Podstawowe pojęcia i twierdzenia [ 1]
populacja generalna - zbiór zjawisk, elementów podlegających badaniom: np. przepływy wody w danym przekroju wodowskazowym na danym cieku powierzchniowym (rys. 1).
próba - każdy zespół elementów wylosowanych, pobranych z populacji generalnej (rys. 1). Próbą jest np. przepływy z danego roku hydrologicznego (podzbiór większego zbioru).
zdarzenie elementarne - wynik doświadczenia, obserwacja, które jest elementem populacji generalnej (rys. 1), np. pojedynczy pomiar przepływu w danym roku hydrologicznym.
Rys. 1. Podstawowe pojęcia ze statystyki
zmienna losowa - funkcja przyporządkowująca zbiorowi zdarzeń elementarnych liczby rzeczywiste.
prawdopodobieństwo zdarzenia A -funkcja rzeczywista spełniająca następujące aksjomaty:
P (A) ≥ 0,
prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego P(Ω) = 1,
prawdopodobieństwo zdarzeń A i B rozłącznych P(A∪B)=P(A)+P(B).
rozkład prawdopodobieństwa:
zmiennej losowej dyskretnej: zestawienie możliwych wartości zmiennej losowej z ich prawdopodobieństwem (rys. 2),
zmiennej losowej ciągłej: tzn. gęstość rozkładu prawdopodobieństwa: funkcja f(x) taka, że prawdopodobieństwa przyjęcia przez zmienną losowa X wartość w przedziale (x, x+dx) jest równe f(x) (rys. 2).
Rys. 2. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennej losowe a) dyskretnej, b) ciągłej
Statystyka opisowa
W celu opisu zbiorowości statystycznej
Rys. 3. Statystyka opisowa
miara położenia- miara miejsca skupienia wyników (określa wokół jakiej przeciętnej wartości grupują się spostrzeżenia)
średnia arytmetyczna |
|
Średnia arytmetyczna najlepiej opisuje rozkład symetryczny [ 1] Na wartość mają wpływ wartości skrajne. |
średnia geometryczna |
|
|
średnia harmoniczna |
|
|
Mediana |
wartość środkowa ciągu danych uporządkowanych według wartości np. od wartości największej do najmniejszej, |
|
moda |
wartość najczęściej występująca |
miara zmienności - miara rozproszenia wyników
Odchylenie standardowe |
|
Rys. 4. |
Wariancja empiryczna |
|
|
Współczynnik zmienności |
|
|
miara asymetrii - wskazuje w jaki jest rozkład spostrzeżeń po obu stronach wartości najczęściej się powtarzającej czyli pokazuje czy spostrzeżenia są symetryczne czy ma miejsce asymetria
Miara asymetrii |
|
|
Współczynnik asymetrii (skośności) |
|
Rys. 5. |
Rys. 4. Krzywe gęstości częstotliwości o różnej zmienności
Rys. 5. Krzywa gęstości częstotliwości wystąpienia zdarzeń o różnej asymetrii a) dodatniej i b) ujemnej
Rys. 6. Graficzna analiza rozkładu próby losowej
Bibliografia
[ 1] DOBOSZ M.: Wspomagana komputerowo statystyczna analiza wyników badań. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 2001.
[ 2] TADEUSIEWICZ R., IZWORSKI A., MAJEWSKI J.: Biometria. Wydawnictwo AGH, Kraków, 1993.
[ 3] MALIŃSKI M.: Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo. Wydawnictwo Politechnik Śląskiej, Gliwice, 2000.
poniżej zestawiono najczęściej stosowane statystyki
gdzie: xi kolejny element zbioru,
n - liczebność zbioru
rozpatrywane dla populacji generalnej
gdzie Me- mediana, s -skośność
1
KURTOZA
WSPÓŁCZYNNIK ASYMETRII
Miara asymetrii
ROZSTĘP
ODCHYLENIE STANDARDOWE
WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI
Miara zmienności
ŚREDNIA ARYTMETYCZNA
MEDIANA
MODA
Miara położenia
Statystyka opisowa
próba
populacja generalna
zdarzenie elementarne