MECHANIKA TEORETYCZNA

Temat nr 2

Wypadkowa płaskiego układu sił

1

Układ sił zbieżnych

1. Definicja

Układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie, nazywamy zbieżnym
układem sił (przestrzennym lub płaskim). Punkt przecięcia linii działania sił O nazywa się
punktem zbieżności.

2

1

P



2

P



3

P



O

2. Wypadkowa układu sił zbieżnych

Układ sił zbieżnych przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą
wypadkową równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w tym
punkcie.

3

n

P

P

P

P











,

,

,

3

2

1

P



1

P



2

P



3

P



P



P



1

P



2

P



3

P



O

A. Wyznaczanie graficzne wypadkowej układu sił zbieżnych.

4

B. Wyznaczanie analityczne wypadkowej układu sił zbieżnych.

1

P



2

P



3

P



O

1



2



3



P





x

y































n

i

i

i

n

n

x

n

i

ix

nx

x

x

x

x

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

1

3

3

2

2

1

1

1

3

2

1

cos

cos

cos

cos

cos













































n

i

i

i

n

n

y

n

i

iy

ny

y

y

y

y

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

1

3

3

2

2

1

1

1

3

2

1

sin

sin

sin

sin

sin















x

y

y

x

P

P

P

P

P









tan

2

2



5

Zadanie 1

Wyznaczyć wypadkową sił działających na punkt O:

,

150

,

300

,

200

3

2

1

kN

P

kN

P

kN

P







tworzących z osią x kąty odpowiednio równe

.

30

,

45

,

60

3

2

1





















6

Rozwiązanie zadania 1

1

P



2

P



3

P



O

1



2



3



y

P





x

1

P



2

P



3

P



O

1



2



3



x

y

kN

P

P

P

P

x

443

86

,

0

150

71

,

0

300

5

,

0

200

cos

cos

cos

3

3

2

2

1

1



























kN

P

P

P

P

y

310

5

,

0

150

71

,

0

300

86

,

0

200

sin

sin

sin

3

3

2

2

1

1















































35

700

,

0

443

310

tan

540

310

443

2

2

2

2





x

y

y

x

P

P

kN

P

P

P



7

Zadanie 2

Wyznaczyć siłę, jaką węzeł O kratownicy wywiera na pręt DE, jeżeli siły działające
wzdłuż prętów OA, OB i OC wynoszą:

.

0

,

10

,

1

,

14

2

3

1

kN

P

kN

P

P







O

E

D

A

B

C

1

P



2

P



3

P





45



45



45



45

y

x

8

Rozwiązanie zadania 2

O

E

D

A

B

C

1

P



2

P



3

P





45



45



45



45

y

x

kN

P

P

P

P

x

0

,

10

7071

,

0

1

,

14

0

,

10

7071

,

0

1

,

14

45

45

cos

3

2

1

























kN

P

P

P

y

0

,

0

7071

,

0

1

,

14

7071

,

0

1

,

14

45

sin

45

sin

3

1





























0

0

,

0

tan

0

,

10





kN

P



P



9

Dowolny układ sił

1. Wypadkowa dowolnego układu sił

Dowolny układ sił można zastąpić siłą wypadkową równą sumie
geometrycznej tych sił i położoną w przestrzeni w taki sposób, że efekt jej działania jest
równy efektowi działania układu sił (sił składowych wypadkowej ).

n

P

P

P

P











,

,

,

3

2

1

n

P

P

P

P











,

,

,

3

2

1

W



W



A. Wyznaczanie analityczne wypadkowej dowolnego płaskiego układu sił.

W



W

x

O

y

x

W

y

y

O

W

M

x

O

W

M



1







x

O

W

y

O

W

W

M

y

W

M

x

Równanie linii działania wypadkowej w postaci
odcinkowej:

- wartość momentu układu sił
względem początku układu współrzędnych

n

P

P

P

P











,

,

,

3

2

1

O

M













n

i

i

i

n

i

ix

x

P

P

W

1

1

cos















n

i

i

i

n

i

iy

y

P

P

W

1

1

sin



10

Zadanie 1

Wyznaczyć wypadkową płaskiego układu sił przedstawionego na rysunku:

1

P



2

P



O

1



3



y

x

3

P



 

5

,

3

1

A

 

1

,

6

2

A





2

,

2

3



A















40

0

,

20

0

,

15

30

0

,

10

3

3

2

1

1





kN

P

kN

P

kN

P

11

1

P



2

P



O

1



3



y

x

3

P



 

5

,

3

1

A

 

1

,

6

2

A





2

,

2

3



A















40

0

,

20

0

,

15

30

0

,

10

3

3

2

1

1





kN

P

kN

P

kN

P



O

M

0

,

3

30

sin

0

,

10

















0

,

5

30

cos

0

,

10

0

,

6

0

,

15















0

,

2

40

sin

0

,

20

0

,

2

40

cos

0

,

20









kNm

77

,

56





x

W





30

cos

0

,

10







40

cos

0

,

20

kN

66

,

6







y

W





30

sin

0

,

10







40

sin

0

,

20

kN

86

,

32



0

,

15



m

W

M

y

O

73

,

1



m

W

M

x

O

52

,

8





kN

W

53

,

33

66

,

6

86

,

32

2

2







73

,

1

52

,

8

y

W



x

W



W



Rozwiązanie zadania 1