Zagadnienia teoretyczne

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długoœci l.

Gdy wahadło jest w ruchu, działa na nie siła ciężkoœci F=mg. Składowa tej siły, Fx=mgsin, skierowana stycznie do łuku. Siła kierująca k jest stosunkiem siły Fx do wychylenia, równego w przybliżeniu x, więc k=(mg/x)sin, a dla małych wychyleń, gdzie przyjmujemy że x=l, k=mg/l. Obliczając okres drgań wahadła mamy

(1)

Znając ten wzór możemy łatwo obliczyć wartoœć przyspieszenia ziemskiego g na podstawie okresu drgań i długoœci wahadła. Wzór powyższy nie jest niestety prawdziwy dla wahadła fizycznego, które nie jest jednym punktem materialnym, a raczej składa się z wielu, z których każdy posiada własny okres drgań. Moment siły M, działający na wahadło wychylone z położenia równowagi, wyraża się wzorem M=mgdsin, gdzie d jest odległoœcią œrodka ciężkoœci od punktu podparcia. Ze względu na małą wartoœć kąta  moment siły można uproœcić do M=-mgd, gdzie mgd jest momentem kierującym D.

Zgodnie z twierdzeniem Steinera, moment bezwładnoœci można przedstawić jako J=Js+md2, gdzie Js jest momentem bezwładnoœci, gdy oœ obrotu przechodzi przez œrodek ciężkoœci. W ten sposób dochodzimy do następującego wzoru na okres oscylacji:

(2)

Wprowadzając do poprzedniego równania oznaczenie

(3)

możemy wyrazić okres wahadła fizycznego tym samym wzorem co wahadła matematycznego o długoœci l (patrz równanie 1), którą nazywamy długoœcią zredukowaną wahadła fizycznego. Jak widać, jest to funkcja momentów bezwładnoœci i siły ciężkoœci wahadła fizycznego.

Długoœć zredukowana wahadła fizycznego odgrywa ważną rolę w wyznaczaniu przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Jeżeli zawiesimy wahadło na osi przechodzącej przez inny punkt, po przeciwległej stronie œrodka ciężkoœci wahadła, wzór na okres oscylacji wahadła przyjmie postać:

(4)

gdzie d' jest nową odległoœcią od œrodka masy wahadła. Jeżeli nie wiemy, gdzie znajduje się œrodek masy wahadła, lecz na podstawie pomiarów znana jest nam równoœć okresów T i T'. Przyrównujemy do siebie równania (2) i (4) i otrzymujemy Js(d-d')-mdd'(d-d'). Równanie to wyznacza takie położenie œrodka ciężkoœci wahadła, które zapewnia omawianą równoœć okresów. Jest to możliwe gdy

Œrodek ciężkoœci znajduje się dokładnie w połowie drogi pomiędzy obiema położeniami (d=d'). Jest to jednak bardzo mało prawdopodobne.

a"b. Wtedy obie strony równania skracamy przez d-d' i otrzymujemy Js=mdd'. Podstwaniamy otrzymaną wartoœć do wzorów (2) i (4) i otrzymujemy

(5)

Porównując powyższe z (1) widzimy, że okres drgań wahadła fizycznego jest taki sam, jak okres wahań wahadła zredukowanego o długoœci l=d+d'.

Opis doœwiadczenia

W celu wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego, zawieszono wahadło rewersyjne na ostrzu O1 i mierzono czas 20 wahnięć wahadła, przy różnych położeniach krążka pomiędzy obu ostrzami. Następnie zawieszono wahadło na drugim ostrzu i powtórzono pomiary. Sporządzono wykresy zależnoœci czasów 20 wahnięć w funkcji odległoœci x (odległoœci krążka od ostrza O1) dla obu zawieszeń, i z punktu przecięcia obu krzywych wyznaczono odległoœć x0, dla której okresy drgań przy obu zawieszeniach są identyczne. Drugi punkt przecięcia został pominięty, z braku możliwoœci ustawienia krążka w tej pozycji. W naszym przypadku x0 wynosiło 32.5 cm. Ustawiono krążek w pozycji x0 i zmierzono czas 20 wahnięć dla obu ostrzy. Następnie ustawiono długoœć wahadła matematycznego na wartoœć długoœci zredukowanej wahadła rewersyjnego (35.5 cm), i również zmierzono czas 20 wahnięć.

Opracowanie wyników pomiarów

Ze wzoru (1) wyliczamy wartoœć g:

Podstawiając pod l długoœć zredukowaną l=0.355m, a pod T œredni okres wahnięć wahadła z krążkiem w punkcie x0 (dla ostrza O1 i O2) czyli [(24.414+24.358)/2]/20=1.2193 s, dostajemy

m/s2

Jak widać, uzyskana wartoœć przyspieszenia ziemskiego różni się nieco od oczekiwanej (9.812m/s2 dla Wrocławia), a więc wkroczył tu pewien błąd. Z drugiej strony należy zwrócić uwagę na fakt, że okres wahadła matematycznego ustawionego na wartoœć długoœci zredukowanej wynosi 24.364/20=1.2182s, czyli praktycznie dokładnie okres wahadła rewersyjnego z krążkiem w punkcie x0.

Ocena błędu

Błąd policzymy metodą różniczki zupełnej. Błąd odczytu długoœci wynosił 0.001m, a błąd pomiaru czasu 0.001s. Wobec tego błąd wynosi

m/s2.

Jest to błąd niewielki, rzędu 0.3%, który w żaden sposób nie tłumaczy o wiele większej rozbieżnoœci pomiędzy spodziewaną a uzyskaną wartoœcią przyspieszenia ziemskiego. Należy jednak pamiętać, że błąd ten dotyczy praktycznie samych obliczeń, a przy pomiarach zapewne wystąpiły także i inne, trudne do oceny błędy, typu błąd paralaksy przy odczycie położenia krążka z miarki znajdującej się za krążkiem, niemożliwy do oceny błąd fotokomórki naliczającej wahnięcia (czy rzeczywiœcie dokładnoœć pomiaru czasu równała się ostatniemu miejscu na wyœwietlaczu?), itd., a poza tym błąd użytkownika, polegający na korzystaniu z wbudowanej miarki położenia krążka, zamiast zaopatrzyć się w bardziej dokładne i niezawodne narzędzie (patrz wnioski).

Wnioski

Spoglądając na uzyskany wynik, różniący się od oczekiwanego o kilka procent, należy szukać błędu nie przy samym odczycie wartoœci czasu i położenia, lecz gdzie indziej. Widzimy, że okresy wahadła zredukowanego ze œrodkowym krążkiem w punkcie x0, zawieszonego na ostrzach O1 i O2 są praktycznie takie same, a więc odległoœć x0 została wyznaczona prawidłowo. Co więcej, okresy wahadła zredukowanego i matematycznego, ustawionego na długoœć zredukowaną są również prawie identyczne, co potwierdza poprzednią tezę i dowodzi, że długoœci obu wahadeł były jednakowe. W takim razie pozostaje tylko jeden wniosek. Ponieważ częœć miarki była niewidoczna, jest bardzo możliwe, że początek skali nie pokrywał się z punktem zamocowania wahadła. W ten sposób położenie x było zawsze przesunięte o jakąœ stałą, co faktycznie pozwoliło uzyskać jednakową względną długoœć obu wahadeł i właœciwe względne położenie krążka, jednakże zmieniło to wynik końcowy. Wtedy długoœć l podstawiona do wzoru była naprawdę długoœcią l+x1, gdzie x1 było przesunięciem miarki względem punktu zawieszenia wahadeł.

Znając tablicową wartoœć przyspieszenia ziemskiego możemy wyliczyć prawidłową wartoœć l, która w naszym przypadku powinna wynosić

m

Wobec tego miarka została przesunięta o x1 = 0.369-0.355 = 0.014m = 1.4cm. Jest to doœć dużo, w porównaniu do precyzji pomiaru czasu, aczkolwiek bardzo prawdopodobne. Należałoby zwrócić uwagę na ten fakt przyszłym użytkownikom doœwiadczenia.