21. Definicja szeregu liczbowego. Zbieżność szeregów liczbowych - kryteria zbieżności.

Definicja:

Rozpatrzmy ciąg liczbowy
, który może być zbieżny lub rozbieżny. Z wyrazów tego ciągu tworzymy nowy ciąg sum częściowych o wyrazach:
. Ciąg sum częściowych nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem:

Szereg liczbowy :
nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych
jest zbieżny.

Warunek konieczny

Jeżeli szereg

Jest zbieżny, to

Przykład, że powyższy warunek nie jest warunkiem dostatecznym:

Ciąg

nie jest zbieżny, jako szereg harmoniczny rzędu 1..

Kryterium porównawcze

Jeżeli dla każdego n,
i szereg
jest zbieżny to szereg
jest zbieżny.

Kryterium Cauchy'ego

Jeżeli dla szeregu
o wyrazach nieujemnych istnieje
to

• gdy
  to szereg jest zbieżny

• gdy
  to szereg jest zbieżny

Kryterium d'Alemberta

Jeżeli dla szeregu
o wyrazach dodatnich istnieje
to

• gdy
  to szereg jest zbieżny

• gdy
  to szereg jest zbieżny

Twierdzenie o bezwzględnej zbieżności:

Szereg
nazywamy bezwzględnie zbieżnym , jeżeli szereg
jest zbieżny.

Twierdzenie o zbieżności szeregu bezwzględnie zbieżnego:

Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie to jest on zbieżny.