Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.

Zmienne losowe

są niezależne i mają jednakowy rozkład o gęstości

5

2

1

,

,

,

X

X

X

K

⎩

⎨

⎧

≤

>

=

−

0

0

0

)

(

x

gdy

x

gdy

e

x

p

x

θ

θ

θ

,

gdzie

0

>

θ

jest ustaloną liczbą. Niech Y oznacza zmienną losowa równą 1, gdy

, i równą 0 w pozostałych przypadkach. Niech

. Wyznaczyć

.

3

1

≥

X

∑

=

=

5

1

i

i

X

T

(

)

5

|

=

T

Y

E

(A) 0,05120

(B) 0,00256

(C) 0,02560

(D) 0,10240

(E) 0,01024

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Obserwujemy niezależne zmienne losowe

Zmienne losowe

mają ten sam rozkład o dystrybuancie

, a zmienne losowe

maja ten sam rozkład o dystrybuancie

. Dystrybuanta

spełnia warunek

4

3

2

1

3

2

1

,

,

,

,

,

,

Y

Y

Y

Y

X

X

X

.

3

2

1

,

,

X

X

X

1

μ

F

4

3

2

1

,

,

,

Y

Y

Y

Y

2

μ

F

μ

F

)

(

)

(

μ

μ

−

=

x

F

x

F

dla pewnej ustalonej, nieznanej, ciągłej, ściśle rosnącej dystrybuanty F.
Weryfikujemy hipotezę

2

1

0

:

μ

μ

=

H

przy alternatywie

2

1

1

:

μ

μ

>

H

stosując test o

obszarze krytycznym

}

13

:

{

>

=

S

S

K

,

gdzie S jest sumą rang zmiennych losowych

w próbce złożonej ze

wszystkich obserwacji ustawionych w ciąg rosnący. Wyznaczyć rozmiar testu.

3

2

1

,

,

X

X

X

(A)

35

11

(B)

35

12

(C)

35

10

(D)

35

9

(E)

35

8

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.

Zmienna losowa N ma rozkład Poissona z nieznanym parametrem

0

>

λ

. O

parametrze

λ

zakładamy, że podlega rozkładowi a priori gamma

.

Zmienna losowa

)

8

,

2

(

Gamma

θ

ma rozkład beta

. Zmienne N i

)

2

,

1

(

Beta

θ

są niezależne i

zmienne

θ

λ

i

są niezależne. Obserwujemy zmienną losową X, która przy znanych

wartościach

θ

i

N

ma rozkład dwumianowy

)

,

(

θ

N

bin

. Wyznaczyć wartości a i b

najlepszego liniowego predyktora zmiennej losowej N , to znaczy liczby a i b
minimalizujące wielkość

(

)

2

b

aX

N

E

−

−

.

A)

212

35

,

53

54

=

=

b

a

(B)

100

17

,

25

24

=

=

b

a

(C)

44

5

,

11

18

=

=

b

a

(D)

22

5

,

11

18

=

=

b

a

(E)

106

35

,

53

54

=

=

b

a

Uwaga.

Gęstość rozkładu gamma

)

,

(

β

α

Gamma

jest równa

x

e

x

x

p

β

α

α

β

α

α

β

−

−

Γ

=

1

,

)

(

)

(

dla

.

0

>

x

Gęstość rozkładu beta

)

,

(

β

α

Beta

jest równa

1

1

,

)

1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

−

−

Γ

Γ

+

Γ

=

β

α

β

α

β

α

β

α

x

x

x

f

dla

)

1

,

0

(

∈

x

.

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

Na podstawie prostej próby losowej

testowano hipotezę

przy alternatywie

, gdzie

jest parametrem odpowiadającym za

wariancję zmiennej losowej

za pomocą testu o obszarze krytycznym

20

2

1

,

,

,

X

X

X

K

1

:

2

0

=

σ

H

1

:

2

1

>

σ

H

2

σ

i

X

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

>

=

∑

=

20

1

2

i

i

t

X

K

.

Jeżeli dodatkowo wiadomo, że zmienne losowe

mają rozkład zadany gęstością

i

X

2

|

|

)

(

x

e

x

x

f

θ

θ

θ

−

=

, gdy

R

x

∈ ,

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem, to przy poziomie istotności 05

,

0

=

α

,

wartość krytyczna t jest równa

(A) 55,7585

(B) 31,4104

(C) 18,3070

(D) 27,8793

(E) 15,7052

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.

Na podstawie prostej próby losowej

z rozkładu gamma o gęstości

n

X

X

X

X

,

,

,

,

3

2

1

K

⎩

⎨

⎧

≤

>

=

−

0

0

0

)

(

2

x

gdy

x

gdy

xe

x

f

x

θ

θ

θ

estymujemy parametr

θ

wykorzystując estymator największej wiarogodności

.

Wyznaczyć w przybliżeniu rozmiar próby n taki, że

θ

ˆ

95

,

0

05

,

0

|

ˆ

|

≈

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

≤

−

θ

θ

θ

P

.

Posłużyć się aproksymacją rozkładem normalnym. Wybrać spośród podanych liczb
najbliższe przybliżenie.


(A) 400

(B) 800

(C) 1600

(D) 3200

(E) 2400

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.

Rzucono niezależnie 16 razy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
uzyskano 7 serii, jeśli wiadomo, że uzyskano 10 orłów i 6 reszek.

(A)

1001

210

(B)

1001

150

(C)

1001

75

(D)

1001

105

(E)

1001

45

Uwaga.

Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje

element drugiego typu, na przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie
elementów typu a i 2 serie elementów typu b).

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.

Zmienne losowe X i Y są niezależne i każda ma rozkład prawdopodobieństwa o
gęstości

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

+

=

0

0

0

)

1

(

4

)

(

5

x

gdy

x

gdy

x

x

f

.

Rozważamy zmienną losową

(

)(

[

)

]

Y

X

X

U

+

+

+

=

1

1

ln

)

1

ln(

. Prawdziwe jest następujące

twierdzenie.

(A) Zmienna losowa U ma rozkład o gęstości

, gdy

3

3

)

1

(

140

)

(

x

x

x

p

−

=

)

1

,

0

(

∈

x

(B) Zmienna losowa U ma rozkład jednostajny na przedziale (0,1)

(C)

2

)

5

,

0

|

(

=

=

U

X

E

(D)

0

)

,

(

<

U

X

Cov

(E)

75

,

0

=

EU

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.

Zmienne losowe

i

są niezależne. Każda ze

zmiennych losowych

ma jednakowy rozkład prawdopodobieństwa

n

Z

Z

Z

,

,

,

2

1

K

)

,

(

,

),

,

(

),

,

(

2

2

1

1

n

n

Y

X

Y

X

Y

X

K

i

Z

(

)

(

0

1

1

=

)

−

=

=

=

i

i

Z

P

p

Z

P

. Każda ze zmiennych losowych

ma jednakowy

rozkład prawdopodobieństwa taki, że

)

,

(

i

i

Y

X

m

EY

EX

i

i

=

=

i

i

współczynnik korelacji

2

σ

=

=

i

i

VarY

VarX

ρ

=

)

,

(

i

i

Y

X

Corr

. Niech

i

.

∑

=

=

n

i

i

i

n

X

Z

S

1

∑

=

=

n

i

i

i

n

Y

Z

T

1

Zbadać zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych

n

T

S

n

n

−

przy

+∞

→

n

(A)

)

2

)

1

(

2

,

0

(

2

2

2

p

m

p

N

n

T

S

n

n

+

−

→

−

ρ

σ

(B)

))

1

(

2

2

,

0

(

2

2

p

p

m

p

N

n

T

S

n

n

−

+

→

−

σ

(C)

))

1

(

)

1

(

2

,

0

(

2

ρ

σ

−

−

→

−

p

p

N

n

T

S

n

n

(D)

))

1

(

2

,

0

(

2

ρ

σ

−

→

−

p

N

n

T

S

n

n

(E)

n

T

S

n

n

−

nie jest ciągiem zbieżnym do rozkładu normalnego

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.

Wiadomo, że A, B, C są zdarzeniami losowymi takimi, że

5

2

)

(

=

B

P

4

1

)

|

(

=

B

A

P

4

1

)

|

(

=

A

C

P

5

3

)

(

=

∪ B

A

P

2

1

)

|

(

=

∩ B

A

C

P

.

Obliczyć ).

|

(

C

A

B

P

∩

(A)

Podane informacje nie wystarczają do wyznaczenia

)

|

(

C

A

B

P

∩

(B)

5

3

(C)

2

1

(D)

10

3

(E)

3

2

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie jednostajnym na przedziale

6

2

1

,

,

,

X

X

X

K

[

]

θ

θ

,

−

, gdzie

0

>

θ

jest nieznanym

parametrem. Niech oznacza estymator największej wiarogodności parametru

θ

ˆ

θ

.

Obliczyć

(

)

θ

θ

θ

θ

ˆ

2

ˆ

<

<

P

.

(A) 0,8232

(B) 0,9998

(C) 0,9858

(D) 0,9844

(E) 0,8220

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

20.03.2006 r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko : ...................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 C

2 A

3 A

4 D

5 B

6 B

7 B

8 D

9 E

10 D

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

11