Definicja Iloczynem macierzy A=[a _{i j}]_s×m i B =[b _{i j}]_m×n nazywamy macierz C=[c _i j]_s×n=A•B taką, że:

Uwaga! Dowolny element c _i j macierzy C=AB (iloczynu macierzy A i B) jest „iloczynem skalarnym” i-tego wiersza macierzy A oraz j-tej kolumny macierzy B.

Np.

K1

• Istnieje AB (dlaczego?)

bo

• BA także istnieje (dlaczego?) , n=2

• 
  

np.

• z powyższego wynika, że: AB≠BA.

Zad. Wyznaczyć macierz A odwzorowania T: R_m(x) R_n(x), gdzie R_K(x) jest zbiorem wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej K przy bazie 1,x,x²,...,x^K; zaś

• 
  Niech w₃(x)=α₀+α₁x+α₂x²+α₃x³

(α₀, α₁, α₂, α₃) i α₃≠0

Ale bazą przestrzeni wektorowej R₃(x) nad ciałem R są wektory: 1,x,x²,x³. Ich obrazy poprzez przekształcenie T (które jest przekształceniem liniowym (sprawdź)) są postaci:

Stąd macierz: A odwzorowania liniowego T: R₃(x) R₃(x) jest o wymiarach 4x4 i jest postaci:

Rząd macierzy

Definicja Rzędem macierzy A=[a _{i j}]_m×n nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów kolumnowych tej macierzy i oznacza się: rzA, bądź r(A).

Dowodzi się, że:

1. Maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów kolumnowych macierzy równa się maksymalnej liczbie niezależnych wektorów wierszowych tej macierzy.

2. Jeśli A=[a _{i j}]_m×n , to r(A)≤min (m,n]

3. Jeśli A jest macierzą diagonalną (przekątną) stopnia n, to r(a) jest liczbą niezerujących się elementów przekątnej tej macierzy.

Np. ( E_n - macierz jednostronna stopnia n, wówczas r(E_n)=n; bo jej kolumny tworzą bazę kanoniczną (czyli stanowią układ n wektorów liniowo niezależnych]

( Wykazać, że r(A)=2, gdy

Zauważmy, że: W₂=2W₁-W₃, czyli r(A)<3

Czyli: α₁ W₁₊ α₃W₃=0, stąd α₁=α₃=0,

zatem r(A)=2 ckd.

Pojęcie inwersji

Niech (a_n) będzie dowolnym skończonym ciągiem liczb rzeczywistych

Definicja Mówimy, że para liczb (a_j,a_k), gdzie a_j,a_k są wyrazami ciągu (a_n), a_n∈R, tworzy inwersję, o ile a_j>a_k dla j>k.

Np.

(a_n): (2,1,4,5,3)

(2,1) , (4,3) , (5,3) - inwersje w tym ciągu, ale (1,4), (4,5) - nie są inwersjami

Ćwiczenie Wyznaczyć inwersje w ciągu liczbowym (a_n): (-3,1,3,7,1,2,6)

Pojęcie wyznacznika macierzy kwadratowej

Niech A=[a _{i j}]_m×n , a _{i j} ∈R

Definicja Wyznacznik macierzy A stopnia n o elementach rzeczywistych będziemy oznaczać symbolem DetA, bądź |A|; przy czym:

gdzie:

• Sumowanie rozciąga się na wszystkie permutacje (j₁,j₂,...,j_n) zbioru {1,2,...,n}, czyli od 1 do n!;

• Zaś N oznacza tutaj liczbę inwersji w permutacji (j₁,j₂,...,j_n).

Np.

• n=1, Det[a_n]= a_n

• n=2, A=[a _{i j}]_2×2 ,

wówczas:

(1,2);N=0 (2,1);N=1

• n=3, A=[a _{i j}]_3×3 ; wówczas DetA=

=(-1)^Na₁₁a₂₂a₃₃ ;(1,2,3);N=0 = a₁₁a₂₂a₃₃

(-1)^Na₁₂a₂₃a₃₁ ;(2,3,1);N=2 = a₁₂a₂₃a₃₁

(-1)^Na₁₃a₂₁a₃₂ ;(3,1,2);N=2 = a₁₃a₂₁a₃₂

(-1)^Na₁₃a₂₂a₃₁ ;(3,2,1);N=3 = - a₁₃a₂₂a₃₁

(-1)^Na₁₁a₂₃a₃₂ ;(1,3,2);N=1 = - a₁₁a₂₃a₃₂

+(-1)^Na₁₂a₂₁a₃₃ ;(2,1,3);N=1 = - a₁₂a₂₁a₃₃

= ...........

• n∈N _^ n>3 ; A=[a _{i j}]_n×n ;

wówczas DetA=?

Twierdzenie Laplace'a (o obliczaniu wyznacznika dowolnego stopnia n)

Niech A=[a _{i j}]_{n×n ,} a _{i j}∈R

• Pojęcia pomocnicze:

Definicja Minorem macierzy A stopnia n nazywamy wyznacznik |M _{i j}| macierzy stopnia n-1 powstałej z macierzy A przez skreślenie w niej i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.

Stąd:

• i-ty

wiersz

Macierz

stopnia n-1 j-ta kolumna

• DetM _{i j} =|M _{i j}| - wyznacznik stopnia n-1

Definicja Niech A _{i j} oznacza dopełnienie algebraiczne elementu a _{i j} macierzy A stopnia n, zaś A^* oznacza macierz dopełnień algebraicznych macierzy A

Ćwiczenie Wyznaczyć: A^* , gdy

• Twierdzenie Laplace'a : (zwane regułą Laplace'a). Jeśli A=[a _{i j}]_{n×n ,} a _{i j}∈R to:

- tj.

wzór na obliczanie DetA przez rozwijanie względem j-tej kolumny.

Przykład: Obliczyć wyznacznik stopnia 4 postaci:

Definicja Macierz A stopnia n nazywamy nieosobliwą, gdy DetA=0. W przeciwnym przypadku macierz A nazywamy macierzą osobliwą.

• Dowodzi się następujące własności wyznaczników:

1. Wyznacznik macierzy, w której jeden wiersz, bądź jedna kolumna, składa się z samych zer, jest równy zero. (Dowód oczywisty)

2. Det A=DetA^T , tzn. ...

3. Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku znacznika tej macierzy

---