Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

E( Y T = ,

5 X

P X

T

E Y T

X

P X

T

1 ≥

)3 ( 1 ≥ 3 = 5)+ ( = ,5 1 < )3 ( 1 < 3 = 5)=

= P( X ≥ 3 T = 5 =

≥

+ = = = −

1

) P( X 3 X Y 5) y 5 x, gdzie X ≅ wykl( θ), Y ≅ Γ( ; 4 θ

n

i

)

zl; X + Y ≅ Γ(5; θ)

5

4

− x

θ

θ

3

− θ(5− x

∫ e

θ

5

( − x) e

) dx

6

3

=

θ 5 4 −5 θ

5 e

24

2 −5 θ 5

LICZ = 5 − x = t →=

e

θ

3

2 −5 θ 5

e

θ

2 24

16

3

ODP =

=

=

= ,

0 0256

5

θ

3

4

− θ

54

5

54

5 e

24

Zadanie 2

Jeżeli H prawdziwa to liczba ustawień xyxxyyy takie samo prawdopodobieństwo 0

Trzeba policzyć prawdopodobieństwo, że suma pozycji >13

765,764,763,762,761,754,753,752,743,654,653 czyli wszystkich możliwości 11

11

11

11

11

ODP =

=

=

=

 7

!

7

56 ⋅ 7

35

 

!

3

!

4

6

3

Zadanie 3

E( 2

2

2

2

N − 2 aXN + a X − 2 bN + 2 abX + b ) 2

2

2

2

= EN − 2 aE( XN) + a EX − 2 bEN + 2 abEX + b

∂

−

2

E( XN )

bEX

= −2 E( XN) + 2 aEX + 2 bEX = 0 → a =

2

a

∂

EX

∂ = −2 EN + 2 aEX + 2 b = 0

∂ b

2

EN ⋅ EX − EXE( XN ) b =

2

2

EX

− ( EX )

to min

 1 

EN = EE( N λ) 1

= Eλ =

wiadomo, że N ≅ UJ. DWUM  ; 2



4

 9 

1

EX = EEE( X N, θ) = EE( Nθ) 1

1

9

= EN θ

E = 2

=

8 3

12

9

2

EX

= EEE( 2

X

N , θ ) = EE( Nθ 1

( − θ +

2

2

N θ ) = 1

)

Eθ 1

( − θ) + 11

2

Eθ =

4

32

 11

1 

2

1

3 1

1 1

19

= 

−  Eθ + Eθ =

+

=

 32

4 

4

32 6

4 3

192

E( XN ) = EE( XN N ) = E( NE( X N ) = E( NE( Nθ))

 1



=

2

11

E N  =

→

 3



96

1 19

1 11

11

35 1

−

−

35

54

4 192

12 96

96

212 12

→ b =

=

, a =

=

19

1

212

19

53

−

192

144

192

Zadanie 4

2

P(

t

t

X 2 < t) = P(− t < X < t ) = 2 ∫

− x

θ

x

θ e

= ∫ − wθ

e

θ

≅ wykl θ

( )

0

0

∑ 2

X

i

≅ Γ(2 ;

0 θ)

≅ χ 2 (40)

6 4

4 7

4

4 8

w

∞

w

20

19

∞

x =

−

− w

1

1

1

55 8

,

P( K ) =

θ

2

= ∫ θ

w

e 2

dw =

2

55 8

,

19

19

∫

w 19 e 2 → tθ =

→ t =

20

1 !

9 2

2

1 !

9 2

2

w =

θ

θ

θ

2 θ

t

2 θ

t

2 θ

x

H : EX = 0

0

przy

2

1

EX

= = 1 → θ = 1

θ

55 8

,

czyli: t =

≈ 27 8

, 793

2

Zadanie 5

2 n

− θ∑

L = θ Π

i

x

x e

i

ln L = 2 n ln θ + ∑ ln x θ

x

i −

∑ i

∂ = 2 n −∑

2 n

X

θˆ

0

i =

→ =

∂ θ

θ

∑ Xi

X ≅ Γ( ;

2 θ)

P( θ

X < t) = ... ≅ Γ(2 n ) 1

;

≅ ∑ X

i

 1



 1





po przekształceniach: 

−1 2 n;

−1 2 n  d

l

a X ≅ N (

)

1

,

0

 0

,

1 5



 9

,

0 5





ˆ

θ

E = ..

ˆ2

θ

E

= ...

sprawdzamy: dla n=400 wychodzi około 0,84

n=800 około 0,95 czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa bo dalej rośnie Zadanie 6

Zadanie z liczby ciągów binarnych n=10

m=6

 n + m

Ω = 



 n



P( s

7 erii ∧ 10 o

rlow, r

6

eszek)

ODP =

P 1

( 0 o

rlow, r

6

eszek)

10 −1 

 6 −1 10 −1 

 5







 + 



 

16

3



 2

  2



 3

16 

 1 

LICZ =

, MIAN =

 





16

2

10 

 2 

!

9

!

5

!

9

!

5

+

840

⋅

⋅

+ 360 1200

600

300

150

!

6

!

3

2

!

3

2

!

7

2

!

3

ODP =

=

=

=

=

=

!

16

8008

8008

4004

2002

1001

!

6

!

10

Zadanie 7

t

e −

P(

1

ln 1

( + X ) < t) = P(1+ X < t e ) = P( X < t e − )

1 = ∫

−

4 1

( +

5

x)

= 1+ x = w =

0

t

t

e

e

= ∫



1 

−

X

4 w 5 = −

= 1− −4 t

e

≅ wykl( )

4 ≅ Γ



,

1

(

)

4 U =

; X , Y ≅ Γ ,

1

( 4)

4 

 w 

X + Y

1

1

Z tego U ma rozkład Beta(1,1) czyli J(0,1) Zadanie 8

W = Z X − Z Y

i

i

i

i i

EW

i = pm − pm = 0

var W

i =

2

EWi =

2

EZ E

i

( 2

X i − 2 X Y

i i +

2

Yi ) = p[2( 2

σ +

2

m )−

2

2 σ

p

−

2

2 m ]=

= 2 2

pσ + 2

2

pm − 2 2 2

p σ − 2

2

pm = 2

2

pσ 1

( − p)

Wi

→ N( )

1

,

0

= X

n var Wi

Wi → X var W → N

=

−

i

( ;0var Wi ) N( ;02 2

pσ 1

(

p))

n

Zadanie 9

P( A ∩ B)

1

= → P( A ∩ B) 1 2

1

=

=

P( B)

4

4 5

10

P( A ∩ B ∩ C) 1

= P( A ∩ B) 1 1

1

=

=

2

2 10

20

P( A ∩ C)

1

1









= P( )

A =

[ P( A∪ B)− P( B) + P( A∩ B)] 1 3 2 1 2 1 2 1

3

=

− +

=

+

=









4

4

4 5

5

4 5 

4 1

 0 10

40

1

1 40

2

20

ODP =

=

=

3

20 3

3

40

Zadanie 10

n

 1 

L = 

 x (− θ; θ)...

x

,

max ≤ θ x min ≥ − θ

1

 2 θ 

Z tego: θˆ = max{ X

i }

t ∈ ( ;

0 θ)

1

P(

t

X < t) = P(− t < X < t) = ∫

= t ≅ J ( ;

0 θ)

− θ

2

θ

t

6

 t 

P(max < t)

6

= P ( X < t) =   , t ∈ ( ; 0 θ)

 θ 

=

4

6

4

7 8

ODP = P(

0

6

ˆ

ˆ



θ 

 

θ < θ < 2 θ )= P(

ˆ

θ < 2 θ )− P(

ˆ

θ < θ )

ˆ

= P θ >  − P(ˆ θ > θ) 1

= 1−   ≈ 9

,

0 844



2 

 2 