Dziś kontynuować będziemy temat ekstremów warunkowych. Mamy daną funkcję
z poprzednich ćwiczeń, oraz warunek dany wzorem
. Należy znaleźć ekstremum warunkowe. Najpierw rysunek tej sytuacji:

I teraz nieco przypomnienia. Naszym zadaniem będzie znalezienie ekstremum warunkowego w
pod warunkiem
. Zawsze na początek buduje się funkcję Lagreange'a:

Następnie szukamy jej punktów stacjonarnych
dla
rozwiązując następujący układ równań:

Na koniec sprawdzamy warunek dostateczny. Warunkiem dostatecznym jest, by w punkcie
było minimum (maksimum) warunkowe funkcji gdy wszystkie wyznaczniki główne
, czyli hesjanu obrzeżonego równego:

Spełniały warunki:
. No i na podstawie tych definicji rozwiążmy nasz przykład zaczynając od funkcji Lagrange'a. W naszym przypadku będzie to
. A zatem:
. I teraz budujemy dla tej funkcji układ stacjonarny:

Z tego dla
mamy
. I stąd właśnie wynika pierwszy punkt stacjonarny
. Z kolei dla
mamy drugi punkt stacjonarny
. Stąd dalej budujemy hesjan obrzeżony:

.

I teraz liczę dla pierwszego z puktów stacjonarnych wyznacznik 2x2 i 3x3 podstawiając współrzędne punktu do hesjanu:

Obydwa eyznaczniki jak widać sa ujemne. St ąd zniosek, że funkcja w punkcie
ma minimum lokalne przy warunku
. Dla drugiego punktu sprawdzamy identycznie.

Teraz przejdźmy do zadania kolejnego. Należy obliczyc ekstremum warunkowe funkcji
przy warunku
. Oto rysunek całej sytuacji, który wygląda mniej więcej tak:

No i wyznaczamy funkcję Lagrange'a:
. Nastepnie buduje układ stacjonarny:

Z pierwszej części układu wynika, że
. I teraz to, co otrzymałem podstawiam za x do drugiej części układu. I mam:

Dla
ten układ ma się tak:

. Z podstawienia mamy, że
. Stąd wychodza nam dwa punkty stacjonarne (minimum sprawdzimy dla pierwszego):
. I tak mamy hesjan:

No i liczymy wyznacznik hesjana 2x2 i 3x3:

Stąd wnioskujemy, że w punkcie P jeden funkcja ma minimum przy zadanym warunku. No i na koniec to samo zadanie z przykładami do obliczenia w domu. Należy wyznaczyć ekstremum warunkowe dla: