Macierze i Wyznaczniki

Przykład: W fabryce wytwarza się n różnych produktów złożonych z części produkowanych na m stanowiskach. Plan określa ilość godzin potrzebnych na wykonanie tej części jednostki danego produktu, która przypada na dane stanowisko. Jak krótko można by zapisać ten plan?

• Niech a_ij oznacza ilość godzin, w ciągu których ma być wykonana na stanowisku i , gdzie
, część produktu o numerze j , gdzie
.

Wówczas pojawia się zapis (w formie następującej tablicy):

oznacza: i-ty wiersz

oznacza: j-tą kolumnę

To jest macierz prosta

o wymiarach mxn

Ten nowy obiekt

będziemy nazywać macierz(-ą) i oznaczać dużymi literami A, B, C.

Stąd w/w macierz oznaczamy:

A=[a _{i j}]_m×n

Definicja Macierzą o wymiarze m×n nad ciałem K (bądź krótko: macierzą) nazywamy odwzorowanie

T:{1,2,3,...,m}×{1,2,...,n} K.

Np. A=[a _{i j}]_m×n , gdzie a _{i j} = T(i,j) dla
,
.

-- macierz o wymiarze 3×3

Przykład: Macierz przekształcenia liniowego. Niech dane będą duże przestrzenie linowe Rⁿ i R^m nad ciałem R generowane przez bazy kanoniczne, odpowiednio: ē₁,ē₂,...,ē_n oraz ē'₁,ē'₂,...,ē'_m

Niech T będzie odwzorowaniem liniowym Rⁿ w R^m oraz
.

Wówczas

(1)

ale (2)

Ze związków (1) i (2) otrzymujemy:

(3)

Oznaczając
,(4) otrzymujemy z (3) i (4) następujący układ równań:

Uwaga! Współczynnik a _{i j} przy niewiadomych: x₁,x₂,...,x_n tworzą prostokątną tablicę (macierz)

zwaną macierzą odwzorowania (przekształcenia) liniowego T: Rⁿ R^m.

Szczególne rodzaje macierzy.

Niech A=[a _{i j}]_m×n ,gdzie
K-ciało (w szczegól.: K=R, bądź K=C)

1. Macierz A nazywa się macierzą kwadratową (krótko: kwadratową), gdy m=n; wówczas n nazywa się stopniem macierzy.

• W szczególności macierz przekształcenia liniowego T: Rⁿ R^m jest kwadratowa stopnia n.

2. Macierz przekształcenia liniowego
   nazywa się macierzą jednostkową stopnia n, którą oznaczamy E_n ; przy czym:

E_n =[a _{i j}]_m×n , gdzie

||

Symbol

Kronckera

3. Macierz A=[a _{i j}]_m×n,gdzie

nazywa się macierzą diagonalną stopnia n

4. Macierz A^T=[b _{i j}]_m×n ,

gdzie b _{i j} =a _{i j ^} A=[a _{i j} ]_mxn nazywamy macierzą transponowaną do macierzy A o wymiarze mxn.

Np.

Działania na macierzach

Niech oznacza zbiór macierzy o wymiarach mxn i wyrazach ciała K.

Definicja Sumę macierzy A i B o wymiarze mxn będziemy oznaczać A+B przyczym:

Stąd :

Definicja Iloczyn skalarny λ i macierzy A o wymiarach mxn będziemy oznaczać λ•A, przy czym:

Stąd:

Np. Znaleźć A+B oraz (-2)A, gdy

Zatem po zastosowaniu w/w definicji otrzymujemy:

---