Przykład 1
Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy 

                  
 
Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

R o z w i ą z a n i e. 
Wektor główny układu sił jest równy

                  

Moment główny układu wynosi

                  

Przykład 2
Nieważka belka AB = 4l została obciążona trzema siłami równoległymiP₁, P₂, P₃ prostopadłymi do belki. Znaleźć reakcje stałej podpory przegubowej w punkcie A i podpory przegubowej przesuwnej w punkcieB. Dane liczbowe: P₁ = 100 N, P₂ = 300 N, P₃ = 400 N, l = 1 m.


R o z w i ą z a n i e. 
Reakcje w podporach A i B maja kierunek pionowy. Na belkę działa układ pięciu sił równoległych P₁, P₂, P₃, R_A i R_B. Dwie niewiadome reakcje  R_A i R_B wyznacza się z dwóch równań równowagi

                  

Stąd
                  

Przykład 3
Nieważka belka AB = 3l jest zamocowana w punkcie A na stałej podporze przegubowej, a w punkcie B na podporze przegubowej przesuwnej. Obciążenie belki stanowią siły  P₁ = 300 N i P₂ = 400 N, a kąt= 30º. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B.




R o z w i ą z a n i e. 
Kierunek reakcji R_A w stałej podporze przegubowej A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia działania tej siły przechodzi przez środek przegubu A. Reakcję tę rozkłada się na dwie składowe wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych Axy. Składowe reakcji R_A  zostały oznaczone przez R_Ax i R_Ay. Zatem, belka jest obciążona dwoma siłami zewnętrznymi P₁ i P₂ oraz trzema reakcjami więzów R_Ax, R_Ay i R_B. Wartości tych reakcji wyznacza się z trzech równań równowagi

                  

Z rozwiązania powyższego układu trzech równań z trzema niewiadomymi otrzymamy

                  

Reakcja R_B  jest ujemna, stąd jej kierunek jest przeciwny niż założono na rysunku. Wartość reakcji R_A oblicza się ze wzoru

                  

Przykład 4
Nieważka rama płaska została zamocowana na stałej podporze przegubowej w punkcie A i podporze przegubowej przesuwnej w punkcieB. Obciążenie zewnętrzne ramy stanowią siły P i siła 2P. Obliczyć reakcje podpór R_A i R_B, jeżeli P = 1000 N, l = 0,5 m.




R o z w i ą z a n i e. 
Rama jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i reakcjami R_A i R_B. Ponieważ kierunek reakcji R_A jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe R_Ax, R_Ay. Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi ramy

                  

Stąd
                  

Przykład 5
Obliczyć reakcje podpór A i B w belce pokazanej na rysunku. Obciążenie zewnętrzne stanowią dwie siły P₁ = 200 N, P₂ = 100 N i moment M = 200 N · m. Pozostałe dane liczbowe wynoszą: l = 1 m,
= 45º, = 30º.




R o z w i ą z a n i e. 
Belka jest obciążona dwiema siłami zewnętrznymi P₁, P₂, momentem Moraz reakcjami R_A i R_B. Ponieważ kierunek reakcji  R_A jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe R_Ax, R_Ay. Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi

                  

Stąd 
                  

Reakcje R_Ax, R_Ay są ujemne, stąd ich kierunek jest przeciwny do założonego. Wartość reakcji R_A wynosi

                  

Przykład 6
Jednorodna pozioma belka AB o ciężarze równym G jest oparta końcemA na stałej podporze przegubowej oraz końcem B na gładkiej równi pochyłej. W punktach D i E do belki przyłożone są siły P₁, P₂. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B. Dane liczbowe:
P₁ = 100 N, P₂ = 800 N, G = 200 N, = 45º, = 60º, l = 4 m.




R o z w i ą z a n i e. 
Oddziaływanie równi na koniec belki B, czyli reakcja R_B więzów będzie prostopadła do płaszczyzny tej równi. Wynika to z faktu, że siła tarcia między płaszczyznami równi i belki równa się zeru. Kierunek reakcji R_A w przegubie A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia działania tej siły przechodzi przez środek przegubu, tj. przez punkt A. Reakcję tę rozkładamy na dwie składowe R_Ax, R_Ay wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych  Axy. Tak więc belka jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i trzema reakcjami. Wyznaczamy wartości tych reakcji z trzech równań równowagi

                  

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

                  

Stąd
                  

Przykład 7
Po belce podsuwnicowej AB porusza się suwnica, której wózek, składający się z dwóch kół tocznych, oddziałuje na belkę siłami P₁, P₂. W jakiej odległości x od punktu A powinien wózek się zatrzymać, aby reakcja w punkcie B była dwukrotnie mniejsza od reakcji w punkcie A ? Dane liczbowe: P₁ = 4000 N i P₂ = 2000 N, b = 1 m, l = 10 m.




R o z w i ą z a n i e. 
Ponieważ siły  P₁, P₂, działające na belkę, są pionowe oraz reakcja R_Bma kierunek pionowe, również reakcja R_A ma kierunek pionowy. Piszemy dwa równania równowagi

                  

Po rozwiązaniu tego układu równań, przy założeniu, że R_B = 0,5R_A, otrzymujemy

                  

Przykład 8
Wyznaczyć reakcje podpory przegubowej stałej A i dwóch podpór przegubowych przesuwnych B i D oraz wzajemne oddziaływanie w przegubie C obydwu części belki ABCD. Dane liczbowe: P₁ = 1000 N, 
P₂ = 2000 N, = 30º, l = 1 m.




R o z w i ą z a n i e. 
W celu wyznaczenia reakcji  R_A, R_B, R_C i R_D rozważymy równowagę obu części belki.
Równania równowagi lewej części belki mają postać

                  

Równania równowagi prawej części belki

                  

Otrzymaliśmy układ sześciu równań równowagi z sześcioma niewiadomymi. Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy

                  

Reakcje R_A i R_C wynoszą

                  

Przykład 9
Dźwig o ciężarze własnym G = 5P, obciążony na wysięgniku siłą P, zainstalowano na torze jezdnym AB. Obliczyć reakcje kół dźwigu, reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A i podpory przegubowej przesuwnej w punkcie B oraz reakcję w przegubie E, jeżeli AE = 4a,
BE = 8a, CE = DE = a.

R o z w i ą z a n i e. 
Reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A sprowadzają się do reakcji R_A o nie znanym kierunku oraz momentu utwierdzenia M_A. W podporze przegubowej przesuwnej w punkcie B i podporach kół dźwigu w punkcie C i D występują reakcje o kierunku pionowym, prostopadle do płaszczyzny poziomej (przesuwu). Reakcja przegubu E sprowadza się do siły o nie znanym kierunku działania, przechodzącej przez oś tego przegubu. Z dwóch równań równowagi dźwigu (rys. b) wyznaczamy reakcje R_C i R_D podpór jego kół

                  

Stąd
                  

Równania równowagi dwóch części belki AB, zgodnie z rys. d są następujące:

• część belki BE
  
                 
  

• część belki AB

              

Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy

                  

---