4. Wyznacznik o dwóch jednakowych wierszach (bądź kolumnach) jest równy zero.

5. Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza (bądź kolumny) można wyłączyć przed znak wyznacznika.

6. 
   Wyznacznik, którego dwa wiersze (bądź kolumny) utworzone są z elementów odpowiednio proporcjonalnych jest równy zero.

7. Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeśli do elementów jednego wiersza (bądź kolumny) dodamy odpowiednio elementy innego wiersza (bądź kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę.

8. 
   

9. Twierdzenie Cauchy'ego : Jeżeli A,B∈K_nm , to Det AB =Det A*Det B.

10. Det (tA)= tⁿ _* DetA, gdy t∈R, A∈K_nm

.

:

Przekształcenia elementarne macierzy

Definicja Niech A=[a _{i j}]_m×n

Przekształceniami elementarnymi I rodzaju, macierzy A, nazywamy następujące działania:

1. pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera;

2. zamianę miejscami (przestawienie) dwóch dowolnych wierszy macierzy

3. dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza odpowiednich elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolną liczbę różną od zera.

• Działania analogiczne do 1) -3) na kolumnach macierzy nazywamy przekształceniami elementarnymi II rodzaju.

• Korzystając z własności wyznaczników dowodzi się między innymi, że:

1. Przy wykonywaniu przekształceń elementarnych macierzy nie zmieniamy rzędu macierzy.

2. Stopień podmacierzy I_K macierzy danej w postaci kanonicznej jest równy rzędowi tej macierzy.

Definicja Każdą macierz (w szczegól. kwadratową) B utworzoną z macierzy A poprzez skreślenie w niej pewnej liczby wierszy i kolumn nazywamy podmacierzą macierzy A.

Stąd w szczególności:

1. B jest stopnia od 1 do min(n,m), gdzie A jest o wymiarach mxn;

2. B=A jest podmacierzą macierzy A

Postać kanoniczna macierzy

Definicja Każdą macierz A=[a _{i j}]_m×n można za pomocą przekształceń elementarnych I rodzaju (bądź II rodzaju) przekształcić w macierz postaci:

,która jest nazywana postacią kanoniczną (bądź bazową) danej

macierzy, przy czym I_K jest podmacierzą jednostkową stopnia K, K ≤min(n,m), jest podmacierzą zwaną macierzą resztową, zaś 0₁,0₂ - podmacierze zerowe.

Definicja Macierze otrzymane z danej macierzy w wyniku przekształceń elementarnych nazywamy macierzami równoważnymi.

Np. Wyznaczyć rząd macierzy A, gdy

E₂ R

Stąd rz(A)=rz(E₂)=2

0₁ 0₂

Ćwiczenie Sprawdź, że rz(B)=2, gdy:

III Definicja rzędu macierzy : Rzędem macierzy niezerowej A o wymiarze nxm nazywamy najwyższy stopień nieosobliwej podmacierzy B macierzy A.

Np.

Wyznaczyć rząd macierzy A za pomocą wyznaczników, gdy:

Dla wyznaczenia rzędu macierzy A należy znaleźć podmacierz B macierzy A stopnia co najwyżej 3. Stąd:

- podmacierzy stopnia 3 będzie:

- podmacierzy stopnia 2 będzie:

- podmacierzy stopnia 1 będzie:

Sprawdź, że rz(A)=2.

Definicja Macierz kwadratowa A^-1 spełniająca rowność AA^-1=A^-1A=E_n nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A stopnia n.

Twierdzenie: Jeśli macierz A stopnia n jest nieosobliwa, to istnieje do niej macierz odwrotna A^-1 , przy czym:

, gdzie A^D jest macierzą dopełnień algebraicznych

elementów macierzy A.

Przykład: Wyznaczyć macierz odwrotną (o ile istnieje) do macierzy

Plan rozwiązania.

1. Badam nie osobliwość macierzy A: DetA= -1-6= -7≠0, czyli A jest macierzą nieosobliwą.

2. 
   Wobec spełnionego założenia w/w to istnieje A^-1, przyczym:

• Wyznaczam macierz

A₁₁=(-1)¹⁺¹_*|1|=1 ; A₁₂=(-1)¹⁺²_*|3|= -3

A₁₂=(-1)²⁺¹_*|2|= -2 ; A₂₂=(-1)²⁺²_*|-1|= -1

Stąd:

• Wyznaczam A^-1

Układy równań liniowych

Rozważmy układ m równań liniowych o n niewiadomych:

(1)

---