dr Krzysztof Żyjewski

MiBM; S-I

0

.inż.

23 maja 2014

Legalne wzory na kolokwium nr V.

Przydatne wzory:

Lp.

Wzór

Uwagi

1.

R dx = x + c

2.

R adx = ax + c

3.

R x

α

dx =

1

α+1

x

α+1

+ c

α ∈ R \ {−1}

4.

R sin xdx = − cos x + c

5.

R cos xdx = sin x + c

6.

R tg xdx = − ln | cos x| + c

x 6=

π

2

+ kπ, k ∈ N

7.

R ctg xdx = ln | sin x| + c

x 6= kπ, k ∈ N

8.

R sinh xdx = cosh x + c

9.

R cosh xdx = sinh x + c

10.

R

1

cosh

2

x

dx = tgh x + c

11.

R

1

sinh

2

x

dx = − ctgh x + c

12.

R a

x

dx =

1

ln a

a

x

+ c

a > 0

13.

R e

x

dx = e

x

+ c

14.

R

1

x

dx = ln |x| + c

x 6= 0

15.

R

1

cos

2

x

dx = tg x + c

x 6=

π

2

+ kπ, k ∈ N

16.

R

1

sin

2

x

dx = −ctg x + c

x 6= kπ, k ∈ N

17.

R

1

√

a

2

−x

2

dx = arcsin

x
a

+ c

a 6= 0

18.

R

1

a

2

+x

2

dx =

1
a

arctg

x
a

+ c

a 6= 0

19.

R

1

√

x

2

+a

dx = ln




x +

√

x

2

+ a




+ c

a ∈ R

20.

R

1

a

2

−x

2

dx =

1

2a

ln




a+x
a−x




+ c

a > 0, |x| 6= a

21.

R

f

0

(x)

f (x)

dx = ln |f (x)| + c

22.

R

1

ax+b

dx =

1
a

ln |ax + b| + c

23.

R cos

n

xdx =

1

n

sin x cos

n−1

x +

n−1

n

R cos

n−2

xdx

n ≥ 2

24.

R sin

n

xdx = −

1

n

cos x sin

n−1

x +

n−1

n

R sin

n−2

xdx

n ≥ 2

25.

R

√

x

2

+ adx =

1
2

x

√

x

2

+ a +

a
2

ln |x +

√

x

2

+ a| + c

26.

R

dx

(x

2

+1)

n

=

1

2n−2

x

(1+x

2

)

n−1

+

2n−3
2n−2

R

1

(1+x

2

)

n−1

dx

n ≥ 2

27.

R

√

a

2

− x

2

dx =

a

2

2

arcsin

x

|a|

+

x

2

√

a

2

− x

2

+ c

Twierdzenie 1. (całkowanie przez części)
Niech funkcje f i g mają ciągłe pochodne. Wówczas ma miejsce tzw. wzór na

całkowanie przez części

:

Z

f (x)g

0

(x)dx = f (x)g(x) −

Z

f

0

(x)g(x)dx.

(1)

1

dr Krzysztof Żyjewski

MiBM; S-I

0

.inż.

23 maja 2014

Całkowanie pewnych całek niewymiernych:

1. Jeżeli funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji wymiernej oraz pewnej ilości potęg postaci

(ax + b)

n1

m1

, (ax + b)

n2

m2

, . . . lub

ax+b
cx+d

n1

m1

,

ax+b
cx+d

n2

m2

, . . . gdzie n

i

, m

i

∈ N są względnie pierwsze

to stosujemy odpowiednio podstawienia

M

√

ax + b = t lub

M

r

ax + b

cx + d

= t

(2)

gdzie M to najmniejsza wspólna wielokrotność m

1

, m

2

, . . .

2a. Całkę postaci

R

dx

√

ax

2

+bx+c

sprowadzamy do

R

dx

√

a(x−p)

2

+q

i dokonujemy podstawienia x − p =

q

1

|a|

t.

2b. Całkę postaci

R

√

ax

2

+ bx + cdx sprowadzamy do

R pa(x − p)

2

+ qdx i dokonujemy podsta-

wienia x − p =

q

1

|a|

t, a następnie stosujemy wzory(wymiennie)

Z

√

x

2

+ adx =

1

2

x

√

x

2

+ a +

a

2

ln |x +

√

x

2

+ a| + c;

lub

Z

√

a

2

− x

2

dx =

a

2

2

arcsin

x

|a|

+

x

2

√

a

2

− x

2

+ c.

3. Całkę postaci

R

W

n

(x)

√

ax

2

+bx+c

dx przedstawiamy jako:

Z

W

n

(x)

√

ax

2

+ bx + c

dx = (A

n−1

x

n−1

+ . . . A

1

x + A

0

)

√

ax

2

+ bx + c + B

Z

dx

√

ax

2

+ bx + c

,

w celu wyliczenia A

n−1

, . . . , A

1

, A

0

, B obustronnie różniczkujemy, mnożymy przez

√

ax

2

+ bx + c

i otrzymujemy równanie wielomianowe.

4. Całkę postaci

R P (x)

√

ax

2

+ bx + cdx poprzez pomnożeni i podzielenie funkcji podcałkowej

przez

√

ax

2

+ bx + c przekształcamy do postaci

R

(ax

2

+bx+c)P (x)

√

ax

2

+bx+c

dx.

c) Całkowanie pewnych wyrażeń trygonometrycznych:

1. Całkę

R W (sin x, cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg

x
2

. Wówczas mamy:

dx =

2

1 + t

2

dt,

sin x =

2t

1 + t

2

,

cos x =

1 − t

2

1 + t

2

.

2. Całkę

R W (sin

2

x, cos

2

x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:

dx =

1

1 + t

2

dt,

sin

2

x =

t

2

1 + t

2

,

cos

2

x =

1

1 + t

2

.

2

dr Krzysztof Żyjewski

MiBM; S-I

0

.inż.

23 maja 2014

3. Całkę postaci

R sin

m

x cos

n

xdx, n, m ∈ N liczmy:

a) gdy m, n są parzyste jak podpunkcie 2;
b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x,
c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.

4. Całki postaci

R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystając ze wzo-

rów:

sin x sin y =

1

2

[cos(x − y) − cos(x + y)],

cos x cos y =

1

2

[cos(x − y) + cos(x + y)],

sin x cos y =

1

2

[sin(x − y) + sin(x + y)].

Inne przydatne wzory trygonometryczne:
cos

2

x =

1+cos 2x

2

,

sin

2

x =

1−cos 2x

2

,

cos 2x = cos

2

x − sin

2

x,

sin 2x = 2 sin x cos x.

Długość krzywej:
Długość krzywej Γ : y = f (x) dla x ∈ [a, b] wyraża się wzorem:

|Γ| =

b

Z

a

p

1 + (f

0

(x))

2

dx.

Objętość brył obrotowych:
Objętość V bryły powstałej z:

a) obrotu wokół osi Ox obszaru N : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) wyraża się wzorem:

V = π

b

Z

a

f

2

(x)dx,

b) obrotu wokół osi Oy obszaru N : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) (innymi słowy objętość bryły

powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"y = f (x)) wyraża się wzorem:

V = 2π

b

Z

a

xf (x)dx.

Całka niewłaściwa

Definicja 2. (całka niewłaściwa pierwszego rodzaju)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale [a, ∞). Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji
f na przedziale [a, ∞) definiujemy wzorem:

∞

Z

a

f (x)dx := lim

B→∞

B

Z

a

f (x)dx.

3

dr Krzysztof Żyjewski

MiBM; S-I

0

.inż.

23 maja 2014

Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na przedziale (−∞, b] :

b

Z

−∞

f (x)dx := lim

A→−∞

b

Z

A

f (x)dx.

Definicja 3. (całka niewłaściwa drugiego rodzaju)
Niech funkcja f określona na przedziale (a, b] oraz a będzie punktem osobliwym tj. funkcja będzie
nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu a. Całką niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji
f ciągłej na przedziale (a, b] definiujemy wzorem:

b

Z

a

f (x)dx := lim

t→a

+

b

Z

t

f (x)dx.

Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale [a, b) dla punktu osobliwego b

tj. funkcja jest nieograniczona na lewostronnym sąsiedztwie punku b :

b

Z

a

f (x)dx := lim

t→b

−

t

Z

a

f (x)dx.

Jeżeli punkt osobliwy c leży wewnątrz przedziału [a, b] to całkę niewłaściwą definiujemy wzorem:

b

Z

a

f (x)dx := lim

t→c

−

t

Z

a

f (x)dx + lim

t→c

+

b

Z

c

+

f (x)dx.

4