Rys.4.36b

…………………………………………………………………………………………………..

Rys.4.55

………………………………………………………………………………………………….

Od współczynnika mocy zależy również przebieg zmienności chwilowej wartości mocy czynnej
. Niżej zostaną rozpatrzone cztery przypadki obwodów:

- obwody zawierające tylko rezystancję,

- obwody zawierające tylko indukcyjność,

- obwody zawierające tylko pojemność,

- obwody zawierające rezystancję i indukcyjność.

Obwody z innymi kombinacjami elementów można rozpatrywać analogicznie.

Przypadek I

Obwód zawiera tylko rezystancję, czyli prąd jest w fazie z napięciem (
). Przebiegi czasowe napięcia, prądu i mocy czynnej przedstawiono na rys.4.41.

Uwaga: Tekst pisany czerwoną czcionką służy tylko do umiejscowienia tekstu do podmiany (czarna czcionka).

.....................................................................................................................................................................................

Po scałkowaniu otrzymuje się - w wzorze powyżej brakuje „dt”

(4.128)

……………………………………………………………………………………………..........

(4.143)

W wzorze powyżej jest mała litera „i”.

…………………………………………………………………………………………………..

Dodać rozdział

4.12. Liczby zespolone i ich zastosowanie w elektrotechnice

4.12.1. Liczby zespolone

Liczbą zespoloną z nazywa się w matematyce parę uporządkowanych liczb (a,b), zapisywaną jako

(4.213)

przy czym a jest częścią rzeczywistą tej liczby
, a b częścią urojoną
. Symbol
nazywa się jednostką urojoną (

,
).

W elektrotechnice jednostkę urojoną oznacza się symbolem j, bowiem symbolem i przyjęto oznaczać wartości chwilowe prądu zmiennego.

Wyrażenie (4.213) nazywa się postacią algebraiczną liczby zespolonej. Oprócz takiej postaci istnieją również inne, a mianowicie wykładnicza

(4.214)

i trygonometryczna

) (4.215)

przy czym

(2.216)

nazywa się modułem liczby zespolonej, a

(4.217)

argumentem liczby zespolonej.

Przejście od postaci wykładniczej do postaci trygonometrycznej lub odwrotnie umożliwia wzór E u l e r a

(4.218)

Liczbą
, sprzężoną z liczbą zespoloną
, nazywa się się liczbę zespoloną

(4.219)

Ponieważ argumenty liczb zespolonych nie są jednoznacznie określone (mogą się różnić się o dowolną krotność
), to w elektrotechnice rozpatruje się tylko wartości argumentów z przedziału (
).

Podstawowe działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej:

• dodawanie

• odejmowanie

• mnożenie

• dzielenie

• podnoszenie do potęgi

• porównywanie dwóch liczb zespolonych

4.12.2. Przedstawianie wielkości sinusoidalnie zmiennych za pomocą liczb zespolonych

W elektrotechnice wielkości zespolone oznacza się przez podkreślenie dużej litery, oznaczającej daną wielkość, np.
,
,
itp.

Rozpatrzmy dowolną liczbę zespoloną

(4.220)

w której
jest modułem liczby
, a dolny indeks t oznacza, że wielkość oznaczona tym symbolem jest funkcją czasu.

Jeżeli zapisać tę liczbę w postaci trygonometrycznej, tj.

(4.221)

to z takiego zapisu wynika, że zarówno część rzeczywista, jak i urojona, zmieniają się w czasie w sposób sinusoidalny, przy czym
można traktować jako amplitudę oznaczonej tym symbolem wielkości, a
jako jej fazę. Dalsze rozważania zostaną przedstawione na przykładzie napięcia i prądu, ale będą dotyczyły wszystkich wielkości sinusoidalnie zmiennych, stosowanych w elektrotechnice.

Wartości chwilowe napięcia i prądu są opisane poznanymi już wcześniej zależnościami, a mianowicie

W postaci zespolonej można je przedstawić w sposób następujący:

(4.222a)

(4.222b)

Wartości chwilowe u napięcia i prądu i można otrzymać z wyrażeń (4.222a,b) poprzez wyodrębnienie z nich części urojonej, czyli

(4.223a)

(4.223b)

Na podstawie powyższych rozważań można zdefiniować wartości zespolone napięcia i prądu jako:

	(4.224a)
		(4.224a)

przy czym m o d u ł y wartości zespolonych równają się w a r t o ś c i o m s k u t e c z n y m wielkości sinusoidalnych, a a r g u m e n t y - f a z o m tych wielkości.

Związki między wartościami zespolonymi i wielkościami
i
określają zależności

	(4.225a)
		(4.225b)

Wyznaczanie wartości chwilowych napięcia u oraz prądu i na podstawie znajomości ich wartości zespolonych
oraz
polega na wyodrębnieniu części urojonych wyrażeń

oraz
, czyli

	(4.226a)
		(4.226b)

Metoda obliczania obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego, sprowadzająca się do działań na liczbach zespolonych, nazywa się metodą liczb zespolonych lub metodą symboliczną.

Przykład 4.25

Wyznaczyć wartości zespolone prądu
oraz napięcia
.

Rozwiązanie

Z (4.226) wynika, że wartość zespolona prądu wyniesie

a wartość zespolona napięcia

Przykład 4.26

Obliczyć wartości chwilowe napięcia i prądu danych w postaci zespolonej

Rozwiązanie

W tym celu należy przedstawić dane wielkości zespolone w postaci wykładniczej i wyodrębnić z otrzymanych wyrażeń części urojone.

Moduły napięcia i prądu są równe

a ich kąty fazowe

Postać wykładniczą wartości zespolonych napięcia i prądu można zapisać jako

a ich wartości chwilowe, zgodnie z (4.226), w postaci wyrażeń

V

A

4.12.3. Związek liczb zespolonych z wskazami (wektorami) wirującymi

Niech będzie dana liczba zespolona
. Obrazem geometrycznym tej liczby na płaszczyźnie zmiennej zespolonej jest wektor
, łączący początek układu współrzędnych z punktem A, o współrzędnych (a, b), przy czym odcięta a jest równa składowej rzeczywistej liczby zespolonej
, a rzędna składowej urojonej b tej liczby (patrz rys.4.66). Długość wektora
jest równa modułowi liczby
, a kąt, jaki tworzy ten wektor z dodatnią półosią liczb rzeczywistych, jest równy jej argumentowi
Moduł liczby

(4.227)

jest równy
, a argument
, czyli jest liniową funkcją czasu.

Rys.4.66. Odwzorowanie geometryczne liczby zespolonej

Obrazem geometycznym rozpatrywanej liczby
(4.227) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej jest więc wektor
, wirujący ze stałą prędkością kątową
w kierunku dodatnich kątów. Początek tego wektora jest nieruchomy i znajduje się w początku układu współrzędnych O. Jak wiadomo z wcześniejszych rozważań, takie wektory nazywają się wektorami lub wskazami wirującymi. W elektrotechnice wielkości zespolone typu
będą najczęściej nazywane wskazami wirującymi.

Rzut wskazu wirującego
na oś urojoną jest równy części urojonej wyrażenia (4.227), czyli
.

Oś, na którą rzutuje się wskaz, nazywa się osią czasu. W tym przypadku jest nią nieruchoma oś urojona „Im” układu współrzędnych. Ponieważ rzut wskazu
zmienia się sinusoidalnie w czasie, więc wskaz wirujący
wraz z nieruchomą osią czasu odwzorowuje wielkość sinusoidalną.

4.12.4. Zastosowanie liczb zespolonych do obliczania obwodów elektrycznych prądu sinusoidalnego

Można wykazać, że poznane dotyczczas prawa, dotyczące obwodów elektrycznych prądu sinusoidalnego (prawo Ohma i prawa Kirchhoffa), obowiązują również dla obwodów opisanych za pomocą liczb zespolonych. Równania, opisujące obwody elektryczne prądu sinusoidalnego w formie zespolonej, można otrzymać bezpośrednio z równań zapisanych dla wartości chwilowych. W tym celu należy:

• wartości chwilowe napięć, prądów i sił elektromotorycznych zastąpić ich wartościami zespolonymi, np.
  ,
  ,
  itp.,

• operator różniczkowania
  zastąpić przez
  , tj.
  ,

• operator całkowania
  zastąpić przez
  , tj.
  .

Jeżeli, na przykład, obwód złożony z szeregowo połączonych elementów R i L zasilany ze źródła sinusoidalnej siły elektromotorycznej e, jest opisany równaniem dla wartości chwilowych w postaci

(4.228)

to odpowiadające temu obwodowi równanie, zapisane za pomocą liczb zespolonych, ma postać

(4.229)

Analogicznie, dla obwodu złożonego z szeregowo połączonych elementów R i C, zasilanego ze źródła sinusoidalnej siły elektromotorycznej e, równaniu dla wartości chwilowych

(4.230)

będzie odpowiadało równanie w postaci zespolonej

(4.231)

Do obliczania obwodów elektrycznych prądu sinusoidalnego z wykorzystaniem liczb zespolonych, konieczne jest jeszcze wprowadzenie pojęcia impedancji zespolonej
. Otóż impedancją zespoloną (opornością zespoloną lub opornością symboliczną) dwójnika, nazywa się iloraz wartości zespolonych napięcia i prądu, tj.

(4.232)

Jeżeli napięcie
, a prąd
to

(4.233)

czyli iloraz wartości skutecznych napięcia i prądu

(4.234)

jest modułem
impedancji
, a jej argumentem jest kąt przesunięcia fazowego
(arg
).

Impedancję zespoloną można przedstawić w postaci wykładniczej

(4.235)

lub algebraicznej

(4,236)

przy czym rezystancja jest częścią rzeczywistą impedancji zespolonej, a reaktancja częścią urojoną. Moduł impedancji wyraża się więc zależnością

(4.237)

a argument zależnością

(4.238)

Korzystając z wzoru Eulera

otrzymuje się jeszcze inne związki między częściami składowymi impedancji, a mianowicie

oraz
(4.239)

Przykład 4.27

Dwójnik, zawierający szeregowo połączone elementy R i L, jest zasilany napięciem sinusoidalnym o wartości
V i częstotliwości
. Prąd płynący przez dwójnik wynosi
. Obliczyć rezystancję R, reaktancję indukcyjną
oraz indukcyjność L.

Rozwiązanie

Aby obliczyć rezystancję i reaktancję trzeba najpierw obliczyć z definicji impedancję zespoloną dwójnika

Ponieważ dwie liczby zespolone są równe wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są odpowiednio sobie równe, to rezystancja
, a reaktancja indukcyjna
. Uwzględniając, że
otrzymuje się, że

Przykład 4.28

W obwodzie jak na rys.4.67 napięcie
, rezystancja
, reaktancja indukcyjna
a reaktancja pojemnościowa
. Obliczyć wartość skuteczną prądu pobieranego ze źródła.

Rys.4.67. Schemat obwodu do przykładu 4.28

Rozwiązanie

Aby obliczyć wartość skuteczną prądu pobieranego ze źródła, trzeba najpierw obliczyć jego wartość zespoloną. W tym celu należy obliczyć impedancję zespoloną całego obwodu. Impedancja ta składa się z rezystancji R i reaktancji pojemnościowej
połączonych równolegle, oraz szeregowo do nich dołączonej reaktancji indukcyjnej
.

Impedancja zespolona całego obwodu wyniesie, więc

prąd pobierany ze źródła w postaci zespolonej

a jego wartość skuteczna
.

---