1.Całka podwójna w prostokącie

Na płaszczyźnie OXY dany jest prostokąt P określony nierównościami

P:

Dana jest też funkcja z = f(x,y) ograniczona i określona w tym prostokącie

Prostokąt P dzielimy na n-prostokątów częściowych, które oznaczamy przez Pi

a) określamy średnicę podziału ∂_i - jest to największa odległość dwóch punktów należących do prostokąta P_i

b) w każdym z prostokątów P_i dobieramy punkt pośredni A_i (x_i,y_i) oraz wyznaczamy wartość funkcji w punkcie pośrednim f(x_i,y_i)

następnie tworzymy sumę S_n=

c) czynności te powtarzamy wiele razy tworząc ciąg .... prostokąta P, taki , że średnica δ_n →0 jeśli n →0

Def. Jeśli ciąg sum całkowitych S_n ma tę samą granicę przy każdym normalnym podziale prostokąta P i jeżeli granica ta nie zależy od wyboru punktów pośrednich A_i to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji f(x,y) w prostokącie P i oznaczamy

ją :

Czyli

2.Całka podwójna w obszarze normalnym

Podział nazywamy normalnym jeżeli Δ_n → 0 gdy n → ∞

Def. Jeżeli dla każdego dowolnego normalnego ciągu podziału istnieje granica właściwa

Jeśli istnieje ta granica, to jest całką podwójną.

Tw. Z = f(x,y) jest całkowalne w P<=>kiedy f(x,y) będzie ciągła za wyjątkiem punktu zbieżnego do zera.

Def. Obszarem normalnym względem OX nazywamy obszar D spełniający nierówność

D:

C = inf ϕ(x) d:sup ϕ(x)

x∈<a,b> x∈<a,b>

f (x,y) =
P:

Def. Obszarem normalnym względem OY nazywamy obszar D spełniający warunek:

D: D:

3. Interpretacja geometryczna całki podwójnych

Niech f(x,y) = k

f (x,y)≥0

P: