1. Postawienie problemu

Za przedmiot modelowania obrałam cenę notebooka firmy Asus. Naszą zmienną objaśnianą
będzie cena laptopa.

Przyjmuję, że model w projekcie będzie modelem jednowymiarowym. Ogólna postać modelu jednowymiarowego jest następująca:

gdzie:

- zmienna objaśniana (regresant, zmienna endogeniczna),

- postać analityczna modelu,

- zmienne objaśniające (regresowy, zmienne egzogeniczne),

- składnik losowy.

2. Wybór zmiennych objaśniających

Zmienne objaśniane:

• 
  - Prędkość procesora- [GHz];

• 
  - Częstotliwość FSB - [MHz];

• 
  - Pamięć ram- [MB];

• 
  - Dysk twardy- [GB];

• 
  - Matryca- [Cale];

• 
  - Waga- [kg];

Tabela 1. przedstawia wartości poszczególnych zmiennych dla 30 obserwacji.

Lp.	Nazwa	Cena	Procesor	Częstotliwość FSB	Pamięć ram	Dysk twardy	Matryca	Waga
1	Asus EEE 904HD	589	0,90	353	1024	80	8,9	1,40
2	Asus Eee 900	688	0,90	353	1024	120	8,9	0,99
3	Asus EPC-1000HD	898	0,90	353	1024	120	8,9	1,40
4	Asus Eee PC 1201HA	1009	1,30	533	1024	250	12,1	1,40
5	Asus 1008HA-PIK032X	1109	1,33	667	1024	160	10,1	1,10
6	Asus 1101HA-BLK038M	1119	1,33	533	1024	250	11,6	1,40
7	Asus Eee 1101HA	1180	1,33	533	1024	160	11,6	1,38
8	Asus1005HA-BLK135X	1189	1,33	533	1024	160	10,1	1,27
9	Asus EeePC 1008HA	1429	1,60	667	2048	200	10,1	1,10
10	Asus Eee 1005HA	1469	1,60	667	2048	250	10,0	1,27
11	Asus Eee PC 1201HA	1479	1,60	667	2048	250	12,1	1,40
12	Asus Eee l 1008HA-N280	1506	1,66	667	1024	250	10,1	1,10
13	Asus Eee PC	1589	1,60	533	1024	250	10,1	1,27
14	Asus PRO5DIJ-SX221	1768	1,80	667	2048	320	15,6	2,60
15	Asus K50IJ-SX036	1889	1,80	667	2048	250	15,6	2,60
16	Asus X58LE-EX137X	1899	2,00	800	2048	250	16,6	2,88
17	Asus K50IN - SX034C	2089	2,00	800	3071	320	15,6	2,60
18	Asus K50IJ	2249	2,10	667	2048	500	16,6	2,60
19	Asus K50IN-SX126E	2426	2,10	667	2048	250	15,6	2,60
20	Asus K70IJ	2505	2,10	667	2048	320	17,3	3,12
21	Asus K70IC - TY010	2729	2,10	800	4096	320	17,3	2,80
22	Asus UL50VG-XX023	3069	2,10	800	2048	250	15,6	2,30
23	Asus N71VG-TY023V	3289	2,20	1066	2048	320	17,3	2,63
24	AsusN731GE- TY03B	3299	2,20	800	2048	320	17,3	3,20
25	Asus N61VG	3390	2,20	1066	2048	500	15,6	2,71
26	Asus N71VN-TY015	3769	2,53	1066	4096	500	17,3	3,40
27	Asus M60J	4099	2,80	1066	4096	320	15,6	3,30
28	Asus N71VN-P8700	4294	2,80	800	4096	1000	17,3	3,67
29	Asus M60J-720QM	4589	2,80	1066	4096	320	15,6	3,30
30	Asus N90	4889	2,80	1066	4096	640	18,4	4,20

Tabela 1. Dane dotyczące poszczególnych zmiennych

Dane dotyczące modeli notebooków dla poszczególnych zmiennych
oraz dane dotyczące zmiennej objaśnianej
pochodzą ze stron internetowych sklepów komputerowych. Na podstawie zaczerpniętych informacji dokonałam wyborów średnich cen rynkowych danych modeli laptopów.

2.1. Eliminacja zmiennych quasi-stałych

Odchylenie standardowe jest bezwzględną miara rozrzutu zmiennej względem średniej. Odchylenie standardowe mówi nam, o ile średnio poszczególne wartości zmiennej różnią się od średniej.

Współczynnik zmienności
jest względna miarą rozrzutu wartości zmiennej, i mówi nam, czy jest to rozproszenie duże czy małe w stosunku do średniej.

Jeżeli
to zmienna charakteryzuje się małą zmiennością i tą zmienną traktujemy jako quasi- stałą. Taką zmienną eliminuje się z modelu.

2.1.1. Obliczenia (eliminacja zmiennych quasi-stałych)

	Y	X1	X2	X3	X4	X5	X6
Śr.	2249,80000	1,86033	719,66667	2150,36667	306,66667	13,82667	2,23300
S	1205,73829	0,55308	213,20527	1101,26813	176,49048	3,19697	0,92147
V	0,53593	0,29730	0,29626	0,51213	0,57551	0,23122	0,41266

Tabela 2. Średnia, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności dla poszczególnych zmiennych kandydujących na zmienne objaśniające

Poszczególne wartości zmiennej
różnią się od średniej 1,86033 wynoszącej średnio o 0,55308. Dla zmiennej
wartości różnią się od średniej 719,6666667 wynoszącej średnio o 213,20527. Kolejno wartości zmiennej
różnią się od średniej wynoszącej 2150,366667 średnio o 1101,26813. Z kolei wartości zmiennej
różnią się od średniej wynoszącej 306,66667 średnio o 176,490478. Natomiast dla zmiennej
wartości różnią się od średniej wynoszącej 13,82667 średnio o 3,19697. Dla ostatniej ze zmiennych - zmiennej
- wartości różnią się od średniej wynoszącej 2,233 średnio o 0,92147.

W rozważanym przykładzie żadną ze zmiennych nie uznaję za quasi-stałą (a co za tym idzie, żadnej ze zmiennych nie eliminujemy), gdyż zmienne
charakteryzują się dużą zmiennością a ich współczynniki zmienności są większe od wartości 0,1.

Wnioskuję zatem, że wszystkie wcześniej przyjęte zmienne
są zmiennymi objaśniającymi.

2.2. Analiza współczynników korelacji

2.2.1. Obliczenie współczynników korelacji

Dla współczynników korelacji
tworzymy macierz
.

Dla współczynników korelacji
tworzymy macierz
.

2.2.2. Ustalenie wartości krytycznej współczynnika korelacji

gdzie:

- poziom istotności,
,

- liczba obserwacji,
,

- wartość statystyki t-Studenta dla zadanego poziomu istotności
oraz dla
stopni swobody,

- liczba stopni swobody.

Badam kolejno wszystkie potencjalne zmienne objaśniające w celu wyeliminowania tych zmiennych, które są słabo skorelowane z
. Korzystam przy tym z warunku:

W przypadku możemy powiedzieć, że silna korelacja jest w przedziałach
.

Zestaw potencjalnych zmiennych objaśniających:

• Do modelu wybraliśmy zmienną
  gdyż jest najsilniej skorelowana z
  :

• eliminujemy zmienne
  
  ,
  ,
  ,
  gdyż są one zbyt silnie skorelowane ze zmienną
  :

Ostatecznie do modelu trafia tylko jedna zmienna -
( jest nią prędkość procesora ). Zmienne
,
,
,
zostały wyeliminowane, gdyż są zbyt silnie skorelowane z
.

Zależność zmiennej objaśnianej
od zmiennej objaśniającej
( czyli zależność ceny notebooka od prędkości procesora ) przedstawia wykres 1.




Wykres 1. Wykres zależności zmiennej
od zmiennej
z linią trendu o typie liniowym

Z wykresu można odczytać, że występuje bardzo silna korelacja dodatnia co oznacza, że wzrost prędkości procesora towarzyszy wzrost ceny notebooka.

Na wykresie 1 przedstawiony jest trend typu liniowego, opisany równaniem:




Oraz współczynnik determinacji
wynoszący
.

3. Szacowanie liniowej zależności ceny notebooka od prędkości procesora

Zakładam model postaci:


,

gdzie zmienna
to przyjęta do naszego modelu ekonometrycznego zmienna objaśniająca
(w dalszych obliczeniach oznaczana po prostu jako zmienna
).





Obliczam macierz
:




Wyznacznik macierzy
:




Macierz dopełnień algebraicznych:




Macierz odwrotna:







Obliczam macierz
:




Obliczamy macierz
:




Model ma postać:




Interpretacja otrzymanego modelu:

Jednostkowy wzrost prędkości procesora spowoduje wzrost ceny o ok.
. Można powiedzieć zatem, że wzrost prędkości o 1 GHz spowoduje wzrost ceny o około 2092,80 zł.

5.1. Współczynnik determinacji

Współczynnik determinacji oblicza się ze wzoru:




Wartość
jest liczbą z przedziału
. Bliskie jedności
wskazują na dobre, natomiast bliskie zera na złe dopasowanie modelu do danych empirycznych.

Współczynnik determinacji mówi, jaka część całkowitej zmienności zmiennej
jest wyjaśniona przez model.




Wyznaczony model w 92,08 % wyjaśnia zmienność kształtowania się przeciętnej ceny notebooka. Ukazuje nam iż dopasowanie modelu w tym przypadku jest dobre.

5.2. Weryfikacja statystyczna modelu




Wartości cen przewidywane przez model różnią się od zaobserwowanych średnio o 351,20 zł. Są to błędy średnie co do wielkości, o czym świadczy współczynnik zmienności równy około 15,61 %.

Macierz wariancji i kowariancji estymatorów parametrów:




Średnie błędy szacunku parametrów
(błędy bezwzględne):




Błąd oszacowania parametru
wynosi 225,0051334 natomiast błąd oszacowania parametru
wynosi 115,9335612.

Średni błąd względny szacunku k-tego parametru:

Dla parametru
:


Dla parametru
:


Zapisujemy model w postaci:




(225,0051334) (115,9335612)

(-13,69%) (5,54%)

Interpretacja błędów w modelu:

Parametr
jest wyznaczony z błędem 225,0051334 natomiast parametr
z błędem 115,9335612. Dokładniej wyznaczony jest parametr
, gdyż jego błąd względny jest mniejszy od błędu względnego parametru
.

5.3. Testowanie hipotez o statystycznej istotności parametrów strukturalnych modelu

Dla danych dotyczących ceny telefonu komórkowego zależnego od liczby pikseli aparatu cyfrowego oraz poziomu istotności
model ma postać:




(225,0051334) (115,9335612)

5.3.1. Stawianie hipotez dla parametrów


Hipotezy dla parametru
:




Hipotezy dla parametru
:




5.3.2. Wartość statystyki testowej oraz obszary krytyczne

Statystyka testowa:




Statystyka ta ma rozkład t-Studenta o N-K-1 stopniach swobody.

Wartość krytyczna statystyki t-Studenta dla
oraz
stopni swobody:




Wartość statystyki testowej oraz obszary krytyczne dla parametru
:




Wartość statystyki testowej oraz obszary krytyczne dla parametru
:




Interpretacja:

Dla parametru
i
wartość statystyki testowej należy do obszaru krytycznego, dlatego w obu przypadkach odrzucamy hipotezy zerowe, uznając za prawdziwe hipotezy alternatywne. W szczególności oznacza to, że prędkość procesora notebooków firmy Asus ma pozytywny wpływ na cenę komputera.

5.4. Przedziały ufności dla parametrów modelu

Przedział ufności dla parametru
na poziomie istotności
ma postać:




gdzie:


- jest kwartylem rzędu
rozkładu t-Studenta o
stopniach swobody.

Dla danych dotyczących ceny notebooka zależnego od prędkości procesora oraz poziomu istotności
model ma postać:




(225,0051334) (115,9335612)




Dla parametru
:




Dla parametru
:




Interpretacja:

Z prawdopodobieństwem 0,95 współczynnik
należy do przedziału:
, a
.
W szczególności dla parametru
oznacza to, że jednostkowy wzrost prędkości procesora w notebooku może spowodować wzrost ceny komputera.

Wnioski:

Na podstawie uzyskanego modelu ekonometrycznego możemy stwierdzić, że cena notebooka jest zależna od prędkości jego procesora i wzrost prędkości niesie za sobą wzrost ceny komputera..

Podsumowując możemy stwierdzić, że obliczenie dokonane w naszym modelu ekonometrycznym obarczone są niewielkim błędem i mogą być uznane za wiarygodne




9

---