Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Zadanie 1
Dla elementu o transmitancji operatorowej
2
3
1
2
)
(
+
+
=
s
s
s
G
:
1. oblicz i naszkicuj odpowiedź impulsową
,
)
)
(t
g
2. oblicz i naszkicuj odpowiedź jednostkową
.
(t
h
{
}
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
=
−
−
2
3
1
2
)
(
)
(
1
1
s
s
L
s
G
L
t
g
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
+
=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
+
=
−
−
3
2
6
1
1
3
2
3
2
2
1
3
2
1
1
s
L
s
s
L
)
(
1
9
1
)
(
3
2
)
(
3
2
t
e
t
t
g
t
⋅
−
=
−
δ
2
Automatyka i sterowanie – przykłady
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
g(t)
t
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
−
)
2
3
(
1
2
)
(
)
(
1
1
s
s
s
L
s
s
G
L
t
h
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
=
−
−
3
2
3
2
3
2
2
1
3
2
2
1
1
1
s
A
s
A
L
s
s
s
L
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
=
=
+
+
=
−
=
=
4
1
2
1
4
3
3
2
2
1
3
2
2
0
1
s
s
s
s
A
s
s
A
)
(
1
6
1
2
1
)
(
3
2
t
e
t
h
t
⋅
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
−
3
2
6
1
2
1
)
0
(
=
+
=
h
2
1
)
(
=
∞
h
3
Automatyka i sterowanie – przykłady
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
h(t)
t
Zadanie 2
Dla elementu o transmitancji operatorowej
3
2
2
)
(
+
+
=
s
s
s
G
:
1. oblicz i naszkicuj odpowiedź impulsową
,
)
)
(t
g
2. oblicz i naszkicuj odpowiedź jednostkową
.
(t
h
{
}
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
=
−
−
3
2
2
)
(
)
(
1
1
s
s
L
s
G
L
t
g
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
−
−
2
3
2
1
1
2
1
2
3
2
2
1
1
1
s
L
s
s
L
)
(
1
4
1
)
(
2
1
)
(
2
3
t
e
t
t
g
t
⋅
+
=
−
δ
4
Automatyka i sterowanie – przykłady
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
g(t)
t
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
−
)
3
2
(
2
)
(
)
(
1
1
s
s
s
L
s
s
G
L
t
h
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
=
−
−
2
3
2
1
2
3
2
2
1
2
1
1
1
s
A
s
A
L
s
s
s
L
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
=
+
=
=
+
+
=
−
=
=
3
1
2
3
4
2
3
2
2
3
2
0
1
s
s
s
s
A
s
s
A
)
(
1
6
1
3
2
)
(
2
3
t
e
t
h
t
⋅
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
2
1
6
1
3
2
)
0
(
=
−
=
h
3
2
)
(
=
∞
h
5
Automatyka i sterowanie – przykłady
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
h(t)
t
Zadanie 3
Dla nieobciążonego czwórnika przedstawionego na rysunku wyznacz:
1. równanie różniczkowe opisujące dynamikę,
2. transmitancję operatorową,
3. opis w przestrzeni stanów
4. odpowiedź impulsową
,
)
)
(t
g
5. odpowiedź jednostkową
,
(t
h
6. charakterystykę amplitudowo – fazową
7. logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe
6
Automatyka i sterowanie – przykłady
u
1
(t)
u
2
(t)
R
R
R
C
R
1.
( )
( )
( )
[
]
t
u
t
u
R
t
i
C
2
1
1
−
=
( )
( )
( )
t
u
t
Ri
t
Ri
C
C
+
= 2
1
( )
( )
( )
( )
[
]
0
1
1
1
=
+
−
−
t
i
t
i
R
t
Ri
t
u
C
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
t
u
t
u
t
u
t
Ri
t
u
t
u
t
Ri
t
Ri
t
Ri
t
u
t
u
t
Ri
t
Ri
C
C
C
C
C
C
C
1
2
1
1
1
1
4
5
2
1
0
2
4
0
2
0
2
−
=
=
−
+
−
−
=
−
−
=
−
−
7
Automatyka i sterowanie – przykłady
u
1
(t)
u
2
(t)
R
R
R
C
R
R
u
u
i
c
2
1
−
=
1
i
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
t
u
dt
t
du
RC
t
u
dt
t
du
RC
t
u
t
u
dt
d
RC
t
u
t
u
dt
t
du
C
t
i
C
C
1
1
2
2
1
2
2
1
2
4
2
5
4
5
2
2
+
=
+
−
=
−
=
2.
( )
2
5
2
4
+
+
=
RCs
RCs
s
G
3.
( )
( )
t
i
dt
t
du
C
C
C
=
( )
( )
( )
[
]
t
u
t
u
R
t
i
C
2
1
1
−
=
( )
( )
( )
t
u
t
u
t
u
C
1
2
5
4
5
2
+
=
8
Automatyka i sterowanie – przykłady
( )
( )
( )
t
u
t
u
t
u
C
1
2
4
5
2
−
=
( )
( )
( )
t
u
R
t
u
R
t
i
C
C
1
5
1
5
2
+
−
=
( )
( )
( )
t
u
R
t
u
R
dt
t
du
C
C
C
1
5
1
5
2
+
−
=
( )
( )
( )
t
u
t
u
t
u
C
1
2
5
4
5
2
+
=
( )
( )
( )
t
u
RC
t
u
RC
dt
t
du
C
C
1
5
1
5
2
+
−
=
równanie stanu
( )
( )
( )
t
u
t
u
t
u
C
1
2
5
4
5
2
+
=
równanie wyjścia
RC
B
RC
A
5
1
5
2
=
−
=
9
Automatyka i sterowanie – przykłady
5
4
5
2
=
=
D
C
4.
{
}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
=
−
−
2
5
2
4
)
(
)
(
1
1
RCs
RCs
L
s
G
L
t
g
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
−
−
RC
s
RC
L
RC
s
RC
s
L
t
g
5
2
10
1
1
5
4
5
2
2
1
5
4
)
(
1
1
( )
)
(
1
25
2
)
(
5
4
5
2
t
e
RC
t
t
g
t
RC
⋅
+
=
−
δ
10
Automatyka i sterowanie – przykłady
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
t
g(t)
RC
1
⋅
5.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
−
)
2
5
(
2
4
)
(
)
(
1
1
RCs
s
RCs
L
s
s
G
L
t
h
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
=
−
−
RC
s
A
s
A
L
RC
s
s
RC
s
L
t
h
5
2
5
4
5
2
2
1
5
4
)
(
2
1
1
1
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
+
=
=
+
+
=
−
=
=
4
1
2
1
4
5
5
2
2
1
5
2
2
0
1
RC
s
s
s
RC
s
A
RC
s
RC
s
A
11
Automatyka i sterowanie – przykłady
)
(
1
5
1
1
)
(
5
2
t
e
t
h
t
RC
⋅
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
5
4
5
1
1
)
0
(
=
−
=
h
1
)
(
=
∞
h
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
12
Automatyka i sterowanie – przykłady
h(t)
t
6. Charakterystyka amplitudowo – fazowa
Postać wykładnicza transmitancji widmowej
2
5
2
4
)
(
+
+
=
ω
ω
ω
RCj
RCj
j
G
RC
T
=
( )
2
2
20
4
2
2
2
2
2
2
5
2
2
2
2
2
4
25
4
16
4
25
4
16
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
jarctg
T
arctg
T
arctg
j
e
T
T
e
T
T
j
G
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
+
+
=
Postać algebraiczna transmitancji widmowej
( )
( )
( )
4
25
2
4
25
20
4
4
25
2
20
4
5
2
5
2
5
2
4
2
2
5
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
=
+
+
=
+
−
+
=
−
−
⋅
+
+
=
+
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
Q
T
T
P
T
jT
T
Tj
Tj
Tj
Tj
Tj
Tj
j
G
13
Automatyka i sterowanie – przykłady
Równanie
charakterystyki amplitudowo – fazowej
( )
( )
4
25
4
16
2
2
2
2
2
2
+
+
=
+
ω
ω
ω
ω
T
T
Q
P
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
4
5
5
1
4
1
4
4
5
5
20
4
4
25
2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
=
−
=
−
+
=
+
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
T
P
P
P
T
T
P
T
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
80
100
100
100
80
100
64
64
4
4
5
5
1
4
25
4
4
5
5
1
4
16
2
2
2
2
2
2
−
+
−
−
+
−
=
+
−
−
+
−
−
=
+
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
P
P
P
P
T
P
T
P
T
P
T
Q
P
14
Automatyka i sterowanie – przykłady
( )
( )
( )
5
4
5
9
2
2
−
=
+
ω
ω
ω
P
Q
P
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
10
1
10
9
5
4
100
81
10
9
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
ω
ω
ω
ω
Q
P
Q
P
( )
( )
0
0
<
>
ω
ω
Q
P
15
Automatyka i sterowanie – przykłady
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
-0.1
-0.09
-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
charakterystyka amplitudowo - fazowa
7. Charakterystyki: amplitudowo – częstotliwościowa i fazowo – częstotliwościowa.
Równanie
charakterystyki amplitudowo – częstotliwościowej
( )
( )
( )
dB
L
L
T
T
L
2
25
16
log
20
lim
0
1
log
20
lim
4
25
4
16
log
20
0
2
2
2
2
−
≈
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
∞
→
→
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Równanie charakterystyki fazowo – częstotliwościowej
( )
ω
ω
ω
ϕ
T
arctg
T
arctg
2
5
2
−
=
16
Automatyka i sterowanie – przykłady
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
25
4
10
4
1
2
2
5
4
25
1
1
2
4
1
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
T
T
T
T
T
T
T
T
+
−
+
=
+
−
+
=
′
( )
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
25
4
4
1
4
1
10
25
4
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
T
T
T
T
T
T
+
+
+
+
+
−
=
′
(
)
(
)
0
4
1
10
25
4
2
2
2
2
2
=
+
−
+
ω
ω
ω
ω
T
T
T
T
0
40
10
50
8
2
2
2
2
=
−
−
+
ω
ω
T
T
2
10
2
2
=
ω
T
T
5
5
=
ω
45
,
0
5
5 ≈
=
T
ω
17
Automatyka i sterowanie – przykłady
0
2
2
2
2
4
,
6
20
5
5
1
20
4
5
5
2
20
4
2
−
≈
−
=
+
−
=
+
−
=
arctg
T
T
T
T
arctg
T
T
arctg
min
ω
ω
ϕ
18
Automatyka i sterowanie – przykłady
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
charakterystyka amplitudowo-czestotliwoœciowa
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-8
-6
-4
-2
0
charakterystyka fazowo-czestotliwoœciowa
]
[dB
ω
ω
L(ω)
φ(ω)
]
[
0
Zadanie 4
Dla nieobciążonego czwórnika przedstawionego na rysunku wyznacz:
1. równanie różniczkowe opisujące dynamikę,
2. transmitancję operatorową,
3. opis w przestrzeni stanów
4. odpowiedź impulsową
,
)
)
(t
g
5. odpowiedź jednostkową
,
(t
h
6. charakterystykę amplitudowo – fazową
7. logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe
19
Automatyka i sterowanie – przykłady
u
1
(t)
u
2
(t)
R
R
R
L
R
1.
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
t
u
t
u
R
t
u
t
u
R
t
u
t
u
R
t
i
L
2
1
2
1
2
1
3
2
1
−
=
−
+
−
=
)
(
3
)
(
3
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
2
1
2
1
1
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
L
−
+
+
−
=
)
(
4
)
(
5
)
(
1
2
t
u
t
u
t
u
L
−
=
[
]
)
(
4
)
(
3
)
(
5
)
(
3
)
(
3
)
(
3
)
(
4
)
(
5
)
(
)
(
1
1
2
2
2
1
1
2
t
u
dt
t
du
R
L
t
u
dt
t
du
R
L
t
u
t
u
dt
d
R
L
t
u
t
u
dt
t
di
L
t
u
L
L
+
=
+
−
=
−
=
20
Automatyka i sterowanie – przykłady
u
1
(t)
u
2
(t)
R
R
R
L
R
[
]
R
t
u
t
u
)
(
)
(
2
2
1
−
R
t
u
t
u
)
(
)
(
2
1
−
2.
5
3
4
3
)
(
+
+
=
s
R
L
s
R
L
s
G
3.
)
(
)
(
t
u
dt
t
di
L
L
L
=
( )
( )
( )
t
u
t
u
t
Ri
L
2
1
3
3
−
=
( )
( )
( )
t
u
t
Ri
t
u
L
1
2
3
1
+
−
=
)
(
4
)
(
5
)
(
1
2
t
u
t
u
t
u
L
−
=
( )
( )
t
u
t
Ri
t
u
L
L
1
3
5
)
(
+
−
=
21
Automatyka i sterowanie – przykłady
( )
( )
t
u
t
Ri
dt
t
di
L
L
L
1
3
5
)
(
+
−
=
( )
( )
( )
t
u
t
Ri
t
u
L
1
2
3
1
+
−
=
( )
( )
t
u
L
t
i
L
R
dt
t
di
L
L
1
1
3
5
)
(
+
−
=
równanie stanu
( )
( )
( )
t
u
t
Ri
t
u
L
1
2
3
1
+
−
=
równanie wyjścia
L
B
L
R
A
1
3
5
=
−
=
22
Automatyka i sterowanie – przykłady
1
3
1
=
−
=
D
R
C
4.
{
}
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
=
−
−
5
3
4
3
)
(
)
(
1
1
s
R
L
s
R
L
L
s
G
L
t
g
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
−
+
=
−
L
R
s
L
R
L
t
g
3
5
3
1
1
)
(
1
)
(
1
3
1
)
(
)
(
3
5
t
e
L
R
t
t
g
t
L
R
⋅
−
=
−
δ
23
Automatyka i sterowanie – przykłady
0
0.6
1.2
1.8
2.4
3
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
g(t)
t
5.
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
−
−
5
3
5
3
4
3
)
(
)
(
2
1
1
1
1
s
R
L
A
s
A
L
s
R
L
s
s
R
L
L
s
s
G
L
t
h
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
=
=
+
+
=
−
=
=
5
1
3
4
5
4
3
5
3
4
3
5
2
0
1
L
R
s
s
s
L
R
s
A
L
R
s
L
R
s
A
24
Automatyka i sterowanie – przykłady
( )
( )
t
e
t
h
t
L
R
1
5
1
5
4
3
5
⋅
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
−
( )
1
5
1
5
4
0
=
+
=
h
( )
5
4
=
∞
h
25
Automatyka i sterowanie – przykłady
0
0.6
1.2
1.8
2.4
3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h(t)
t
6. Charakterystyka amplitudowo – fazowa
Postać wykładnicza transmitancji widmowej
5
3
4
3
)
(
+
+
=
ω
ω
ω
j
R
L
j
R
L
j
G
R
L
T
=
( )
2
2
9
20
3
2
2
2
2
5
3
4
3
2
2
2
2
25
9
16
9
25
9
16
9
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
jarctg
T
arctg
T
arctg
j
e
T
T
e
T
T
j
G
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
+
+
=
Postać algebraiczna transmitancji widmowej
( )
( )
( )
25
9
3
25
9
9
20
25
9
3
9
20
3
5
3
5
3
5
3
4
5
3
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
=
+
+
=
+
+
+
=
−
−
⋅
+
+
=
+
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
Q
T
T
P
T
jT
T
Tj
Tj
Tj
Tj
Tj
Tj
j
G
26
Automatyka i sterowanie – przykłady
Równanie charakterystyki amplitudowo – fazowej
( )
( )
25
9
16
9
2
2
2
2
2
2
+
+
=
+
ω
ω
ω
ω
T
T
Q
P
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
1
9
25
20
25
20
1
9
9
20
25
9
2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
=
−
=
−
+
=
+
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
T
P
P
P
T
T
P
T
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
25
25
25
20
16
16
25
20
25
1
9
25
20
9
16
1
9
25
20
9
2
2
2
2
2
2
−
+
−
−
+
−
=
+
−
−
+
−
−
=
+
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
P
P
P
P
T
P
T
P
T
P
T
Q
P
( )
( )
( )
5
4
5
9
2
2
−
=
+
ω
ω
ω
P
Q
P
27
Automatyka i sterowanie – przykłady
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
10
1
10
9
5
4
100
81
10
9
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
ω
ω
ω
ω
Q
P
Q
P
( )
( )
0
0
>
>
ω
ω
Q
P
28
Automatyka i sterowanie – przykłady
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
charakterystyka amplitudowo - fazowa
7. Charakterystyki: amplitudowo – częstotliwościowa i fazowo – częstotliwościowa.
Równanie charakterystyki amplitudowo – częstotliwościowej
( )
( )
( )
0
1
log
20
lim
2
25
16
log
20
lim
25
9
16
9
log
20
0
2
2
2
2
=
=
−
≈
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
∞
→
→
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
L
dB
L
T
T
L
Równanie charakterystyki fazowo – częstotliwościowej
( )
ω
ω
ω
ϕ
T
arctg
T
arctg
5
3
4
3
−
=
29
Automatyka i sterowanie – przykłady
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
9
25
15
9
16
12
5
3
25
9
1
1
4
3
16
9
1
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
T
T
T
T
T
T
T
T
+
−
+
=
+
−
+
=
′
( )
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
9
25
9
16
9
16
15
9
25
12
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
T
T
T
T
T
T
+
+
+
−
+
=
′
(
)
(
)
0
9
16
15
9
25
12
2
2
2
2
=
+
−
+
ω
ω
ω
ω
T
T
T
T
0
45
80
36
100
2
2
2
2
=
−
−
+
ω
ω
T
T
20
9
2
2
=
ω
T
T
3
5
2
=
ω
5
,
1
3
5
2
≈
=
T
ω
0
2
2
2
2
4
,
6
20
5
9
20
9
20
3
5
2
3
9
20
3
≈
=
+
=
+
=
arctg
T
T
T
T
arctg
T
T
arctg
max
ω
ω
ϕ
30
Automatyka i sterowanie – przykłady
31
Automatyka i sterowanie – przykłady
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
charakterystyka amplitudowo-czestotliwoœciowa
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
2
4
6
8
charakterystyka fazowo-czestotliwoœciowa
L(ω)
]
[
dB
ω
ω
φ(ω)
]
[
0