Zadanie:

Kamil i Daniel grają w grę planszową „Generał”, w której, za wykonane zadania otrzymuje się odznaki. Obaj gracze stosują trzy rodzaje strategii:

A1-wysyłają wszystkie jednostki do najłatwiejszych zadań

A2- wysyłają najsilniejsze jednostki do najtrudniejszych zadań

A3- dzielą swoje oddziały na dwie części:

- jedną wysyłają do realizacji zadań najłatwiejszych

-drugą wysyłają do realizacji zadań najtrudniejszych

Macierz wypłat zawiera zysk odznak w szt.Kamila (straty odznak Daniela w szt.). Wyznacz optymalne strategie dla obu graczy.

Cześć I macierz wypłat z punktem siodłowym

K ^D				min
	40	60	50	40
	20	-30	70	-30
	-10	80	25	-10
max	40	80	70

zadanie ( gra posiada rozwiązanie w zbiorze strategii czystych)

jest to punkt siodłowy gry

Odpowiedź:

a)Gracz Kamil powinien stosować strategie
czyli wysyłać wszystkie jednostki do najłatwiejszych zadań wtedy bez względu na decyzje gracza Daniela zyska najwięcej odznak co najmniej 40 sztuk

b) gracz Daniel powinien stosować strategie
również wysyłać wszystkie jednostki do najłatwiejszych zadań i wtedy bez względu na decyzje gracza Kamila poniesie najmniejsza stratę niewiększą niż 40 odznak.

Część II macierz wypłat z strategiami zdominowanymi

W miarę wzrostu popularności gry jej twórcy stworzyli jej druga część: Generał II. Nasi bohaterowie zastosowali przy starych strategiach, ale uzyskali inne wyniki, dlatego macierz wypłat wygląda następująco:

K ^D				min
	10	20	30	10
	20	30	60	20
	40	50	25	25
max	40	50	60

strategie zdominowane

zadanie nie posiada rozwiązania w zbiorze strategii czystych(wykreślamy strategie zdominowane)

Dla każdego gracza należy określić strategie mieszane. Strategia mieszana jest kombinacją strategii czystych stosowanych z odpowiednimi prawdopodobieństwami.

Po wykreśleniu strategii zdominowanych macierz wygląda następująco

K ^D			min
	20	60	20
	40	25	25
max	40	60

a)
- częstość( prawdopodobieństwo) stosowania strategii

- częstość (prawdopodobieństwo) stosowania strategii

Przyrównujemy

podstawiamy za

Odpowiedź: Gracz Kamil powinien stosować strategię
z częstotliwością
i strategię
z częstotliwością
i w ogóle nie powinien stosować strategii
wtedy jego przeciętny zysk odznak wyniesie 34 sztuki.

b)

- częstotliwość (prawdopodobieństwo) stosowania strategii

- częstotliwość (prawdopodobieństwo) stosowania strategii

Porównujemy

Podstawiamy za

Odpowiedź: Gracz Daniel powinien stosować strategię
z częstotliwością
i strategię
z częstotliwością
, strategii
nie powinien stosować w ogóle, wtedy jego przeciętna strata odznak będzie najmniejsza i wyniesie 34 sztuki.

Część III

Kiedy na rynek weszła III i ostatnia część tej gry Daniel zaprzestał stosować strategie
ponieważ przynosiła ona mu największe straty.Teraz macierz wypłat ma postać

K ^D			min
	10	30	10
	20	60	20
	40	25	25
max	40	60

zadanie nie posiada rozwiązania w zbiorze strategii czystych.

Z tej macierzy nie da się wykreślić strategii zdominowanych, dlatego trzeba zbudować programy liniowe dla obu graczy.

V należy do zbioru (25,40)

Należy obliczyć osobno strategie dla gracza K jak i dla gracza D

Gracz K będzie stosował strategię A1, z częstością p₁ ,strategię A2 z częstością p₂ oraz strategie A3 z częstością p₃ ;

Gracz D będzie stosował strategię B1 z częstością q₁ oraz strategie B3 z częstością q₃ .

Przechodzimy do programu liniowego:

a)

Funkcja celu:

Obliczenia robimy w solverze i otrzymujemy wynik:

Następnie wyliczamy V

V=25 i podstawiamy do wzoru, aby obliczyć
=

Odpowiedź:

Zatem Gracz Kamil powinien stosować strategię A1 z częstością 0,5 i strategię A3 z częstością 0,5 a strategii A2 w ogóle nie stosować. Przy takim postępowaniu jego zysk wzrośnie przeciętnie o 1%.

b)

Funkcja celu:

Obliczenia robimy w solverze i otrzymujemy wynik:

Następnie wyliczamy V

V=25 i podstawiamy do wzoru, aby obliczyć q_i=

Odpowiedź:

Zatem Gracz Daniel powinien stosować strategię B1 z częstością 0,25 i strategię B3 z częstością 0,75 a strategię B2 w ogóle nie stosuje. Przy takim postępowaniu jego zysk wzrośnie przeciętnie o 1%.

: V

:V