warunek stopu w postaci

|S

m

(f ) − S

m+1

(f )| ¬  = 0, 01, gdzie S

m

(f )

oznacza wynik kwadratury dla podziału prze-
działu całkowania na m równych części

Proszę porównać uzyskaną liczbę przedziałów dla
badanych trzech metod definiowania kryterium
stopu.

4


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kn gik inz st 5 5 id 236836 Nieznany
calkowanie 1 id 108054 Nieznany
kn gik inz st 5 2 id 236833 Nieznany
Lab5 calkowanie id 773752 Nieznany
kn gik inz st 5 5 id 236836 Nieznany
Izolacja calkowitego DNA id 221 Nieznany
GIK GI id 190982 Nieznany
GiK id 52864 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany

więcej podobnych podstron