Olsztyn, dnia 14 października 2008r

Wyznaczanie momentu bezwładności metodą dynamiczną
sprawozdanie nr 1

Arasimowicz Artur
Sieg Szymon
grupa 1

1. Opis teoretyczny zadania

Ciało sztywne to takie ciało, którego poszczególne punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pomimo działania na to ciało sił. Pojęciu temu nie odpowiada żadne ze znanych ciał, jednak w przybliżeniu za ciało sztywne możemy uważać wiele ciał stałych, jeśli nie podlegają one działaniu zbyt wielkich sił. Ciało sztywne może wykonywać taki ruch, w którym poszczególne jego części poruszają się zupełnie jednakowo. Jeśli opisze się ruch punktu (jest on znany) to uda się opisać ruch postępowy ciała sztywnego.

Ciało sztywne wykonuje także inne ruchy - ruch obrotowy. Ruch ten charakteryzuje się tym, że prędkości ruchu poszczególnych punktów nie będą jednakowe. Ruch ten jest tym bardziej szczególny, że istnieją w ciele punkty, które nie zmieniają położenia w przestrzeni. Prosta, na której leża punkty nieruchome ciała wykonującego taki ruch, nazywa się osią obrotu.

Najczęściej jednak ciało sztywne wykonuje ruch złożony, tzn., będąc w ruchu postępowy odbywa jednocześnie obrót, przy czym jeszcze i oś obrotu może z biegiem czasu zmieniać położenie w obrębie ciała sztywnego. Przykład tego zjawiska to ruch pociągu - koło toczące się po szynie ulega przesunięciu wzdłuż szyny, jednocześnie też obraca się dookoła swej osi.

Gdy ciało sztywne obraca się, wtedy poszczególne jego punkty poruszają się po okręgach kół. Punkty leżące na osi obrotu nie zmieniają swojego położenia w przestrzeni, pozostałe jednak punkty wykonują określone ruchy.

Prędkość kątowa charakteryzuje ruch obrotowy. Za wartość tej prędkości przyjmuje się stosunek kąta α, zakreślonego przez promień poprowadzony ze środka okręgu do ruchomego punktu, do czasu t, w jakim ten kąt został zakreślony, czyli
.
Podczas obrotu ciała sztywnego prędkości kątowe wszystkich jego punktów są takie same. Tę wspólną prędkość nazywamy prędkością kątową ciała obracającego się. Prędkość kątowa może podczas ruchu pozostawać stała - ruch jednostajny obrotowy (ruch np. płyty CD-ROM czy Ziemi w swoim ruchu dookoła osi). Występuje także ruch obrotowy, w którym prędkość kątowa zmienia się z biegiem czasu. Występuje wtedy przyspieszenie kątowe.

Przyspieszeniem kątowym nazywamy stosunek przyrostu prędkości kątowej do czasu, w jakim ten przyrost następuje. Jeśli oznaczy się przez ω prędkość kątową, przez ε przyspieszenie kątowe, to
.

Ze statyki ciała sztywnego wynika, że warunek równowagi ciała, które może obracać się dookoła pewnej osi był taki sam to suma momentów wszystkich sił względem tej osi musi być równa zeru. Momentem siły jest iloczyn jej (siły) wartości przez odległość prostej działania siły od osi obrotu. Znaki momentów mogą być zgodne (takie same), gdy powodują one obrót w tę samą stronę, zaś przeciwne, gdy jeden moment obraca się w jedną stronę, drugi w przeciwną.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona (zasada bezwładności) - Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona w przeniesieniu na „grunt” ruchu obrotowego - Jeżeli na ciało sztywne nie działa żadna siła albo działają siły, których suma momentów względem osi obrotu jest równa zeru, to ciało pozostaje w spoczynku albo obraca się ruchem obrotowym jednostajnym.

Charakterystykę momentów siły można wykazać na prostym doświadczeniu. Kilka bloków o różnych promieniach może jako ciało sztywne obracać się dookoła osi. Na najmniejszym z nich nawijamy długą nitkę obciążoną u dołu niewielkim odważnikiem. Puszczamy następnie odważnik tak, aby nitka mogła rozkręcać się z bloku. Powtarzamy czynność następnie tak samo, ale nawijając na większy blok. W wyniku tego doświadczenia wychodzi, żę gdy nitka jest na najmniejszym bloku, układ bloków bardzo powoli zmienia prędkość kątową. Gdy ten sam odważnik przyczepiony jest do większego bloku, odbywa się to prędzej, przy największym - układ bloków ma prawie od razu dość znaczną prędkość kątową. Siła działająca na ciało sztywne była w tym doświadczeniu ciągle ta sama (ciężar odważnika), lecz moment jej nie był ten sam.

Wnioski ogólne do momentu siły:

1. gdy moment siły jest mały to i przyspieszenie kątowe jest małe

2. gdy moment siły jest większy to i przyspieszenie kątowe jest większe.

Przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do momentu siły.

Masa ciała jest miernikiem (miarą) jego bezwładności. Ciało o dużej masie trudniej poruszyć z staniu spoczynku i trudniej też zatrzymać niż ciało o małej masie. W ruchu obrotowym wpływ masy ciała również występuje. Jeśli chodzi jednak o ruch obrotowy, to występuje jeszcze jeden czynnik decydujący o tym, czy ciało łatwiej czy trudniej wprawić w ruch obrotowy - moment bezwładności. Bezwładność ciała w odniesieniu do ruchu obrotowego zależy nie tylko od masy ciała, ale jeszcze od tego, jak ta masa jest rozmieszczona względem osi obrotu. Bezwładność jest tym mniejsza, im masa jest bliżej osi (masa całego układu pozostaje stałą, moment siły działającej również nie zmienia się, a jednak przyspieszenia są różne).
Moment bezwładności to suma iloczynów mas poszczególnych części ciała prze kwadraty odległości tych części od osi obrotu. Jeśli masy te oznaczymy przez m₁, m₂, m₃…, a ich odległość od osi obrotu odpowiednio przez r₁, r₂, r₃ …, to moment bezwładności I wyrazi się wzorem
.

Pomiędzy momentem bezwładności, a momentem siły (oznaczonym jako M) zachodzi zależność
, gdzie ε to przyspieszenie kątowe. Równanie to jest podobne do równania drugiego prawa dynamiki
. Po lewej stronie mamy w obu równaniach ten czynnik, który wywołuje przyspieszenie, po prawej zaś iloczyn odpowiedniego przyspieszenia przez czynnik charakteryzujący ciało pod względem bezwładności.

Wprawienie ciała w ruch obrotowy wymaga wykonania pewnej pracy. Ciało w ruchu obrotowym ma pewną energie - jest to energia kinetyczna, bowiem ona związana jest z ruchem ciała. Energie ciała wirującego możemy rozpatrywać jako sumę energii poszczególnych jego części. Wzór na energie kinetyczną -
.

Bryła wirująca dookoła nieruchomej osi stanowi doskonały „zbiornik” energii kinetycznej. Można przechowywać w niej dość znaczną ilość tej energii w stosunkowo małej przestrzeni. Znalazło to zastosowanie w wielu maszynach w celu zapewnienia stałości ich ruchu - przykładem jest silnik spalinowy czterosuwowy. W ciągu całego cyklu czynności związanych z ruchem tłoka tylko jedna czynność wykonuje prace, podczas pozostałych silnik musi poruszać się zapasem energii, który uzyskał podczas suwu pracy.

2. Wyprowadzenie wzorów roboczych.

a) wyprowadzenie wzoru na moment bezwładności

oraz

, gdzie
;
, a stąd wynika, że

oraz związek
. Ostateczny wzór powstaje poprzez podstawienie do wzoru
wzorów
i
:




b) wyprowadzenie wzoru na niepewność pomiaru

3. Opis wykonania zadania

1. Zmierzyć suwmiarką średnice krzyżaka i wyznaczyć promień r osi,

2. Rozmieścić obciążniki na krzyżaku w jednakowej, skrajnej odległości od osi krzyżaka (L+R) oraz tak, aby układ był w równowadze obojętnej,

3. Zmierzyć długość h sznurka i nawinąć go jedną warstwą na krzyżaka,

4. Puścić krzyżak swobodnie i zmierzyć czas opadania ciężarka do całkowitego rozwinięcia się sznurka,

5. Obliczyć ze wzoru
   moment bezwładności krzyżaka,

6. Przeprowadzić kilka pomiarów i obliczeń momentu bezwładności dla innych położeń obciążników krzyżaka, przesuwając je np. o 1 cm w kierunku środka,

7. Sporządzić wykres zależności momentu bezwładności I od położenia obciążników, tzn. od (L+R),

8. Wynik zestawić w tabelce.

4. Tabela

L+R(m)	m [kg]	R [m]	h [m]	t [s]	I [kg*m^2]

---