Spostrzeżenia niejednakowo dokładne. Wagi. Spostrzeżenia zrównoważone Pojęcie błędu średniego jednostkowego

Spostrzeżenia niejednakowo dokładne otrzymujemy wtedy, jeżeli pomiarom towarzyszą różne okoliczności wpływające ujemnie na ich dokładność (przyrządy, metody, warunki pomiaru). W tych przypadkach wyrównanie poprzedza się określeniem dokładności poszczególnych spostrzeżeń. Przy wyrównaniu spostrzeżeń jednakowo dokładnych postępujemy przeciwnie. A więc na przykład mając wyniki n - krotnych jednakowo dokładnych pomiarów tej samej wielkości, najpierw obliczamy średnią arytmetyczną, następnie błędy pozorne, tj. różnice między średnią a spostrzeżeniami, a dopiero z tych błędów pozornych obliczamy wielkość błędu średniego, charakteryzującego dokładność wszystkich wykonanych spostrzeżeń. Przy wyrównaniu spostrzeżeń niejednakowo dokładnych najpierw ustalamy dokładność wyników poszczególnych pomiarów i dopiero potem uzgadniamy je ze sobą. Oczywiście te „z góry" ustalone dokładności spostrzeżeń oparte są na licznych doświadczeniach lub na teoretycznych założeniach. Dla przykładu weźmy średnie arytmetyczne obliczone z niejednakowo licznych spostrzeżeń. Załóżmy, że pewną wielkość zmierzono 12 razy; wtedy wartość średnią (wyrównaną) obliczamy za pomocą wzoru

.

Wydawałoby się, że jeśli dysponujemy wiedzą o następujących średnich:

,
,
,
,

to średnią
można wyznaczyć stosując zależność

. (I)

Jest to jednak wynik nieprawdziwy. Natomiast poprawnym jest

. (II)

Ćwiczenia. Wybrać kilkanaście liczb
. Wyznaczyć średnie stosując wzory I i II.

W powyższym przykładzie liczby 3, 2, 4 i 3 charakteryzują dokładność częściowych średnich
,
,
i
.Wzór (II) można zapisać następująco:

. (III)

Liczby charakteryzujące dokładność spostrzeżeń, oznaczane przez p, nazywamy wagami. Oznaczenie p pochodzi od słowa łacińskiego pondus - waga.

Waga jest aprioryczną miarą dokładności, przyjmowaną przed obliczeniami.

Wagi są związane z innymi miarami dokładności, a szczególnie prostym wzorem z błędami średnimi:

(IV)

gdzie: p - waga i-tego spostrzeżenia,
- błąd średni i-tego spostrzeżenia.

Równanie (IV) definiuje pojęcie wagi. Mówi ono, że: wagi są liczbami odwrotnie proporcjonalnymi do kwadratów błędów średnich.

Z równania (IV) wynika, że mnożenie lub dzielenie wag przez te samą liczbę nie narusz wzajemnego stosunku, tym samym te operacje nie mają wpływ na wyniki wyrównania.

Dla uzyskania porównawczej miary dokładności wyobrażamy sobie pewne spostrzeżenie należące do szeregu spostrzeżeń, o błędzie średnim
i wadze równej jedności tj.

Błąd średni
spostrzeżenia o wadze p = 1 nazywamy jednostkowym błędem średnim.

Z proporcji (IV) wynika, że

(V)

(VI)

Na podstawie wzoru (V) można obliczyć wagę spostrzeżenia jako stosunek kwadratu błędu średniego jednostkowego do kwadratu błędu średniego tego spostrzeżenia. Wzór ten ma pierwszorzędne znaczenie dla przyjmowania wag spostrzeżeń a priori (z góry). Wzór (VI) daje możliwość obliczenia błędu średniego i-tego spostrzeżenia na podstawie błędu średniego jednostkowego i wagi tego spostrzeżenia.

Spostrzeżenia zrównoważone. Wzór na błąd średni jednostkowy

Niech
będą spostrzeżeniami niejednakowo dokładnymi o wagach:
i błędach średnich:
. W toku wyrównania spostrzeżenia te otrzymują poprawki:
.

Jeżeli wartość dowolnego spostrzeżenia pomnożymy przez liczbę stałą a, to z prawa przenoszenia się błędów wynika, że błąd średni tego spostrzeżenia zostanie także pomnożony przez a, co jest równoznaczne z podzieleniem jego wagi przez
. Spostrzeżenie
o wadze
pomnożone przez
, zostaje wobec tego zamienione na spostrzeżenie
o wadze
. Spostrzeżenia:
o wagach
pomnożone przez
zostają zamienione na ich wielokrotności:
o wagach równych jedności, których wspólną miarą dokładności będzie błąd średni jednostkowy
.

Wielokrotności spostrzeżeń
nazywamy spostrzeżeniami zrównoważonymi.

Błędy pozorne spostrzeżeń zrównoważonych mają następujące wartości

.

(poprawki dzielimy przez błędy średnie spostrzeżeń
)

Na tej podstawie można obliczyć wartości błędu średniego jednostkowego

,

gdzie
to ilość spostrzeżeń nadliczbowych.

W szczególnym przypadku n spostrzeżeń niejednakowo dokładnych, dotyczących jednej wielkości X wzór ten ma następującą postać

;

tj.
.

Prawo przenoszenia się wag spostrzeżeń niezależnych od siebie

Rozważamy funkcję spostrzeżeń niezależnych od siebie, obarczonych tylko błędami przypadkowymi

Wagi tych spostrzeżeń są równe
.

Na podstawie prawa przenoszenia się błędów

. (VII)

i otrzymanych powyżej (V, VI) zależności

Można zapisać (VII) w postaci:

.

Oznaczając
, gdzie
nazywamy wagą funkcji mamy

. (VIII)

{Z prawa przenoszenia się błędów:

,

wynika, że współczynniki
są kwadratami pochodnych cząstkowych funkcji f względem zmiennych (pomiarów)
, stąd wzór VIII można zapisać w postaci:

.} (IX)

Przykład. Znaleźć wagę

1. wielokrotności
   spostrzeżenia L o wadze
   ,

2. sumy n spostrzeżeń:
   , o wagach
   

3. iloczynu n spostrzeżeń:
   , o wagach
   .

Korzystając z zależności VIII lub IX otrzymujemy

dla
,
, więc
, to
;

dla
,
, więc

;

dla
,
, więc

.

Przykład. Wyznaczyć wagę iloczynu wyniku pomiaru przez pierwiastek z jego wagi

Ponieważ
, gdzie
, to

Dlatego mnożenie wyników pomiarów przez pierwiastki z wagi nazywamy równoważeniem.

Materiały dodatkowe

Pojęcie wagi, średnia ważona (ogólna). Spostrzeżenia o różnej dokładności

Wyznaczenie najbardziej prawdopodobnej wartości L mierzonej wielkości w przypadku, gdy posiadamy zbiór jej obserwacji
o różnych dokładnościach tj. różnych błędach średnich
można oprzeć na pojęciu średniej arytmetycznej określonej na podstawie pewnej liczby spostrzeżeń o równej dokładności
.

Założymy, że wartość każdej obserwacji
jest średnią arytmetyczną

pomiarów
o jednakowym błędzie średnim
.

Wobec tego dokładności
obserwacji
można wyznaczyć z zależności

, (
).

Liczby

odpowiadają wówczas ilościom pomiarów potrzebnych do zapewnienia każdej obserwacji
dokładności
. Liczby te wyznaczają również sumę obserwacji jednakowo dokładnych
. Z powyższego określenia wartości średniej dla
wynika, że

.

Stosunek kwadratu średniego błędu spostrzeżenia
do kwadratu średniego błędu spostrzeżenia
nazywamy wagą danego spostrzeżenia. Waga spostrzeżenia o błędzie średnim m odniesiona do spostrzeżenia o błędzie średnim
wyraża, więc ilość spostrzeżeń o błędzie średnim
, które należałoby wykonać, aby otrzymać średnią arytmetyczną o błędzie średnim
. Wagi spostrzeżeń oznaczamy literą p. Wagą p spostrzeżenia o średnim błędzie
odniesionej do spostrzeżenia o średnim błędzie
będzie, więc wyrażenie

nazywany jest „błędem spostrzeżenia o jednostkowej wadze" tj.
, ponieważ dla
otrzymujemy

.

Powróćmy do zagadnienia wyznaczenia wartości najbardziej prawdopodobnej L z szeregu obserwacji
o błędach średnich
lub o wagach
. Wagi te mogą być ilościami rzeczywiście wykonanych niejednakowo dokładnych obserwacji, z których wyznaczano średnie
jak i fikcyjnymi ilościami obserwacji ustalonymi z wzoru
. Zamiast szeregu n obserwacji o różnej dokładności możemy, dzięki pojęciu wagi, rozpatrywać teraz szereg
obserwacji o równej dokładności, scharakteryzowanej błędem średnim
.

Wiemy, że suma pierwszych
obserwacji wyniesie
, suma obserwacji
wyniesie
, wreszcie suma ostatnich
obserwacji wyniesie
. Obliczając teraz wartość najbardziej prawdopodobną L jako zwykłą średnią z
obserwacji otrzymamy

Wartością najbardziej prawdopodobną z szeregu n obserwacji o różnych dokładnościach jest tzw. „średnia ważona" lub ogólnej średnia arytmetyczna. W wypadku równych wag otrzymamy

,
.

Rozważając poniższe zależności widzimy też, że pomnożenie wszystkich wag przez dowolną różną od zera liczbę nie zmieni wyniku (L).

Taka czynność jest równoważna zmianie wartości błędu spostrzeżenia o jednostkowej wadze
na błąd
. Stąd widać, ze wartość
może być wybrana dowolnie.

Łatwo stwierdzić, że suma iloczynów poprawek obserwacji przez przyporządkowane tym obserwacjom wagi równa się zeru.

Dowód:

Mnożąc poprawki v („błędy pozorne") obserwacji

przez wagi

po zsumowaniu:

i uwzględnieniu związku

otrzymamy

.

Zależność ta służy jako kontrola poprawnego obliczenia ogólnej średniej arytmetycznej.

Przykład

Wyznaczyć wagi spostrzeżeń o błędach średnich ±2 oraz ±3 odnosząc je do spostrzeżenia o błędzie

średnim ±6. Otrzymamy
, oraz
. Wynika stąd, że pierwsze spostrzeżenie możemy uważać za średnią z dziewięciu, zaś drugie spostrzeżenie za średnią z czterech jednakowo dokładnych obserwacji o błędzie średnim pojedynczego spostrzeżenia
.

Przykład

Dane są cztery wyniki wielokrotnych obserwacji, przy czym wiadomo jest, że pierwszy z wyników powstał jako średnia arytmetyczna z 4, drugi z 6, trzeci z 8, zaś czwarty z 2 jednakowo dokładnych obserwacji tej samej wielkości. Wyznaczyć wartość najbardziej prawdopodobną.

l	p	pl	v	pv	pvv
1237,64	4	2,56	-0,043	-0,172	0,007396
,58	6	3,48	0,017	0,102	1734
,60	8	4,80	-0,003	-0,024	72
,55	2	1,10	0,047	0,094	4418
	20	11,94		[pv] = 0.000 = 0.00(1	0,013620

,
,
.

Gdybyśmy przyjęli za wagi nie ilości dokonanych obserwacji: 4, 6, 8, 2, ale proporcjonalne do nich liczby 2, 3, 4, l, otrzymalibyśmy:

l	p	pl	v	pv	pvv
1237,64	2	1,28	-0,043	-0,086	0,003698
,58	3	1,74	0,017	0,051	867
,60	4	2,40	-0,003	-0,012	36
,55	1	0,55	0,047	0,047	2209
	20	5,97		[pv] = 0.000 = 0.00(1	0,006810

,
,
.

W obu przykładach po obliczeniu ogólnej średniej i skontrolowaniu rachunku obliczono też błędy średnie: błąd średni pojedynczego spostrzeżenia o wadze jedności

oraz błąd średni wartości wyrównanej

.

Pierwszy z tych błędów jest zależny od obrania takiej czy innej jednostki wagi, drugi oczywiście nie.

Przykład

Dane są trzy wartości pewnego kąta, przy czym dokładności ich charakteryzują błędy średnie: ±5^cc, ±7^cc i ±8^cc. Obliczyć najbardziej prawdopodobną wartość tego kąta, przyjmując spostrzeżenie o średnim błędzie ±10^cc za spostrzeżenie o wadze jedność.

l	m		pl	v^cc	pv	pvv
67^g,2412	5^cc	4,00	0,96480	-1	-4,0	4
,2416	7^cc	2,04	0,49286	-5	-10,2	51
,2402	8^cc	1,56	0,37471	9	14,0	36
		7,60	1,83237		[pv] = 0. = 0.00(1	181

,
,
.

Gdybyśmy przyjęli ostatnie spostrzeżenie za spostrzeżenie o jednostkowej wadze, to:

l	m		pl	v^cc	pv	pvv
67^g,2412	5^cc	2,56	0,61747	-1	-2,56	2,56
,2416	7^cc	1,31	0,31650	-5	-6,55	32,75
,2402	8^cc	1,00	0,24020	9	9,00	81,31
		4,87	1,17417		[pv] = 0. = 0.00(1	116,31

,
,
.

Dla scharakteryzowania dokładności ogólnej (ważonej) średniej arytmetycznej zamiast szeregu n spostrzeżeń o różnej dokładności
scharakteryzowanych przez błędy średnie
oraz przez błędy pozorne
, rozważamy szereg fikcyjny jednakowo dokładnych spostrzeżeń
tej wielkości również w ilości n scharakteryzowanych przez błąd średni
oraz przez nieznane błędy pozorne
. Z założenia, że
jest błędem średnim rozważanego szeregu
wynika:

.

W zależności tej poszczególne błędy pozorne
nie są i nie mogą być poznane, ponieważ istnieje nieskończenie wiele układów takich błędów. Dla porównania szeregów obserwacyjnych pozostaje założyć, że nieznane błędy pozorne
; drugiego szeregu tak się będą w przybliżeniu miały do znanych błędów pozornych pierwszego szeregu v, jak błędy średnie
pojedynczych obserwacji drugiego szeregu mają się do błędów średnich
, poszczególnych obserwacji pierwszego szeregu. Z tego założenia

czyli
,

wynika, że chcąc zamienić pewien szereg błędów stanowiących rezultat niejednakowo dokładnych obserwacji na fikcyjny szereg błędów jednakowo dokładnych obserwacji, należy pomnożyć każdy błąd rzeczywistej obserwacji przez pierwiastek z wagi tej obserwacji. Stosunek
jest, bowiem z uwagi na określenie wagi
pierwiastkiem z wagi i tej obserwacji.

Czynność sprowadzenia układu błędów obserwacji niejednakowo dokładnych do układu błędów obserwacji równoważnych, czyli „sprowadzenia układu błędów do jednostkowej wagi" w oparciu o związek:
jest jedną z podstawowych czynności w rachunku wyrównawczym. Stosując tę czynność do naszego szeregu błędów znajdziemy

Wynika stąd, że

co pozwala wyrazić średni błąd spostrzeżenia o wadze jedność przez błędy pozorne obserwacji o różnej dokładności v i ich wagi p tj.

.

Widać, że błąd średni spostrzeżenia o wadze jedność równy jest pierwiastkowi z sumy kwadratów błędów pozornych mnożonych przez odpowiadające im wagi, podzielonej przez ilość spostrzeżeń nadliczbowych. Nazwaliśmy tu różnicę
ilością spostrzeżeń nadliczbowych, ponieważ do jednoznacznego określenia pojedynczej wielkości niezbędne jest tylko jedno spostrzeżenie. Przy oznaczeniu
ilości spostrzeżeń nadliczbowych otrzymane równanie ma postać:

,

która, określa sposób obliczenia błędu średniego o jednostkowej wadze w każdym przypadku wyrównania. Znając błąd średni spostrzeżenia o wadze jedność obliczyć możemy błąd średni każdego z dokonanych spostrzeżeń. Niech np. m będzie błędem i - tego spostrzeżenia. Z uwagi na związek:

(
)

tak obliczony „błąd spostrzeżenia po wyrównaniu" różnić się będzie nieco od błędu przed wyrównaniem
zarówno jak i „błąd pojedynczego spostrzeżenia po wyrównaniu" obliczony z wzoru

nie będzie ściśle zgodny z założonym a priori błędem jednostkowym. Błędy przed wyrównaniem są, bowiem niezależne od tego, jak ułożą się w danym szeregu obserwacyjnym błędy przypadkowe. Jeżeli pomimo dużej ilości obserwacji rozbieżności w błędach przed i po wyrównaniu są znaczne, możemy podejrzewać, że w danym układzie obserwacyjnym rozkład błędów jest niezgodny z prawem Gaussa. Może wówczas podejrzewać, że błędy nieprzypadkowe nie zostały wyeliminowane. Przy małej ilości spostrzeżeń trudno oczywiście wymagać daleko posuniętej zgodności. W przykładzie liczbowym podanym powyżej rozbieżności w błędzie
przed i po wyrównaniu są znikome (10" i
). Błędy średnie poszczególnych obserwacji wyniosły: przed wyrównaniem 5^cc, 7 ^cc, 8 ^cc, po wyrównaniu:
,
,
.

Błąd średni wartości wyrównanej, czyli błąd średniej z wag, obliczyć możemy wyrażając wartość wyrównaną w funkcji liniowej spostrzeżeń:

Różniczkując
uwzględniając
i stosując wzór na błąd średni funkcji liniowej otrzymamy

czyli: błąd Średni wartości wyrównanej równa się błędowi pojedynczego spostrzeżenia o jednostkowej wadze podzielonemu przez pierwiastek z sumy wag.

Średnia z wag jest, więc równoważna zwykłej średniej arytmetycznej z zastępczego szeregu obserwacyjnego o błędzie średnim pojedynczego spostrzeżenia równym błędowi spostrzeżenia o wadze równej jedności i o ilości spostrzeżeń równej sumie wag. Formułuje się to niekiedy mówiąc, że waga średniej arytmetycznej uogólnionej równa jest sumie wag poszczególnych spostrzeżeń.

Uwagi, dotyczące obierania wag

Nadawanie obserwacjom takich czy innych wag nie zawsze oparte jest na bogatym materiale obserwacyjnym pozwalającym twierdzić z całą pewnością, że obserwacjom danego typu odpowiadają właśnie takie, a nie inne błędy średnie. Częstokroć przyporządkowanie obserwacjom wag jest raczej arytmetycznym wyrazem zaufania obserwatora do obserwacji.

Zbadajmy, jak wpłynie na wynik nadanie wagom:
przyrostów
. Ponieważ:

to traktując przyrost
, jakiego dozna wartość wyrównana L na skutek zmian wag, jako różniczkę zupełną otrzymamy:

.

Ze względu na
otrzymamy, więc:

Z wzoru tego widać, że im dokładniej wykonano obserwacje, tzn. im mniejsze są błędy pozorne, tym mniejszy będzie wpływ zmiany w wielkościach wag. Gdy przyrosty wag będą proporcjonalne do wag nie otrzymamy oczywiście żadnej zmiany w wyniku. Z uwagi na przyjmowanie przez błędy pozorne różnych znaków wpływ zmiany w wielkościach wag nie jest zresztą znaczny. Ilustrując to na ostatnim przykładzie zmień­my wagi: 4, 2,04, 1,56 pozostawiając pierwszą bez zmiany, zwiększając drugą dwukrotnie, zaś zmniejsza­jąc trzecią również dwukrotnie. Będzie to, więc zmiana bardzo istotna. Mamy tedy:
,
,
przy błędach pozornych -l, -5, +9 oraz sumie wag 7,60. Zmiana wyniesie:

.

Przy błędzie średnim wartości wyrównanej
trudno uważać zmianę
za istotną.

Wnioski z prawa Gaussa, dotyczące układów spostrzeżeń o różnej dokładności

Z prawa błędów wynika bezpośrednio, że wystąpienie pewnego układu błędów przy obserwowaniu z różną dokładnością jednej, czy też szeregu różnych wielkości, będzie tym bardziej prawdopodobne im mniejsza będzie suma iloczynów kwadratów tych błędów dzielonych przez kwadraty odpowiadających im miar dokładności.

1

12

---