Zajęcia nr 8,9,10 - 28,29 stycznia 2012 roku - geometria analityczna, bryły, rachunek prawdopodobieństwa

Geometria analityczna

Równanie prostej: y=ax+b lub Ax+By+C=0 (czyli
)

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - rozwiązać układ równań:

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej y=ax+b jest równy a.

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej y=ax+b jest równy
.

Odległość A(x_A,y_A) i B(x_B,y_B) w układzie współrzędnych:

Środek odcinka A(x_A,y_A) i B(x_B,y_B) :

Równania okręgu:

lub
, gdzie (a,b) - współrzędne środka okręgu, r - jego promień, c=a²+b²- r² .

Odległość punktu A(x₀,y₀) od prostej Ax+By+C=0:

Dany jest punkt A(x,y).

Punkt symetryczny do A względem osi OX ma współrzędne A'(x,-y).

Punkt symetryczny do A względem osi OY ma współrzędne A'(-x, y).

Punkt symetryczny do A względem środka układu współrzędnych ma współrzędne A'(-x,-y).

Zad.1.Oblicz odległość punktu A od środka odcinka BC, gdzie A=(1,3), B=(4, 7), C=(-2, -3).

Zad.2.Punkt B =(-1,9) należy do okręgu stycznego do osi OX w punkcie A=(2,0) . Wyznacz równanie tego okręgu.

Zad.3.Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu
z prostą o równaniu
?

Zad.4.W układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznaczono punkty A=(2,0) i B=(4,0). Wyznacz wszystkie możliwe położenia punktu C, dla których ABC jest trójkątem równoramiennym o podstawie AB i polu równym 3.

Zad.5.Dane są proste o równaniach l: 4x+2y-5=0 i k:mx+3y+1=0. Wyznacz parametr m, tak aby te proste były prostopadłe.

Zad.6.Dane są punkty A=(-2,-7), B=(-1,-4), C=(4,11). Wykaż, że te punkty są współliniowe.

Zad.7.Dany jest koniec odcinka A=(-4,-7) i jego środek S=(5,-1). Wyznacz współrzędne drugiego końca tego odcinka.

Zad.8.

Odcinek AB jest wysokością trójkąta równobocznego. Oblicz długość boku trójkąta, jeśli wiadomo, że A=(-3,-2), B=(5,2).

Zad.9. Oblicz pole, obwód i długość wysokości poprowadzonej z punktu C trójkąta ABC, gdzie A=(-2,-7), B=(-1,-4),C=(4,0).

Zad.10.Dana jest prosta l o równaniu y=3x-1 i punkt A=(6,2). Wyznacz punkt B symetryczny do punktu A względem prostej l.

Bryły:

Przekątna sześcianu:

Twierdzenie o trzech prostopadłych:

Jeżeli prosta k przecina płaszczyznę w punkcie A i prosta k' jest jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę, to wśród prostych tej płaszczyzny przechodzących przez A istnieje jedna prosta m prostopadła do k - jest nią prosta prostopadła do k'.

Zadanie 1

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że: |AD| = 12, |BC| = 6,|BD| = |CD| = 13

Zadanie 2

W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości m jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
Wiadomo, że
.Wyznacz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 3

Prostokąt ABCD obracając się wokół boku AB, zakreślił walec w1. Ten sam prostokąt obracając się wokół boku AD, zakreślił walec w2. Otrzymane walce mają równe pola powierzchni całkowitych. Wykaż, że prostokąt ABCD jest kwadratem.

Zadanie 4

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120⁰, jego tworząca jest równa 10. Wyznacz stosunek promienia stożka do jego wysokości.

Zadanie 5

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Krótsza przekątna rombu tworzy z krawędzią podstawy kąt 60° i ma długość
. Dłuższa przekątna graniastosłupa tworzy z dłuższą przekątną rombu kąt 60°. Oblicz objętość graniastosłupa.

Zadanie 6

Oblicz, ile wierzchołków, ścian i krawędzi posiada graniastosłup prawidłowy 200-kątny. Wyprowadź wzory dla graniastosłupa n-kątnego.

Zadanie 7

Oblicz, ile wierzchołków, ścian i krawędzi posiada ostrosłup prawidłowy 200-kątny. Wyprowadź wzory dla ostrosłupa n-kątnego.

Zadanie 8

Oblicz stosunek objętości kuli opisanej na sześcianie do objętości kuli wpisanej w sześcian. Podobne zadanie wykonaj dla pół powierzchni obu kul.

Zadanie 9

Trójkąt o bokach 10,
i
obraca się wokół najdłuższego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły.

Zadanie 10

Oblicz pole powierzchni kuli o objętości
.

Oblicz objętość sześcianu o polu powierzchni 150 cm².

Zadanie 11

O ile podniesie się poziom wody w basenie o wymiarach 20x25 m, jeżeli wrzucimy do niego kulę metalową o średnicy 1 m.

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa:

średnia arytmetyczna -

średnia ważona -

Jeśli mamy ciąg danych: 1,1,2,2,2,3,5,6,6,7,9 to medianą jest 3, a dominantą (modą) 2.

Jeśli mamy ciąg danych: 1,3,5,6,6,9 to medianą jest 5,5 (średnia arytmetyczna z 5 i 6), a dominantą 6.

odchylenie standardowe -

Jeśli mamy zbiory:
i
, to
,
,

,
Uwaga:
Ø - zbiór pusty.

Zbiór zdarzeń elementarnych w dwukrotnym rzucie kostką do gry (rzut dwoma kostkami):

- 36 elementów.

A - zdarzenie polegające na tym, że suma oczek jest równa 7.

- 6 elementów.

Zbiór zdarzeń elementarnych w trzykrotnym rzucie monetą (rzut trzema monetami):

- 8 elementów.

---