Ruch który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczanie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze wyrazić przy pomocy funkcji sinus i cosinus. Ponieważ funkcje te nazywamy funkcjami harmonicznymi, ruch periodyczny często jest nazywany ruchem harmonicznym złożonym lub krótko ruchem harmonicznym. Jeżeli punkt materialny porusza się ruchem okresowym tam i z powrotem po tej samej drodze, to ruch taki nazywamy drgającym. Ze względu na tarcie rozpraszająca energię ruchu większość z wymienionych ruchów nie ma ustalonej amplitudy. Gdy uwzględnimy istnienie sił tłumiących, ruch okresowy nazywamy ruchem harmonicznym tłumionym. Analogia między drganiami mechanicznymi i elektromagnetycznymi jest bardzo bliska, ponieważ drgania mechaniczne i elektromagnetyczne opisujemy przez te same podstawowe równania matematyczne.

Ciało o masie m. przyczepione do idealnej sprężyny o współczynniku sprężystości k, mogące się swobodnie poruszać po doskonale gładkiej poziomej powierzchni, jest przykładem prostego oscylatora harmonicznego. Istnieje położenie w którym sprężyna nie działa żadną siłą na ciało. Jeżeli ciało jest przesunięte w prawo, to sprężyna oddziaływa na ciało siłą skierowaną w lewo i wynoszącą F= -kx. Jeżeli ciało jest przesunięte na lewo, to siła działa na prawo i wynosi także F = -kx. W tym przypadku jest to siła przywracająca równowagę układowi. Ruch drgający masy jest ruchem harmonicznym prostym.

Zastosujemy drugą zasadę Newtona, F=ma, na miejsce siły podstawimy -kx, a na miejsce przyśpieszenia a - drugą pochodną przemieszczenia względem czasu. W ten sposób otrzymujemy

albo inaczej

W skład tego równania wchodzi pochodna, nazywamy je więc równaniem różniczkowym. Aby je rozwiązać, należy znaleźć taką zależność przemieszczenia x od czasu t, aby powyższe równanie było spełnione. Kiedy znamy zależność x od czasu, znamy ruch punktu materialnego. Dlatego też powyższe równanie nazywamy równaniem ruchu oscylatora harmonicznego prostego.

Każdy układ o masie m., na który działa siła F = -kx, podlega temu równaniu. W przypadku sprężyny współczynnik proporcjonalności k jest współczynnikiem sprężystości. Określa on sztywność sprężyny. W innych układach drgających może on określić inne cechy fizyczne układu. Układ masa - sprężyna będzie naszym prototypem oscylatora. Równanie jest równaniem różniczkowym. Jest to związek między funkcją czasu x(t) i jej drugą pochodną względem czasu d²x/dt². Aby znaleźć położenie cząstki jako funkcja czasu, musi znaleźć funkcję x(t), która ten związek spełnia.

Równanie przepisujemy w postaci

Rozwiązaniem tego równania musi być pewna funkcja x(t), której druga pochodna równa się jej samej ze znakiem przeciwnym i ze stałym współczynnikiem k/m. Z rachunku różniczkowego wiemy, że taką własność ma funkcja sinus i cosinus. Własność ta zostaje zachowana, jeżeli funkcję tę pomnożymy przez stały czynnik A. Biorąc pod uwagę, że funkcja sinus ma wymagane właściwości i że równanie zawiera stały czynnik, napiszmy rozwiązanie próbne w postaci.

Stała ϕ pozwala nam otrzymać rozwiązania zawierające dowolne kombinacje funkcji sinus i cosinus. W wyniku tego równania, z nieznanymi stałymi A, ω i ϕ, jest bardziej ogólnym rozwiązaniem równania. Aby określić stałe w rozwiązaniu ogólnym i uzyskać pełne rozwiązanie równania , różniczkujemy dwukrotnie względem czasu. Otrzymujemy

oraz

Po podstawieniu tego do równania otrzymujemy

Jeżeli zatem przyjmiemy, że

to

jest rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego prostego.

Stałe A i ϕ pozostają w dalszym ciągu nieokreślone i nie mogą przyjmować zupełnie dowolnej wartości. Znaczy to, że funkcja x z dowolnie wybranymi A i ϕ spełnia równanie , co fizycznie odpowiada wielkiej różnorodności możliwych ruchów oscylatora. Jest to charakterystyczna właściwość różniczkowego równania ruchu, które nie opisuje jednego szczególnego ruchu, lecz całą klasę albo rodzinę ruchów mających pewne cechy wspólne, a różniące się tylko pod pewnymi względami. W tym przypadku ω jest wspólne dla danej grupy ruchów drgających, a ϕ i A mogą różnić się między sobą.

Rozpatrzmy teraz ciało sztywne obracające się z prędkością kątową ω dookoła, która jest nie ruchoma w wybranym układzie inercjalnym. Każdy punkt takiego ciała posiada pewną energie kinetyczną. Punkt materialny o masie m. i odległości od osi obrotu r porusza się po okręgu o promieniu r z prędkością i ma prędkość liniową V =ωr. Zatem jego energia kinetyczna wynosi.

Całkowita energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych wszystkich punktów.

Zakładając że ω jest stałe dla wszystkich punktów materialnych określamy ciało jako sztywne. Promień r może być różny dla różnych punktów, stąd energia kinetyczna K obracającego się ciała wyraża się jako

Czynnik jest sumą iloczynów mas cząstek przez kwadraty ich odległości od osi obrotu. Wielkość tę oznaczymy przez I i nazywamy momentem bezwładności ciała względem wybranej osi obrotu.

Zależy on od wyboru osi obrotu i od sposobu rozmieszczenia masy ciała; wymiarem jest ML² , zwykle mierzymy go w kg*m². Posługując się pojęciem momentu bezwładności wyrażenie na energie kinetyczną obracającego się ciała sztywnego przyjmuje postać

Jest to analogiczne wyrażenie do energii kinetycznej ciała w ruchu postępowym.

Dla ciała sztywnego mającego ciągły rozkład masy, wyrażenie określające moment bezwładności jest bardziej złożone- proces sumowania zastępujemy procesem całkowania. W takim przypadku moment bezwładności wyraża się

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała.

Umocowaną na osi bryłę która skręcona od położenia równowagi porusza się ruchem wahadłowym harmonicznym pod wpływem siły sprężystości nazywamy wahadłem torsyjnym.

Wychodząc od wzoru na okres drgań wahadła fizycznego możemy znaleźć wzór na okres drgań wahadła torsyjnego.

Z definicji tej wynika że współczynnik D nazywany momentem kierującym wahadła jest równy liczbowo takiego momentowi odchylającemu który powoduje jednostkowe wychylenie wahadła

( ϕ = 1 radian ).

Rodzaj obcią-żnika	Masa obcią- żnika	Wymiary ociążnika	Oś obrotu	Liczba drgań	Czas drgań	Okres drgań	Moment bazwła-dności wyzna-czony	Moment bezwła-dności obliczo-ny
I	0,980	0,05x 0,05x 0,05m.	Prze-kon- tna	10	11,231	1,1231	0,000264	0,0004083
I	0,980	0,05x 0,05x 0,05m.	AB	10	11,257	1,1257	0,000269	0,0004083
I	0,980	0,05x 0,05x 0,05m.	AC	10	11,253	1,1253	0,000269	0,0004083
II	1,884	0,04x 0,06x 0,1m.	AB	10	13,118	1,3118	0,000692	0,0008164
II	1,884	0,04x 0,06x 0,1m.	AC	10	16,839	1,6839	0,001732	0,0018212
II	1,884	0,04x 0,06x 0,1m.	BC	10	19,851	1,9851	0,002762	0,0021352
III	1,962	0,05x 0,05x 0,1m	AC	10	14,635	1,4635	0,001085	0,0008175
III	1,962	0,05x 0,05x 0,1m	Prze-kon- tna	10	14,5	1,45	0,001048	0,001226
III	1,962	0,05x 0,05x 0,1m	BC	10	17,654	1,7654	0,001994	0,0020438

Wnioski

Celem ćwiczenia było wyznaczenie momentu bezwładności wybranych brył. Moment ten wyznaczaliśmy dwoma metodami. Pierwsza polegała na pomiarze liczby drgań i czasu w jakim te drgania trwały. Drugi moment polegał na obliczeniach geometrycznych. Rozbieżności wynikłe przy pomiarze tymi dwoma sposobami spowodowane są niedokładności przyrządów pomiarowych.

---