Dzisiejsze ćwiczenia poswięcone będą całkom oznaczonym. I zacznijmy od kilku przykładów. Posłużymy się w niektórych metoda całkowania przez części, a w niektórych - całkowania przez podstawienie. Aby zrozumieć całkowanie wystarczy się przyjrzeń metodzie rozwiązania poniższych przykładów:

1.
2.

Dalej będzie już bardzo łatwo liczyć, dlatego nie liczymy dalej. Kolejny przykład. Mamy daną nieokreśloną figurę w układzie współrzędnych. Należy podać wzór na jej pole. A więc:

Pole tej figury będzie wyrażone wzorem:
.

A teraz przejdźmy do takiego zadania. Należy obliczyć pole figury zawartej między nastepującymi liniami: y = x, y = 2 x, x = 2. Ilustracja będize wyglądała tak:

Można to obliczyć prosto z równania na pole trójkąta, że ½ * 2 * 2 = 2, ale my mamy to zrobić całkowo. Jak tego dokonać. Otóż:

Teraz koeljny przykład. Należy obliczyć pole figury zadanej pomiędzy wykresami funkcji: y = sinx i y = cos x. Oto postać graficzna:

No i teraz wykonajmy stosowne obliczenia:

I następne zadanie w tym stylu. Należy obliczyć pole figury zadanej pomiędzy wykresami funkcji:
i
. Oto postać graficzna:

Mamy tutaj do czynienia z funkcją kwadratową, a zatem najpierw wyliczamy miejsca zerowe pierwszej i drugiej paraboli:

Kolejną rzecza będzie zliczenie miejsca drugiego przecięcia się paraboli, bo pierwsze znamy.

A zatem przyrównujemy do siebie obydwa równania i z tego, co powstanie obliczamy delte i miejsca zerowe:

I mamy wzór:

No i dalej to już wiadomo. Pracą domową z tej części będą zadania z książki Krysicki, Włodarski. Będą to zadania z tego działu: 19, 12, 14, 22, 27, 30, 37, 39, 45, 46.

Kolejny temat z jakim będziemy mieli do czynienia to całka niewłaściwa pierwszego i drugiego stopnia. I takie zadanie. Należy obliczyć pole figury ograniczonej wykresami:

. I tak wykres będzie miał postać:

Kolejne zadanie. Należy obliczyć pole figury ograniczonej:
.

No i zilustrujmy ten przykład:

I liczymy:

No i ostatni przykład. Należy znaleźć pole figury ograniczonej wykresami:
. Narysujmy wykres ogólny:

No i liczymy:

Stąd wniosek, że calka jest rozbieżna.

Szukane pole

h (x)

g (x)

a

b

y

x

2

y = 2 x

y = x

Szukane pole

x

y

1

Pole szukanej figury bez A

A

1

1

y

x

Pole szukanej figury

y = 0

A

x

y

y = 0

1