24. Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. -Rajch

Twierdzenie (Kryterium Weierstrassa)

Niech
będzie ciągiem funkcyjnym oraz
, spełniają oszacowanie dla każdego
:

,

gdzie
jest ciągiem liczbowym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli szereg liczbowy postaci
jest zbieżny, to szereg funkcyjny

jest jednostajnie zbieżny w A.

Przykład

Rozważmy szereg
. Zauważmy, że:
dla
Ponadto szereg
jest zbieżny, jako harmoniczny rzędu 2. Z kryterium Weierstrassa szereg
dla
jest zbieżny jednostajnie.

Przykład

Rozpatrzmy szereg
, przy pewnym c>0. Mamy
. Stąd szereg ten jest jednostajnie zbieżny w zbiorze A.