Pomocnik: Dynamika układów pierwszego i drugiego rzędu – wpływ rozmieszczenia biegunów

Układ pierwszego rzędu
Standardowa postać transmitancji:

( )

( )

( )

s

T

K

s

U

s

Y

s

G

b

p

+

=

=

1

K

p

– współczynnik wzmocnienia

T

b

– stała czasowa bezwładności (inercji)

Odpowiadające podanej transmitancji równanie różniczkowe

( ) ( )

( )

( )

0

0

=

=

+

y

;

t

u

K

t

y

t

y

dt

d

T

p

b

Dalej będziemy rozważali przypadek K

p

= 1.

Dla K

p

= 1 transmitancję podaną wyżej możemy zapisać

( )

a

\

s

a

T

\

s

T

s

G

b

b

+

=

+

=

1

1

1

Odpowiedź układu pierwszego rzędu o jednostkowym wzmocnieniu na skok jednostkowy wynosi

( )

at

e

t

y

−

−

= 1

Przedstawia ją rysunek 1.

a

4

T

4

b

=

a

5

T

5

b

=

a

2

T

2

b

=

a

3

T

3

b

=

1

r

T

a

1

T

b

=

y(t)

dla t = T

b

63% wartości końcowej

a

T

b

=

1

Początkowe nachylenie =

Rys.1

Biegun układu

b

T

a

s

1

1

=

=

Parametry odpowiedzi skokowej (patrz rys.1)
Czas narastania

, rozumiany jako czas zmiany odpowiedzi na skok jednostkowy od wartości 0.1

wartości końcowej do wartości 0.9 wartości końcowej

1

r

T

b

r

T

.

a

.

T

2

2

1

2

2

1

=

≅

Czas ustalenia

, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy 0.99 wartości

ustalonej

s

T

b

s

T

6

.

4

a

1

6

.

4

T

=

≅

Czas ustalenia

, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy 0.98 wartości

ustalonej

s

T

b

s

T

a

T

4

1

4

=

≅

Czas ustalenia

, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy 0.95 wartości

ustalonej

s

T

b

s

T

a

T

3

1

3

=

≅

Układ drugiego rzędu
Standardowa postać transmitancji

( )

( )

( )

2

2

2

2

n

n

n

p

s

s

K

s

U

s

Y

s

G

ω

ςω

ω

+

+

=

=

K

p

– współczynnik wzmocnienia

ω

n

– pulsacja drgań nietłumionych

ζ - współczynnik tłumienia

Odpowiadające podanej transmitancji równanie różniczkowe

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

2

2

2

2

2

=

=

=

+

+

y

dt

d

,

y

;

t

u

K

t

y

t

y

dt

d

t

y

dt

d

n

p

n

n

ω

ω

ςω

Dalej będziemy rozważali przypadek K

p

= 1.

Dla K

p

= 1 transmitancję podaną wyżej możemy zapisać

( )

( )

( )

2

2

2

2

n

n

n

s

s

s

U

s

Y

s

G

ω

ςω

ω

+

+

=

=

Bieguny:

Ogólna postać

2

2

2

1

1

1

ς

ω

ςω

ς

ω

ςω

−

−

−

=

−

+

−

=

n

n

n

n

j

s

,

j

s

Używane oznaczenia

n

d

ςω

σ

=

- stała tłumienia

2

1

ς

ω

ω

−

=

n

d

- pulsacja drgań tłumionych

Bieguny w ogólnej postaci wówczas

d

d

d

d

j

s

,

j

s

ω

σ

ω

σ

−

−

=

+

−

=

2

1

Zobrazowanie biegunów przedstawione jest na rys. 2

s ‐ płaszczyzna 

 

n

d

ςω

σ

−

=

−

2

1

ς

ω

ω

−

−

=

−

n

d

2

1

ς

ω

ω

−

=

+

n

d

Rys. 2

Przypadki
a.

0

=

ς

- układ nietłumiony

Dwa bieguny urojone

n

n

j

s

,

j

s

ω

ω

−

=

=

2

1

Transmitancja redukuje się do postaci

( )

( )

( )

(

)(

)

n

n

n

n

n

j

s

j

s

s

s

U

s

Y

s

G

ω

ω

ω

ω

ω

+

−

=

+

=

=

2

2

2

2

b.

1

0

<

<

ς

- układ niedotłumiony

Dwa bieguny zespolone sprzężone

2

2

2

1

1

1

ς

ω

ςω

ς

ω

ςω

−

−

−

=

−

+

−

=

n

n

n

n

j

s

,

j

s

Odpowiedź skokowa dla tego przypadku przedstawiona jest na rys. 3

Rys. 3

Opierając się na zależnościach podanych i uwidocznionych na rys. 2 oraz 3 można podać przebieg na
s-płaszczyźnie linii stałych wartości współczynnika tłumienia ς (rys. 4), pulsacji drgań tłumionych ω

d

(rys.

5), pulsacji drgań nietłumionych ω

n

(rys. 6) oraz stałej tłumienia σ

d

(rys. 7)

 

( )

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

+

−

=

−

t

sin

t

cos

e

t

y

d

d

t

d

ω

ς

ς

ω

σ

2

1

1

Czas 

 

t

d

e

σ

−

−

1

 

t

d

e

σ

−

+

1

Rys. 4.

Rys. 5.

Rys. 6.

2

d

σ

−

 

1

d

σ

−

2

d

1

d

0

σ

σ

<

<

 

Rys. 7.

Posiadając określoną transmitancję układu drugiego rzędu

( )

( )

( )

b

as

s

b

s

2

s

s

U

s

Y

s

G

2

2

n

n

2

2

n

+

+

=

+

+

=

=

ω

ςω

ω

możemy określić pulsację drgań nietłumionych ω

n

oraz współczynnik tłumienia ς.

Mamy

n

2

n

2

a

,

b

ςω

ω

=

=

zatem

b

2

a

,

b

n

=

=

ς

ω

c.

1

=

ς

- układ krytycznie tłumiony

Podwójny biegun rzeczywisty

n

,

s

ω

=

2

1

Transmitancja redukuje się do postaci

( )

( )

( )

(

)

2

2

2

2

2

2

n

n

n

n

n

s

s

s

s

U

s

Y

s

G

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

+

+

=

=

d.

1

>

ς

- układ przetłumiony

Dwa bieguny rzeczywiste

1

1

2

2

2

1

−

+

−

=

−

−

−

=

ς

ω

ςω

ς

ω

ςω

n

n

n

n

s

,

s

Odpowiedzi impulsowe (impuls jednostkowy) układu drugiego rzędu o jednostkowym wzmocnieniu dla
różnych wartości współczynnika tłumienia przedstawione są na rys. 8

Rys. 8

Odpowiedzi skokowe (skok jednostkowy) układu drugiego rzędu o jednostkowym wzmocnieniu dla różnych
wartości współczynnika tłumienia przedstawione są na rys. 9

Rys.9

Obrazowe przedstawienie czterech wyróżnionych przypadków pokazane jest na rys. 10

Przetłumiony

y(t)

Krytycznie tłumiony

y(t)

Niedotłumiony

y(t)

Nietłumiony

s - płaszczyzna

s - płaszczyzna

s - płaszczyzna

s - płaszczyzna

y(t)

Odpowiedź skokowa

Bieguny 

Rys. 10.

Parametry odpowiedzi skokowej (patrz rys.11) – dla układów niedotłumionych

OS = y

max

– y

ust

= M

p

- y

ust

δ=(0

.01 lub 0.02 lub 0,05)y

ust

δ=(0

.01 lub 0.02 lub 0,05)y

ust

T

r1

T

r

0.1y

ust

0.9y

ust

(0.99 lub 0.98 lub 0.95)y

ust

(1.01 lub 1.02 lub 1,05)y

ust

y

ust

y

max

= M

p

y(t)

Rys.11.

Oszacowania parametrów odpowiedzi skokowej dla układów niepotłumionych przeprowadzane są w
oparciu o wyrażenie określające tą odpowiedź podaną na rys. 3.

Uchyb ustalony e

ust

– różnica pomiędzy wartością zadaną a wartością ustaloną odpowiedzi y

ust

obliczana

zwykle w oparciu o twierdzenie o wartości końcowej

Czas osiągnięcia maksymalnej wartości y

max

odpowiedzi T

p

2

n

d

p

1

T

ς

ω

π

ω

π

−

=

=

Maksymalna wartość odpowiedzi M

p

( )

2

d

d

1

p

max

p

e

1

e

1

T

y

y

M

ς

ς

π

ω

σ

π

−

−

−

+

=

+

=

=

=

Wartość przeregulowania OS

( )

2

d

d

1

p

ust

p

ust

max

e

e

1

M

y

T

y

y

y

OS

ς

ς

π

ω

σ

π

−

−

−

=

=

−

=

−

=

−

=

Procentowa wartość przeregulowania %OS

2

d

d

1

e

100

e

100

100

OS

OS

%

ς

ς

π

ω

σ

π

−

−

−

×

=

×

=

×

=

Zwrócić należy uwagę, że wartość maksymalna odpowiedzi, a stad i przeregulowanie i procentowa
wartość przeregulowania zależą tylko od wartości współczynnika tłumienia. Bez dowodu podaję, że
dotyczy to również wszystkich kolejnych wartości maksymalnych i minimalnych odpowiedzi.

Podane zależności pozwalają określić wartość przeregulowania lub procentową wartość przeregulowania
dla danej wartości współczynnika tłumienia. pozwalają one też ustalić zależność odwrotną

( )

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

+

−

=

100

OS

%

ln

100

OS

%

ln

OS

ln

OS

ln

2

2

2

2

π

π

ς

Wykres zależności wartości procentowej przeregulowania i współczynnika tłumienia otrzymany z podanych
wyżej zależności podany jest na rys. 12.

P

rocentowe przeregulow

anie %OS

Współczynnik tłumienia ζ

Rys. 12.

Czas ustalenia

, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału [(1-

δ)y

ust

,(1+δ)y

ust

]

s

T

(

)

(

)

n

ζω

zęściej stosuje się przybliżenie tej zależności, przyjmujące, że czas ustalenia to czas, kiedy obwiednia

odpowiedzi osiąga ustalony przedział. Wówczas

i stąd

2

d

2

s

1

ln

1

ln

T

ζ

δ

σ

ζ

δ

−

−

=

−

−

=

C

δ

σ

=

−

s

d

T

e

n

d

s

T

ζω

ln

ln

δ

σ

δ

−

=

−

=

W oparciu o takie oszacowanie otrzymuje się dla najczęstszych przypadkówi:
Czas ustalenia

, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału

±0.99

wartości ustalonej

s

T

n

d

s

.

.

T

ςω

σ

605

4

605

4

=

≅

1

1

Czas ustalenia

, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału

±0.98

wartości ustalonej

s

T

n

d

s

.

.

T

ςω

σ

912

3

912

3

=

≅

1

1

Czas ustalenia

, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału

±0.95

wartości ustalonej

s

T

n

d

s

.

.

T

ςω

σ

995

2

995

2

=

≅

1

1

zas narastania

, rozumiany jako czas zmiany odpowiedzi na skok jednostkowy od wartości

początkowej do pierwszego osiągnięcia wartości końcowej

r

T

C

n

d

r

2

2

T

ζω

θ

π

ω

θ

π

+

=

+

=

ζ

θ

1

sin

,

gdzie

−

=

Czas narastania

, rozumiany jako czas zmiany odpowiedzi na skok jednostkowy od wartości 0.1

ności tej wielkości od współczynnika tłumienia

ζ oraz pulsacji drgań tłumionych

d

lub nietłumionych

ω

n

jest niemożliwe. Można to zrobić na drodze numerycznej uzyskując wyniki

rzedstawione na rys. 13.

1

r

wartości końcowej do wartości 0.9 wartości końcowej

Ustalenie analityczne zależ

T

ω
p

Rys.13.

Jeżeli oznaczymy określoną rys. 13 zależność przez f,

Współczynnik tłumienia ζ

Czas narastania T

r1

× Pulsacja drgań nietłumionych ω

n

Czas T

r1

×

Pulsacja drga

ń

ω

n

Wsp

tłumienia ζ

ółczynnik

( )

ζ

ω

f

T

n

r

=

×

1

wówczas

( )

n

r

f

T

ω

ζ

=

1

iejsca geometryczne biegunów jednakowych procentowych wartości przeregulowania %OS,

współczynnika tłumienia ς (rys. 4), pulsacji drgań tłumionych ω

d

(rys. 5), pulsacji drgań oraz stałej

umienia σ

d

(rys. 7) możemy określić miejsce geometryczne tych pierwszych. Przedstawione to zostało na

rys. 14.

M
czasu ustalania T

s

oraz czasu osiągnięcia maksymalnej wartości T

p

Porównanie postaci zależności określających procentowe wartości przeregulowania %OS, czas ustalania
T

s

oraz czas osiągnięcia maksymalnej wartości T

p

z miejscami geometrycznymi biegunów jednakowej

wartości
tł

Rys. 14.

Na zakończenie podamy wpływ przesuwania się biegunów wzdłuż linii stałych wartości omawianych
wielkości na przebieg odpowiedzi skokowej. Przedstawiają to rys. 15 – 17.

σ

d1

<

σ

d2

T

s1

> T

s2

ω

d1

<

ω

d2

T

p1

> T

p2

ζ

1

>

ζ

2

%OS

1

< %OS

2

s - płaszczyzna

Rys. 15.

Rys. 16.

Rys. 17.