Dzis wykonamy ćwiczenia z ekstremów funkcji wielu zmiennych. Na początek nieco teorii dla przypomnienia. Funkcja jest trzech zmiennych:
. Aby wyznaczyć ekstrema należy tu najpierw znależć punkty Pi takie, że:

Są to punkty, w których może być ekstremum, ale nie koniecznie. Aby sprawdzić, czy rzeczywiście jest w któryms z tych punktów ekstremum, należy policzyć nastepujący hesjan:

I wówczas jeśli
, to f ma w Pi minimum lokalne. Jeśli
, to f ma w Pi maksimum lokalne. Natomiast jeśli
, to wówczas f nie ma ekstremum w Pi.

No i mając przedstawioną teorię wykonajmy teraz takie zadanie. Należy wyznaczyć ekstrema nastepujących funkcji:

a)

Stąd funkcja w
ma minimum równe

b)

I dalej:

1.

2.

3.

I teraz to przyrównujemy. A więc:

I teraz liczymy, ile jest y, oraz ile jest z:

Ostatecznie:
. I teraz liczymy hesjan. To nam w zupełności wystarczy:

Jako pracę domową należy wykonać następujące przykłady analogicznie do dwóch powyższych. I tak:

c)

Stąd mamy ostatecznie układ, z którego wyliczymy szukany punkt:

Wykonajmy teraz zadanie drugie. Do rozpatrzenia jest taki przykład, z którego należy wyznaczyć ektrema:

No i tradycyjnie zaczynamy od pochodnych:

Przyrównuję obydwa wyniki by otrzymać równanie:

Jest równanie kwadratowe, które obliczam (delta i miejsca zerowe), a następnie to podstawię, otrzymam punkt P, wyliczę hesjan i sprawdzę, czy będą ekstrema. A więc:

Pierwsze miejsce zerowe odpadnie, bo jest ujemne i teraz podstawiam to do y z drugiej obliczonej pochodnej. I tak:

. Stąd mam punkt
. I hesjan:

Z hesjana:
.

Stąd wniosek, że funkcja ma w punkcie
minimum równe 2 minimalne.

I kilka przykładów do domu analogicznych z tego drugiego zadania. I tak:

Z drugiego wynika, że z =
, a z trzeciego, że z =