Wyrównanie spostrzeżeń niejednakowo dokładnych

Wagi spostrzeżeń

Spostrzeżenia niejednakowo dokładne otrzymamy wtedy, gdy warunki pomiarów są niejednakowe, to znaczy

1) metody pomiarów są różne lub

2) stosujemy różne narzędzia pracy lub

3) obserwatorzy są różni (o niejednakowych umiejętnościach) lub

4) warunki zewnętrzne są niejednakowe.

Dla porównania spostrzeżeń niejednakowo dokładnych wprowadzamy wagi spostrzeżeń.

Wagi obserwacji tej samej wielkości

I definicja wag. Wagi są to liczby dodatnie, które wyrażają ilości jednakowo dokładnych spostrzeżeń i których użycie pozwala wyznaczyć dokładniej mierzone wielkości.

Ta interpretacja wag ma zastosowanie wówczas, gdy wykonamy szereg pomiarów tej samej wielkości przy użyciu tego samego narzędzia, instrumentu, i z pomiarów tych tworzymy średnie arytmetyczne. Jeśli na przykład pomierzono ten sam kąt pierwszego dnia n razy, drugiego n₂ razy i trzeciego n₃, razy, to waga
,
,
, czyli

W praktyce wagę traktuje się jako pewien arytmetyczny wyraz zaufania do danego spostrzeżenia.

II definicja wag. Wagi spostrzeżeń są to liczby dodatnie odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów średnich tych spostrzeżeń:

(I)

Z tej interpretacji pojęcia wag korzystamy wówczas, gdy przy obserwacjach stosujemy różne narzędzia (instrumenty) i znamy błędy średnie pojedynczych pomiarów wykonanych tymi narzędziami. Często w praktyce stosujemy obie omawiane definicje wag jednocześnie. Ma to miejsce wówczas, gdy przy obserwacjach tej samej wielkości stosujemy instrumenty (narzędzia) o różnej dokładności i różna jest liczba obserwacji każdym instrumentem. Wówczas wagi obserwacji każdym narzędziem będą wprost proporcjonalne do liczby obserwacji oraz jednocześnie odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów średnich tych narzędzi:

Wagę spostrzeżenia, względem, którego wyznaczamy wagi innych spostrzeżeń, przyjmujemy równą jedności, a błąd średni takiego spostrzeżenia, zwanego typowym, oznaczamy przez
. Zatem błąd
jest to błąd średni typowego spostrzeżenia o wadze równej jedności tj. p = 1. Podstawiając we wzorze (I)
,
, otrzymamy

, ogólnie

W pewnych wypadkach wygodnie jest wagi wyrażać wprost jako odwrotności kwadratów błędów średnich obserwacji:

.

Wyrównanie kątów pomierzonych w wieloboku

W pewnym wieloboku o m kątach pomierzono tym samym teodolitem kąty

,

odpowiednio w liczbie serii

W oparciu o pierwszą definicję wag przyjmujemy wagi równe

Przy wyrównaniu kątów powstałą odchyłkę

(II)

„rozrzucamy” ze znakiem przeciwnym na poszczególne kąty odwrotnie proporcjonalnie do liczby pomiarów każdego kąta, czyli wag, tak, więc poprawki v i wagi p spełniają następującą równość:

gdzie k jest pewnym stałym współczynnikiem.

W równaniu (II)

Stąd

.

Ponieważ

to

, tj.
.

Stąd wartości poprawek:

.

Wagi sumy obserwacji

Na innej zasadzie wyznaczamy wagi obserwacji będącej najprostszą funkcją pomiarów bezpośrednich na przykład ich sumą. I tak w ciągach poligonowych dla wyznaczenia wagi azymutu węzłowego (patrz koniec wykładu) obliczonego na podstawie ciągu o n kątach uwzględniamy dwa czynniki:

1. błędy przypadkowe pomiaru kątów w ciągu rosną proporcjonalnie do pierwiastka kwadratowego z liczby kątów:

;

2. wagi są odwrotnie proporcjonalne do kwadratów średnich błędów spostrzeżeń;

Zatem błąd średni pomiaru n kątów w ciągu
czyli

, a waga
.

Przyjmujemy w praktyce
. Zatem waga azymutu węzłowego jest odwrotnie proporcjonalna do liczby kątów ciągu, z którego azymut wyznaczamy.

Podobnie dla wyznaczenia wagi współrzędnych punktu węzłowego obliczonych z ciągu długości L metrów można założyć:

Przyjmujemy w praktyce

Uwaga. Przy wyznaczaniu wag należy zwrócić uwagą, czy mamy do czynienia z obserwacjami tej samej wielkości, czy też wykonujemy pomiar różnych wielkości pozostających w najprostszym związku funkcyjnym, jakim jest suma obserwacji (np. pomiar kątów czy długości w ciągu poligonowym, lub pomiar różnic wysokości w ciągu niwelacyjnym).

1) W pierwszym wypadku, gdy mamy do czynienia z obserwacjami tej samej wielkości, wyznaczamy błąd średni ogólnej średniej arytmetycznej i wówczas wagi będą równe lub proporcjonalne do liczby spostrzeżeń, a więc będą wzrastać z liczbą obserwacji.

2) W drugim wypadku mamy do czynienia z funkcją spostrzeżeń i wraz ze zwiększeniem się długości ciągu (a więc i liczby obserwacji) wagi będą malały.

Ogólna średnia arytmetyczna i jej własności

Gdy mamy szereg niejednakowo dokładnych obserwacji (spostrzeżeń)

pewnej wielkości mierzonej x i wagi tych spostrzeżeń są odpowiednio równe

to najprawdopodobniejszą wartością
tej mierzonej wielkości będzie ogólna średnia arytmetyczna:

W tym wypadku obserwacje
nazywamy spostrzeżeniami złożonymi lub grupowymi, bo każde z tych spostrzeżeń jest najczęściej średnią arytmetyczną z kilku pojedynczych obserwacji. Wagi
nazywamy wagami spostrzeżeń złożonych. Natomiast suma wag spostrzeżeń złożonych składających się na ogólny wynik jest wagą ogólnej średniej arytmetycznej.

Zatem rozróżniamy wagi:

1) typowego (pojedynczego) spostrzeżenia l o wadze p = 1,

2) spostrzeżeń złożonych (grupowych)
o wagach
, lub

3) ogólnej średniej arytmetycznej
o wadze
.

Oznaczając błędy pozorne przez

i mnożąc te błędy przez odpowiednie wagi, otrzymamy następująca zależność

1) Suma iloczynów błędów pozornych przez odpowiednie wagi równa się zeru. Zależność tę stosujemy do kontroli rachunku przy obliczaniu ogólnej średniej arytmetycznej.

2) Suma iloczynów kwadratów błędów pozornych przez odpowiednie wagi powinna być minimalna:

Na podstawie tego warunku przeprowadza się wyrównanie spostrzeżeń o niejednakowej dokładności. Ponadto warunek ten daje podstawę do twierdzenia, że ogólna średnia arytmetyczna jest najprawdopodobniejszą wartością dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych.

Ocena dokładności spostrzeżeń niejednakowo dokładnych i wartości wyrównanej (ogólnej średniej arytmetycznej)

Oceną dokładności tych spostrzeżeń będą błędy średnie; typowego spostrzeżenia, spostrzeżeń grupowych i błąd średni ogólnej średniej arytmetycznej.

Błąd średni typowego spostrzeżenia (o wadze
) wynosi

Błąd średni spostrzeżenia grupowego o wadze
wynosi

Wreszcie błąd średni ogólnej średniej arytmetycznej o wadze
równa się

gdzie n jest liczbą spostrzeżeń grupowych.

Ogólna średnia arytmetyczna zawarta jest w granicach:

Wagi funkcji pomiarów bezpośrednich

1) Wagę iloczynu
(gdzie a jest wielkością stałą) obliczamy z wzoru:

2) Wagę sumy (lub różnicy)
obliczamy z wzoru:

3) Wagę funkcji liniowej
obliczamy z wzoru:

4) Wagę dowolnej funkcji
obliczamy z wzoru

Wzory podaje się nie na same wagi funkcji, lecz na ich odwrotności, co ułatwia ich przeliczanie na błędy średnie(
).

Przykłady. Obliczyć wagi następujących funkcji:

a)
b)
c)
d)

Rozwiązanie.

a)
(przyjąć
)

b)

(przyjąć w zadaniach b, c i d
)

c)

d)

Zadania

Zadanie 1. Obliczyć najprawdopodobniejszą wartość kąta oraz błędy średnie typowego spostrzeżenia, spostrzeżeń grupowych i wartości wyrównanej (ogólnej średniej arytmetycznej) na podstawie następujących danych pomiarowych;

40°30 10	z 3 serii,
40°30'04"	z 6 serii,
40°30'06"	z 7 serii.

Rozwiązanie. Rezultaty pomiarów kąta są średnimi arytmetycznymi z 3, 6 i 7 serii, czyli są to spostrzeżenia złożone (grupowe). Jako wagi tych spostrzeżeń przyjmiemy, zgodnie z definicją wag, liczby serii składających się na każdy rezultat pomiaru. Dla uproszczenia obliczeń wprowadzamy wartość przybliżoną szu­kanej wielkości kąta
.

Wartość najprawdopodobniejsza (ogólna średnia arytmetyczna)

Kontrole obliczeń:

Przebieg obliczeń podano w tabeli:

Lp.	Rezultaty, pomiarów	p		pt		pv	pvv	ptt
1	40°30'10"	3	10"	30	-4"	-12"	48	300
2	40°30'04"	6	4	24	+2	+12	24	96
3	40°30'06"	7	6	42	0	0	0	252
		16		96		0	72	648

Błąd średni typowego spostrzeżenia:

W tym zadania n = 3, jest to liczba pomiarów grupowych. Błędy średnie spostrzeżeń grupowych

Błąd średni wartości wyrównanej:

Wartość najprawdopodobniejsza kąta

Kontrola:

Zadanie 2. Obliczyć na j prawdopodobnie jaz ą wartość kąta l jej błąd średni na podstawie następujących rezultatów kilkakrotnego pomiaru kąta dwoma różnymi teodolitami:

teodolit I	teodolit II
105°26'18"	105°26'10"
28"	18"
22"	24"
08"	12"

Rozwiązanie. Mimo jednakowej liczby pomiarów każdym teodolitem są to pomiary niejednakowo dokładne, bo zostały wykona­ne różnymi teodolitami. W celu ustalenia wag obliczymy przede wszystkim dla każdego teodolitu oddzielnie średnie arytmetyczne jednakowo dokładnych pomiarów i ich błędy średnie.

Rezultat pomiaru pierwszym teodolitem przyjmujemy za spostrze­żenie typowe, t j. o wadze
Wówczas

Zależność wag od błędów średnich wyraża ogólny wzór

,

Teodolit I

Lp.	Rezultaty pomiarów l	t	v	vv	tt	Obliczenia
1	105°26'18"	8"	+1"	1	64	Kontrola:
2	28"	18	-9	81	324
3	22"	12	-3	9	144
4	08"	-2	+11	121	4
		36"	0	212	536

z którego można wyznaczyć wagę p, obserwacji wykonanych drugim teo­dolitem. Dla typowego spostrzeżenia o wadze jednostkowej:

Teodolit II

Lp.	Rezultaty pomiarów l	t	v	vv	tt	Obliczenia
1	105°26'10"	0"	+6"	36	0	Kontrola:
2	18"	8	-2	4	64
3	24"	14	-8	64	196
4	12"	2	+4	16	4
		24	0	120	264

Dalszy przebieg obliczeń:

Lp.	Rezultaty pomiarów l	p		pt		pv	pw	ptt
1	105°26'19"	1	3"	3	-1,9	-1,90	3,610	9
2	105°26'16"	1,7	0	0	+1,1	+1,87	2,057	0
		2,7	3	3		-0,03	5,667	9

Kontrola

Błąd średni wartości wyrównanej

Wartość najprawdopodobniejsza kąta

Zadanie 3. Pomierzono kat trzema teodolitami o różnej dokładności i otrzymano następujące wyniki:

1. teodolitem z błędem średnim 30" pomierzono kąt 6 razy i otrzymano średnią 160°40'28",

b) teodolitem 2 błędem średnia 19" pomierzono kąt 3 razy i otrzymano średnią 160°40'10",

c) teodolitem a błędem średnia 10" pomierzono kąt 2 razy i otrzymano średnią 160°40'20".

Obliczyć najprawdopodobniejszą wartość kąta oraz błędy średnie spostrzeżeń grupowych i wartości wyrównanej (ogólnej średniej arytmetycznej).

Rozwiązanie. W celu ustalenia wag należy uwzględnić dwa czynniki; wartości błędów średnich teodolitów oraz liczby po­miarów kąta każdym z nich.

Wagi obserwacji będą wprost proporcjonalne do liczby pomiarów kąta każdym teodolitem oraz jednocześnie odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów średnich tych instrumentów:

czyli

Wagi można wyznaczyć także innym sposobem. Ola każdej śred­niej arytmetycznej uzyskanej z pomiarów innym teodolitem możemy obliczyć błędy średnie:

Wagi tych spostrzeżeń będą odwrotnie proporcjonalne do kwadratów ich błędów średnich:

Dalszy przebieg obliczeń:

Lp.	Rezultaty pomiarów l	n	m	p	t	pt	v	pv	pw	ptt
1	160°40'28"	6	30"	1	18	18	-10	-10	100	324
2	10"	3	15	2	0	0	+8	+16	128	0
3	20"	2	10	3	10	30	-2	-6	12	300
				6		48		0	240	624

Kontrola:

Błędy średnie spostrzeżeń grupowych

Błąd średni wartości wyrównanej:

Wartość najprawdopodobniejsza kąta

Zadanie 4. W trójkącie pomierzono kąty teodolitem, wyznacza­jąc kąty
i
z jednej serii, a kąt
z dwóch serii. Suma kątów pomierzonych
. Wyrównać kąty w trójkącie (obliczyć poprawki kątów pomierzonych).

Rozwiązanie.

Wagi przyjmujemy równe liczbie pomiarów każdego kąta:

Kontrola:

Zadanie 5. W trójkącie pomierzono dwa kąty
i
z wagami
i
. Obliczyć wagę trzeciego kąta
.

Rozwiązanie. Wagę kąta
obliczamy z wzoru na wagę sumy:

stąd

Zadanie 6. W trójkącie pomierzono dwa kąty:

63°20'40" ze średnim błędem +20",

50°34'10" ze średnim błędem +10".

Obliczyć wartość trzeciego kąta
, jego błąd średni
, oraz wagi kątów
,
i
.

Rozwiązanie:

Wagę
obliczamy z wzoru na wagę sumy:

stąd

Sprawdzenie

Zadanie 7. Kąt
zmierzony z błędem średnim
posia­da wagę
Obliczyć błąd średni typowego spostrzeżenia
.

Rozwiązanie. Dla typowego spostrzeżenia o wadze jed­nostkowej (
)

stąd

Zadanie 8. Waga zmierzonego kierunku
. Obliczyć wagę
kąta
.

Rozwiązanie. Wprowadzamy oznaczenia:

- błąd średni pomiaru kierunku,

- błąd średni pomiaru kąta.

Kąt jest różnicą dwóch zmierzonych kierunków

Jeśli
, to
Dla funkcji
będzie spełniony warunek:

stąd

Sprawdzenie:

Przybliżone wyrównanie sieci poligonowej z jednym ciągiem wewnętrznym

Rozpatrzmy zagadnienie obliczania współrzędnych punktów złożonej sieci poligonowej, mającej punkty, w których zbiegają się trzy (lub więcej) ciągi poligonowe, tworząc tzw. węzły. Weźmy pod uwagę najprostszą sieć poligonową przedstawioną na poniższym rysunku. Sieć ta składa się z trzech ciągów I, II i III oraz ma dwa węzły w punktach G i W. Ciąg II nazywa się ciągiem a związkowym lub wewnętrznym. Nawet taka najprostsza sieć nie może być wyrównywana jako dwa oddzielne poligony zamknięte, gdyż wtedy kąty, a następnie przyrosty współrzędnych w ciągu II byłyby dwa razy poprawione. Jako całość taka sieć poligonowa da się wyrównać metodą przybliżoną sposobem punktów węzłowych. Takie wyrównanie, mimo że przybliżone, nie zniekształci zbytnio wyników pomiaru. Sposób punktów węzłowych pozwala „skrócić" długość poszczególnych ciągów i zlokalizować ewentualne grube błędy pomiaru. Błędy grube pomiaru długiego ciągu mogłyby być, bowiem potraktowane jako przypadkowe. Tak np. odchyłka liniowa
w ciągu o długości 6 km może być uznana za przypadkowy błąd pomiaru, gdyż jest to odchyłka dopuszczalna; tymczasem, równie dobrze, może to być gruby błąd pomiaru. Wyrównując sieć poligonową sposobem punktów węzłowych, ograniczamy długość ciągów. Każdy ciąg jest zawarty miedzy dwoma węzłami poligonowymi. Ewentualny gruby błąd pomiarowy w jakimś ciągu można stosunkowo łatwo wykryć.

Przyjmiemy za punkt wyjściowy naszych obliczeń punkt G i będziemy go odtąd nazywać punktem głównym. Punkt W, do którego będziemy „dochodzili" w operacjach rachun­kowych, nazywamy punktem węzłowym. Tak, więc nasza sieć poligonowa (rys. p1) ma jeden punkt główny i jeden punkt węzłowy. Sieć ta jest niezależna, ponieważ nie jest dowiązana do państwowej sieci geodezyjnej. Azymut główny (wyjściowy)
został zmierzony busolą, współrzędne zaś punktu głównego
przyjęto tak, aby współrzędne wszystkich punktów sieci były dodatnie. Wyrównanie rozpatrywanej sieci wykonamy, jak już powiedzieliśmy, metodą przybliżoną, sposobem punktów węzłowych. Wyrównanie będzie przybliżone, gdyż oddzielnie wyrównamy najpierw azymuty (kąty) sieci, a potem współrzędne. Wyrównanie ścisłe polega na jednoczesnym wyrównaniu elementów kątowych i liniowych danej sieci metodą najmniejszych kwadratów, czyli na takim poprawieniu pomierzonych wielkości, aby suma kwadratów poprawek, dodawanych do pomierzonych wielkości, była najmniejsza ze wszystkich możliwych sum. Wyrównanie ścisłe jest pracochłonne (to będzie na II roku), gdyż wymaga rozwiązania układu równań z wieloma niewiadomymi.

Obliczenie azymutów

Poszczególne ciągi I, II, III traktujemy jako ciągi rozwarte między punktami G i W (rys. p1). Zaznaczamy w każdym ciągu, z jakimi kątami mamy do czynienia: z prawymi
, czy z lewymi
. Po wypisaniu kątów sumujemy je w poszczególnych ciągach. Wychodząc z danego azymutu głównego A_G, obliczamy na podstawie sum kątów w ciągach
,
trzema drogami azymut węzłowy A_W ze znanych wzorów

lub
. (az)

gdzie n - liczba kątów w ciągu.

W ten sposób otrzymamy trzy bliskie siebie wartości azymutu węzłowego;
,
,
Wartości te są niejednakowo dokładne, gdyż obliczone zostały na drogach o różnej długości. Wartość najbardziej prawdopodobną azymutu węzłowego A_W otrzymamy, więc, obliczając uogólniona brednią arytmetyczną wartości,
,
,
nazywaną też średnią z wag lub średnią ważoną.

.

przy czym wielkości p występujące w uogólnionej średniej arytmetycznej są to wagi. Jako wagi przyjmujemy wartości odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów średnich, a więc w naszym przypadku wagami azymutów węzłowych będą wartości odwrotnie proporcjonalne do liczby n kątów w ciągu:

,
,
.

gdzie
- liczba kątów w ciągu I, itd.

Uzasadnienie podanego wzoru na wagi jest następujące, Przyjmijmy, że błąd średni każdego pojedynczego kąta w ciągu wynosi m (tzn. zakładamy, że wszystkie kąty w ciągu mierzono z jednakową dokładnością). Azymut węzłowy jest obliczany za pomocą pewnych operacji sumowania, dokonywanych na pomierzonych kątach (por. wzór Az). Zatem jego błąd średni, jest błędem średnim sumy

.

Ponieważ waga spostrzeżenia jest, jak wiemy, odwrotnie proporcjonalna do kwadratu błędu średniego tego spostrzeżenia, czyli

Wszystkie występujące w rachunku wagi możemy pomnożyć przez dowolny stały współczynnik. Jeśli dla wygody rachunku, za taki współczynnik obierzemy
wówczas

.

Mając wyrównaną wartość azymutu węzłowego można przystąpić do wyrównywania kątów sieci poligonowej, a następnie do obliczenia współrzędnych punktu węzłowego
.

Wychodząc z punktu G można wyznaczyć (analogicznie jak w przypadku azymutu) trzema drogami współrzędne punktu węzłowego A_W z zależności:

gdzie
oraz
, są to sumy przyrostów współrzędnych pierwszego itd. ciągu. Dla rozpatrywanej sieci otrzymamy trzy bliskie siebie wartości współrzędnych punktu węzłowego. Za najprawdopodobniejsze, wyrównane wartości przyjmiemy uogólnione średnie arytmetyczne:

,
.

Wagi współrzędnych będą w tym przypadku odwrotnie proporcjonalne do długości ciągów L:

,
,
.

Co można uzasadnić następująco:

Ponieważ kąty sieci wyrównano już w pewien prosty sposób to można założyć (z pewnym przybliżeniem), że na błędy współrzędnych przeważający wpływ mają błędy niewyrównanych jeszcze wielkości liniowych sieci tj. błędy pomiaru boków poligonowych. Wobec tego, wagi współrzędnych przyjmiemy jako odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów średnich wielkości liniowych, czyli

,
,
.

Jeśli boki naszej sieci poligonowej były mierzone taśmą stalową ze szpilkami. to z doświadczenia wiadomo, że przy tego rodzaju pomiarach liniowych błąd średni mierzonej linii rośnie w pierwszym przybliżeniu proporcjonalnie do pierwiastka kwadratowego z długości linii

,

gdzie k - współczynnik proporcjonalności.

Po uwzględnieniu tej zależności otrzymamy

,
,
.

Mnożąc zaś, dla wygody rachunkowej, wszystkie wagi w danej sieci przez
otrzymamy

,
,
.

Opracowano na podstawie Ćwiczeń z geodezji. J. Ząbek, Z. Adamczewski, S. Kwiatkowski

1

7

9

11

7

12

Rys. p1

---