Piguła pojęciowa „Elementów logiki dla prawników” autorstwa prof. Wojciecha Patryasa

(na podstawie wydania drugiego, poprawionego)

wersja 1.1, made in Wilda, styczeń 2012

Od autora: jakieś skrypty, notatki, piguły i inne cuda wianki krążyły już po necie, ale ja jestem wybredny, żadne z tych co znalazłem mi się nie spodobało i w efekcie zrobiłem swoje. Żadne prawa nie są zastrzeżone, rozpowszechnianie, przedrukowanie i korzystanie jest dozwolone wszystkim, nie pobieram za to żadnych opłat (aczkolwiek jeśli ktoś mi kiedyś za to browara postawi to z pewnością się nie obrażę, bo pracy nad tym trochę miałem jakby nie patrzeć). W związku ze stylem prof. Patryasa, nie wprowadzałem praktycznie żadnych, nawet najbardziej w moim przekonaniu sensownych zmian w definicjach pojęć - te, które są, powstały tylko i wyłącznie z przyczyn gramatycznych. Z przyczyn oczywistych brak jest tez rachunku zdań i tez rachunku predykatów. Ponadto nie biorę na siebie odpowiedzialność jeśli coś będzie nie tak i nikomu piwa nie postawię jeśli coś się okaże niewłaściwe - cóż, życie nie jest sprawiedliwe. Wydaje mi się jednak, że jest w porządku i sam mam zamiar z tego korzystać. Moc Jedi niech będzie z wami.

Larry

Rachunek zdań

Zdanie w sensie logicznym jest to takie wyrażenie, które jest prawdziwe albo fałszywe.

Zmienna zdaniowa jest to takie wyrażenie, za które wolno wstawiać dowolne zdanie.

Spójnik logiczny (spójnik) jest to wyrażenie charakteryzujące się tym, iż po dołączeniu do niego zdania (lub zdań) otrzymuje się nowe zdanie, którego wartość logiczna zależy wyłącznie od wartości logicznej zdania (lub zdań) dołączonego.

Spójnik jednoargumentowy to wyrażenie, które po dołączeniu do niego jednego zdania jako argumentu daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej - w szczególny sposób - przez wartość logiczną zdania dołączonego.

Spójnik dwuargumentowy to wyrażenie, które po dołączeniu do niego dwóch zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej - w szczególny sposób - przez wartości logiczne zdań dołączonych.

Spójnik n-argumentowy to wyrażenie, które po dołączeniu do niego n zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej - w szczególny sposób - przez wartości logiczne zdań dołączonych.

Spójnik negacji odpowiada wyrażeniu „nie jest tak, że”, do pewnego stopnia również „nieprawda, że” a również i samo słowo „nie”; oznacza się go symbolem ~.

Zdanie zanegowane jest to zdanie dołączone do spójnika negacji jako jego argument.

Negacja jest to zdanie powstałe przez zanegowanie określonego zdania.

Para zdań wzajem sprzecznych to zdanie zanegowane oraz powstała z niego negacja.

Spójnik koniunkcji odpowiada wyrażeniu „i”, a do pewnego stopnia także „oraz” tudzież „a”; oznacza się go symbolem /\ .

Czynniki to zdania dołączone jako argumenty do spójnika koniunkcji.

Koniunkcja jest to zdanie zbudowane z czynnika koniunkcji i jego argumentów (czynników).

Spójnik alternatywy odpowiada wyrażeniu „lub”; oznacza się go symbolem v .

Składniki to zdania dołączone do spójnika alternatywy jako jego argumenty.

Alternatywa jest to zdanie zbudowane ze spójnika alternatywy i jego argumentów (składników).

Spójnik implikacji odpowiada wyrażeniu „jeśli, to”, „jeżeli, to”, a do pewnego stopnia również „gdyby, to”; oznacza się go symbolem → .

Poprzednik jest to zdanie dołączone do spójnika implikacji jako jego pierwszy argument.

Następnik jest to zdanie dołączone do spójnika implikacji jako jego drugi argument.

Implikacja jest to zdanie zbudowane ze spójnika implikacji i jego argumentów.

Spójnik równoważności odpowiada wyrażeniu „wtedy i tylko wtedy, gdy” i oznacza się go symbolem ≡ . c.d. Na następnej stronie

Rachunek zdań c.d.

Człony są to zdania dołączone do spójnika równoważności jako jego argumenty.

Równoważność jest to zdanie zbudowane ze spójnika równoważności i jego argumentów(członów)

Zdanie proste to takie zdanie, w którym nie występuje żaden spójnik.

Zdanie złożone to takie zdanie, w którym występuje co najmniej jeden spójnik.

Wyrażenia rachunku zdań:

1. Każda zmienna zdaniowa jest wyrażeniem rachunku zdań.

2. Jeżeli sekwencja postaci (A) jest wyrażeniem rachunku zdań, to ~(A) również jest wyrażeniem rachunku zdań.

3. Jeżeli sekwencje postaci A i B są wyrażeniami rachunku zdań, to są nimi również sekwencje postaci (A) /\ (B), (A) v (B), (A) → (B), (A) ≡ (B).

Teza rachunku zdań to wyrażenie, które przy wszelkich wstawieniach za występujące w nim zmienne przekształca się w zdania prawdziwe.

Formalizacja rachunku zdań to drugi obok metody zero-jedynkowej zabieg pozwalający z ogółu wyrażeń rachunku zdań wyróżnić jego tezy; operacja ta polega na wyborze pewnych tez rachunku zdań jako aksjomatów i podaniu reguł wyprowadzania z jednych tez innych tez.

Aksjomatyzacja rachunku zdań to pierwszy etap formalizacji rachunku zdań, przeprowadza się go dobierając określony zestaw tez jako aksjomatów.

Drugi etap formalizacji polega na sprecyzowaniu reguł wyprowadzania z jednych tez innych tez rachunku zdań, przy czym aksjomaty i reguły muszą być tak dobrane, aby spełniały dwa warunku:

1. Z aksjomatów za pomocą reguł winny być wyprowadzalne wszystkie tezy rachunku zdań

2. Z aksjomatów za pomocą reguł winny być wyprowadzalne tylko tezy rachunku zdań

Innymi słowy, reguły winny umożliwiać wyprowadzenie z aksjomatów wszystkich i tylko tez rachunku zdań.

Reguła podstawiania brzmi następująco: jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to tezą rachunku zdań jest też wyrażenie postaci B powstałe z A przez konsekwentne podstawienie za występującą w nim zmienną zdaniową dowolnego wyrażenia rachunku zdań.

Reguła odrywania brzmi następująco: jeżeli wyrażenie postaci A → B jest tezą rachunku zdań i wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to także wyrażenie postaci B jest tezą rachunku zdań.

Reguła zastępowania brzmi następująco: jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań to tezą rachunku zdań jest także wyrażenie postaci B powstałe z A przez zastąpienie występującego w A wyrażenia rachunku zdań innym wyrażeniem rachunku zdań odpowiadającym mu na podstawie następujących definicji:

Definicja dowodu dłuższa (pierwsza): dowodem wyrażenia W, na gruncie aksjomatów 1, 2 i 3, w oparciu o reguły podstawiania, odrywania i zastępowania, jest ciąg wyrażeń rachunku zdań, taki, że każde wyrażenie tego ciągu albo jest jednym z aksjomatów 1-3, albo powstaje z wcześniejszego wyrażenia ciągu przez zastosowanie reguły podstawiania, albo powstaje z wcześniejszych wyrażenia ciągu przez zastosowanie reguły odrywania, albo powstaje z wcześniejszego wyrażenia ciągu przez zastosowanie reguły zastępowania, a przy tym - ostatnim wyrażeniem tego ciągu jest wyrażenie W.

Dowodzenie danego wyrażenia jest to zabieg konstruowania dowodu owego wyrażenia.

Definicja dowodu krótsza (druga): dowodem wyrażenia W, na gruncie aksjomatów tworzących zbiór A, w oparciu o reguły tworzące zbiór R, jest taki ciąg wyrażeń, że każde wyrażenie tego ciągu albo jest jednym z aksjomatów zbioru A, albo powstaje z wcześniejszych wyrażeń tego ciągu przez zastosowanie którejś z reguł zbioru R, a przy tym - ostatnim wyrażeniem tego ciągu jest wyrażenie W.

Wprowadzenie do rachunku predykatów

Imię własne charakteryzuje się tym, iż ma ono za zadanie oznaczać jakieś indywiduum w celu wyróżnienia go spośród innych obiektów. Każde imię własne oznacza tylko jakiś jeden obiekt.

Deskrypcja jest to wyrażenie będące charakterystyką odnoszącą się do co najwyżej jednego obiektu, które przeto oznacza co najwyżej jeden obiekt.

Terminy jednostkowe to ogólna nazwa dla imion własnych i deskrypcji.

Funktor jednoargumentowy to takie wyrażenie, które z jednym terminem jednostkowym daje jeden termin jednostkowy.

Funktor dwuargumentowy to takie wyrażenie, które z dwoma terminami jednostkowymi daje termin jednostkowy.

Funktor n-argumentowy to takie wyrażenie, które z n-tką terminów jednostkowych daje termin jednostkowy.

Zmienna indywiduowa to takie wyrażenie, za które wolno wstawiać dowolny termin jednostkowy.

Term jest to:

1. Każda zmienna indywiduowa jest termem i każde imię własne jest termem

2. Jeżeli wyrażenia w1,...,wn są termiami, to termem jest także wyrażenie f * (w1,...,wn) (dla każdego k).

*Dorysować n z góry i k z dołu, patrz - strona 50.

Predykat jednoargumentowy to takie wyrażenie, które z jednym terminem jednostkowym daje zdanie.

Predykat dwuargumentowy to takie wyrażenie, które z dwoma terminami jednostkowymi daje zdanie.

Predykat n-argumentowy to takie wyrażenie, które z n-tką terminów jednostkowych daje zdanie.

Formuła zdaniowa atomowa jest to wyrażenie powstałe przez stosowne dołączenie do n-argumentowego predykatu n-tki termów.

Zdanie atomowe jest to wyrażenie powstałe przez stosowne dołączenie do n-argumentowego predykatu n-tki terminów jednostkowych. Są to więc te formuły zdaniowe atomowe, w których nie występują zmienne indywiduowe.

Zbiory

Zbiór w sensie kolektywnym - pewna całość składająca się z przedmiotów będących jej częściami

Zbiór w sensie dystrybutywnym - zbiór pewnych obiektów wyróżnionych w określony sposób

Teoria mnogości (teoria zbiorów) - dział szeroko pojętej logiki zajmujący się badaniem zbiorów

Zbiór pusty - zbiór nie posiadający żadnych elementów

Zbiór x-elementowy - zbiór posiadający x elementów

Zbiór skończony - zbiór posiadający skończoną ilość elementów

Zbiór pełny danej nauki (uniwersum) - zbiór wszystkich przedmiotów badanych przez tę naukę

Rodzina zbiorów - zbiór, którego wszystkie elementy są zbiorami

Zbiory są identyczne, wtedy, gdy mają te same elementy

Jeden zbiór zawiera się w drugim wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element pierwszego jest też elementem drugiego.

Jeden zbiór właściwie zawiera się w drugim wtedy i tylko wtedy, gdy 1) każdy element pierwszego zbioru jest też elementem drugiego i 2) istnieje taki obiekt, który nie jest elementem pierwszego, ale jest elementem drugiego

Dwa zbiory krzyżują się wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki obiekt, który jest elementem każdego z tych zbiorów i istniej taki obiekt, który jest elementem pierwszego, a nie jest elementem drugiego zbioru i jest taki obiekt, który nie jest elementem 1-go, a jest elementem 2-go zbioru.

Dwa zbiory wykluczają się wtedy i tylko wtedy, gdy nie mają one wspólnych elementów.

Dany obiekt należy do sumy zbiorów, gdy jest elementem chociaż jednego z nich.

Dany obiekt należy do iloczynu zbiorów, gdy jest elementem każdego z tych zbiorów.

Dany obiekt należy do różnicy dwóch zbiorów, gdy jest elementem pierwszego zbioru, a nie jest elementem drugiego zbioru.

Dany obiekt należy do dopełnienia zbioru, gdy jest on elementem zbioru pełnego U (uniwersum), a nie jest elementem zbioru Z.

Podziałem zbioru nazywamy tylko taki zabieg wyróżniania jego podzbiorów, który spełnia dwa wymogi, a mianowicie wymóg rozłączności i wymóg adekwatności. Zabieg wyróżniania podzbiorów danego zbioru spełnia wymóg rozłączności wtedy, gdy dowolne dwa wyróżnione podzbiory są wzajem rozłączne, to znaczy, wzajemnie wykluczają się. Z kolei zabieg wyróżniania podzbiorów danego zbioru spełnia wymóg adekwatności, zwany również wymogiem zupełności, wtedy gdy suma wszystkich wyróżnionych podzbiorów jest identyczna ze zbiorem, z którego wyróżniono owe podzbiory.

Zbiór dzielony jest to zbiór, z którego wyróżnia się podzbiory, dokonując jego podziału. Wyróżnione z niego podzbiory nazywamy członami podziału.

Podziałem nieskończonym nazywamy podział danego zbioru na nieskończenie wiele członów.

Podziałem skończonym nazywamy podział danego zbioru na skończenie wiele członów.

Podział wedle pewnej zasady polega na wyróżnieniu w zbiorze dzielonym członów zawierających elementy posiadające tą samą odmianę cechy będącej zasadą podziału.

Człony podziału przeprowadzonego wedle pewnej zasady nazywają się zbiorami współrzędnymi ze względu na tę zasadę.

Podział dychotomiczny polega na wyróżnieniu w zbiorze dzielonym członu składającego się z elementów posiadających określoną cechę i członu składającego się z pozostałych elementów, nie mających owej cechy.

Podział uchodzi za naturalny z danego punktu widzenia, gdy w poszczególnych jego członach znajdują się obiekty z tego punktu widzenia bardziej do siebie podobne niż obiekty należące do rożnych członów.

Podział uchodzi za sztuczny z danego punktu widzenia, gdy w poszczególnych jego członach znajdują się obiekty z tego punktu widzenia mniej do siebie podobne niż obiekty należące do rożnych członów.

Każdy podział zbioru stanowi jego jednostopniową klasyfikację.

Jeżeli każdy z członów jednostopniowej klasyfikacji poddamy podziałowi otrzymamy klasyfikację dwustopniową, potem trzystopniową etc.

Relacje

Obiekty, między którymi zachodzi dana relacja, nazywamy członami.

Relacje jednoczłonowe nazywamy cechami.

Relacje x-członowe zachodzą zawsze między x obiektami.

Dziedziną relacji R nazywamy zbiór wszystkich tych obiektów, które pozostają w relacji R do pewnych obiektów. Dziedzinę relacji R oznaczamy symbolem „D(R)”

Przeciwdziedziną relacji R nazywamy zbiór wszystkich obiektów, do których pewne obiekty pozostają w relacji R.

Sumę dziedziny i przeciwdziedziny relacji R nazywamy polem relacji R.

Relacja jest zwrotna, gdy każdy obiekt pozostaje w niej do samego siebie.

Relacja R jest zwrotna w zbiorze Z, gdy każdy element tego zbioru pozostaje w niej do s. siebie.

Relacja R jest niezwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że każdy element tego zbioru pozostaje w niej do samego siebie.

Relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy żaden element tego zbioru nie pozostaje w niej do samego siebie.

Relacja R jest symetryczna w zbiorze Z wtedy, gdy zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru, zachodzi też między elementem y oraz elementem x.

Relacja R jest niesymetryczna w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru, zachodzi też między elementem y oraz elementem x.

Relacja R jest przeciwsymetryczna w zbiorze Z wtedy, gdy zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru, nie zachodzi między elementem y oraz elementem x.

Relacja R jest przechodnia w zbiorze Z wtedy, gdy dla wszelkich jego trzech elementów, ilekroć zachodzi ona między pierwszym a drugim z nich i zachodzi między drugim a trzecim z nich, to zachodzi też między pierwszym a trzecim z nich.

Relacja R jest nieprzechodnią w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że ilekroć zachodzi ona między dowolnymi dwoma elementami i zachodzi między tymże drugim a dowolnym trzecim jego elementem, to zachodzi ona też między owym pierwszym a tym trzecim jego elementem.

Relacja R jest przeciwprzechodnia w zbiorze Z wtedy, gdy dla wszystkich jego trzech elementów, ilekroć zachodzi ona między pierwszym a drugim z nich i zachodzi między drugim a trzecim z nich, to nie zachodzi między pierwszym a trzecim z nich.

Relacja R1 jest konwersem relacji R2 wtedy, gdy dla dowolnych dwóch elementów relacja R1 zachodzi między pierwszym a drugim z nich wtedy i tylko wtedy, gdy relacja R2 zachodzi między drugim a pierwszym z nich.

Relacja R1 jest iloczynem względnym relacji R2 i R3 wtedy, gdy zachodzi ona między jednym a drugim obiektem, tylko gdy istnieje taki przedmiot, że pierwszy obiekt pozostaje w relacji R2 do tego przedmiotu, a przedmiot ten pozostaje w relacji R3 do drugiego obiektu.

Relacją równościową (równoważnościową) w zbiorze nazywamy taką relację, która jest w tym zbiorze jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Przy założeniu, że relacja R jest równościowa w zbiorze Z, do którego należy element x, to zbiór wszystkich tych elementów zbioru Z, które pozostają w relacji R do x-a, nazywamy klasą abstrakcji od x-a w zbiorze Z, ze względu na relację R.

Relacja R jest spójna w zbiorze Z wtedy, gdy zachodzi ona między wszelkimi dwoma różnymi jego elementami.

Relacją liniowo porządkującą zbiór nazywamy relację, która jest w tym zbiorze jednocześnie spójna, przechodnia i przeciwsymetryczna. Często nazywa się ją relacją porządkującą ów zbiór.

Dwuczłonowa relacja R jest funkcją jednoargumentową, gdy każdy element jej dziedziny pozostaje w niej do jednego tylko elementu przeciwdziedziny.

Zbiór argumentów funkcji jest to dziedzina dwuczłonowej relacji będącej jednoargumentową funkcją.

Zbiór wartości danej funkcji jest to przeciwdziedzina dwuczłonowej relacji będącej jednoargumentową funkcją.

Relacja jednojednoznaczna - do jed. elem. przeciwdziedziny tylko jeden elem. dziedziny.

Język

Reguły ustalające słownik danego języka są to reguły wyznaczające podstawowe wyrażenia języka nazywane słowami.

Reguły gramatyczne są to reguły interweniujące przy budowie zdań. Dzielą się na reguły ustalające kategorie gramatyczne i reguły ustalające sposób budowania wyrażeń złożonych z wyrażeń o określonych kategoriach gramatycznych.

Reguły ustalające kategorie gramatyczne klasyfikują poszczególne słowa oraz złożone wyrażenia danego języka jako elementy określonych jego kategorii gramatycznych.

Kategoria gramatyczna danego języka jest to zbiór wszystkich wyrażeń określonego języka, które pozwalają się wzajemnie zastępować w dowolnym zdaniu owego języka, dając w efekcie zdanie danego języka.

Reguły ustalające sposób budowania wyrażeń złożonych z wyrażeń o określonych kategoriach gramatycznych ustalają sposób łączenia wyrażeń prostszych w wyrażenia bardziej złożone.

Reguły formowania są to reguły gramatyczne i reguły ustalające ustalające słownik.

Reguły dedukcyjne to reguły wyróżniające pewne zdania określonego języka jako zdania prawdziwe. Dzielą się na reguły aksjomatyczne i reguły inferencyjne.

Tezami danego języka nazywamy zdania wyróżnione dzięki regułom dedukcyjnym jako prawdziwe.

Reguły aksjomatyczne wyróżniają pewne zdania jako prawdziwe niezależnie od wartości logicznej jakichkolwiek innych zdań.

Reguły inferencyjne wyróżniają pewne zdania jako prawdziwe pod warunkiem, że wyróżnione są jako prawdziwe określone inne zdania danego języka.

Bezpośrednia konsekwencja inferencyjna danej tezy jest to zdanie zakwalifikowane jako teza w wyniku jednokrotnego zastosowania jednej reguły inferencyjnej do określonej tezy.

Pośrednia konsekwencja inferencyjna danej tezy to zdanie zakwalifikowane jako teza w wyniku wielokrotnego zastosowania jednej reguły inferencyjnej lub zastosowania wielu reguł inferencyjnych do określonej tezy.

Konsekwencje inferencyjne danej tezy są to bezpośrednie i pośrednie konsekwencje inferencyjne danej tezy.

Tautologie są to zdania powstałe z tez rachunku zdań oraz tez rachunku predykatów.

Ogół tez danego języka tworzą aksjomaty tego języka wespół z ich konsekwencjami inferencyjny.

Reguły składniowe danego języka są to wyznaczające tezy danego języka reguły dedukcyjne wraz z regułami formowania.

Kontrtezy danego języka są to zaprzeczenia tez danego języka.

Kontrtautologie są to zaprzeczenia tautologii.

Reguły semantyczne dokonują stosownego zinterpretowania „czystego rachunku”, języka ukonstytuowanego jedynie przez reguły składniowe; dzielą się na reguły odniesienia przedmiotowego i reguły prawdziwościowe.

Reguły odniesienia przedmiotowego dzielą się na reguły ustalające uniwersum danego języka oraz reguły denotowania.

Uniwersum danego języka nazywamy zbiór obiektów, do którego odnosi się dany język oraz którego właściwości i wzajemne powiązania ów język opisuje.

Reguły denotowania są to reguły przyporządkowujące poszczególnym wyrażeniom określone obiekty.

Reguły prawdziwościowe określają warunki, pod jakimi poszczególne zdania danego języka są zdaniami prawdziwymi; jest to obok reguł odniesienia przedmiotowego druga grupa reguł semantycznych.

Zdanie Z1 danego języka jest równoznaczne ze zdaniem Z2 tego języka wtedy, gdy tezą owego języka jest implikacja, której poprzednik stanowi zdanie Z1, a następnik stanowi zdanie Z2, oraz tezą tego języka jest implikacja, której poprzednik stanowi zdanie Z2, a następnik stanowi zdanie Z1. Innymi słowy, dwa zdania Z1 i Z2 danego języka są równoznaczne, gdy zdania postaci

Z1 → Z2 oraz Z2 → Z1 są tezami tego języka. c.d. Na następnej stronie

Język c.d.

Niezdaniowe wyrażenie W1 jest równoznaczne w danym języku z niezdaniowym wyrażeniem W2 wtedy, gdy wszelkie dwa zdania tego języka - tym się tylko różniące, że w jednym z nich występuje wyrażenie W1, a w drugim występuje wyrażenie W2, - są równoznaczne. Innymi słowy, dwa niezdaniowe wyrażenia są równoznaczne, gdy każda para zdań różniących się tylko tymi dwoma wyrażeniami, a identycznych w pozostałych swych fragmentach, jest parą zdań równoznacznych.

Znaczenie określonego wyrażenia w danym języku to własność przysługująca temu wyrażeniu oraz wszystkim wyrażeniom owego języka z nim równoznacznym. Inaczej mówiąc, znaczeniem określonego wyrażenia w danym języku nazywamy własność przysługującą się wszystkim elementom klasy abstrakcji od tego wyrażenia ze względu na relację równoznaczności.

Ze zdań Z1, Z2, … , Zk wynika w danym języku zdanie Zn wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja, której poprzednik tworzy koniunkcja zdań Z1, Z2, … , Zk , a następnik stanowi zdanie Zn, jest tezą tego języka.

Racja* jest to koniunkcja zdań, z których w określonym języku wynika dane zdanie, zaś samo to zdanie nazywamy następstwem.

Ze zdań Z1, Z2, … , Zk wynika logicznie zdanie Zn wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja, której poprzednik tworzy koniunkcja zdań Z1, Z2, … , Zk , a następnik stanowi zdanie Zn, jest tautologią.

Racja logiczna jest to koniunkcja zdań, z których wynika logicznie dane zdanie.

Następstwo logiczne to zdanie wynikające logicznie z owej koniunkcji.

Język J jest fragmentem języka J' wtedy, gdy:

1. zbiór reguł słownikowych języka J jest podzbiorem właściwym zbioru reguł słownikowych języka J'.

2. zbiory reguł gramatycznych, dedukcyjnych i semantycznych języka J są podzbiorami zbiorów reguł - odpowiednio - gramatycznych, dedukcyjnych i semantycznych języka J'.

Innymi słowy, język J jest fragmentem języka J' wtedy, gdy spełnione są łącznie dwa warunki. Po pierwsze, wszystkie reguły słownikowe języka J są również regułami słownikowymi języka J', ale nie odwrotnie. Zatem język J' konstytuuje więcej reguł słownikowych, czyli jest on bogatszy w słownictwo od języka J. Po drugie, konstytuujące język J reguły wszystkich pozostałych typów konstytuują także język J'. Nie przesądza się przy tym, czy język J' jest bogatszy od języka J w reguły tych pozostałych typów, czy też w tym względzie języki te są tożsame.

Język J jest jednorodny gramatycznie z językiem J' wtedy, gdy:

1. zbiór reguł formowania języka J jest identyczny ze zbiorem reguł formowania języka J',

2. zbiór reguł dedukcyjnych języka J różni się od zbioru reguł dedukcyjnych języka J'.

Innymi słowy, język J jest jednorodny gramatycznie z językiem J' wtedy, gdy spełnione są łącznie dwa warunki. Po pierwsze, wszystkie reguły formowania języka J są też regułami formowania języka J' i odwrotnie. Języki te mają więc jednakowe słownictwo i dają się w nich budować takie same wyrażenia złożone. Po drugie, języki te różnią się zestawem reguł dedukcyjnych. W efekcie różnią się one zestawem przyjmowanych w nich tez. Zauważmy, że w powyższym określeniu nie wspomina się o regułach semantycznych. Różnice między regułami dedukcyjnymi dwóch języków mogą być bowiem tego rodzaju, iż wymuszają różnice w konstytuujących te języki regułach semantycznych. Jednakże różnice między regułami dedukcyjnymi dwóch języków mogą być również i tego rodzaju, że nie wymuszają różnic w regułach semantycznych. Nie jest więc wykluczone, że dwa języki jednorodne gramatycznie różnią się tylko zestawami konstytuujących je reguł dedukcyjnych, a mają identyczne reguły formowania i identyczne reguły semantyczne.

Język J jest metajęzykiem języka J' wtedy, gdy:

1. dla każdego wyrażenia języka J' występuje w języku J termin jednostkowy, oznaczający to wyrażeniem

2. dla każdego wyrażenia języka J' występuje w języku J wyrażenie stanowiące jego przekład.

Innymi słowy - w podręczniku na stronie 156, bo miejsca na stronie już brakuje :-P .

Definicje

(od autora: z tym rozdziałem to jednak zdecydowanie polecam podręcznik - sporo rzeczy jest mocno zamotanych i nie dających się, nomen omen, zdefiniować).

Definicja metajęzykowa to definicja, w której język, w którym została ona sformułowana, jest metajęzykiem języka, dla którego jest owa definicja sformułowana.

Definicja przedmiotowa to definicja, w której język, w którym została ona sformułowana, jest tym samym językiem, dla którego jest owa definicja sformułowana.

Definicje ze względu na budowę dzielimy na definicje równościowe i definicje nierównościowe.

Definicja równościowa jest to definicja o postaci równoważności albo identyczności; składa się ona z trzech części: definiendum, definiens i spójka definicyjna (brak konkretnej definicji tych trzech - aby ogarnąć trzeba zajrzeć na strony 166-167). Ze względu na stosunek wyrażenia definiowanego do definiendum definicje równościowe dzielą się na definicje wyraźne i definicje kontekstowe.

Definicja wyraźna to definicja równościowa, w której wyrażenie definiowane jest identyczne z definiendum (w definiendum znajduje się wyłącznie wyrażenie definiowane).

Definicja kontekstowa to definicja równościowa, w której wyrażenie definiowane nie jest identyczne z definiendum (definiendum stanowi kontekst zawierający w sobie wyrażenie definiowane).

Definicja przez abstrakcję to szczególna odmiana definicji kontekstowej, która wiąże się z pewną relacją równościową (patrz strona 168, bo zamotane to trochę jest).

Definicje nierównościowe to między innymi definicje cząstkowe, definicje indukcyjne, definicje przez postulaty czy też definicje ostensywne.

Definicja cząstkowa to zdanie o postaci implikacji albo sekwencja dwóch zdań o postaci implikacji; wyrażeniem definiowanym jest zawsze predykat; podaje ona warunek wystarczający albo warunek konieczny, albo też warunek wystarczający i warunek konieczny stosowalności definiowanego wyrażenia.

Definicja indukcyjna, zwana też definicją rekurencyjną, zbudowana jest z dwóch części, a mianowicie z warunku wstępnego i z warunku indukcyjnego.

Warunek wstępny jest częścią definicji indukcyjnej; jest to zdanie, w którym podaje się najprostszy kontekst, w którym występuje wyrażenie definiowane.

Warunek indukcyjny jest częścią definicji indukcyjnej; jest to zdanie, w którym zawarta jest zasada przekształcania bardziej złożonych kontekstów zawierających wyrażenia definiowane w wyrażenia prostsze.

Definicja przez postulaty, zwana definicją aksjomatyczną, to definicja składająca się z dwóch lub więcej zdań zawierających definiowane wyrażenie; każde z tych zdań uznaje się za prawdziwe. Zdania tworzące definicję przez postulaty muszą być tak dobrane, aby ich łączna prawdziwość wyznaczała tylko jedno znaczenie zawartego w nich wyrażenia definiowanego.

Definicje ze względu na realizowane przez nie zadania dzielimy na definicje sprawozdawcze i definicje projektujące.

Definicja sprawozdawcza danego wyrażenia dla określonego, zastanego języka, jest to taka definicja, która informuje o znaczeniu, jakie definiowane wyrażenie ma już w tym języku. Nazywa się ją również definicją analityczną.

Definicja projektująca danego wyrażenia dla określonego, budowanego właśnie języka jest to taka definicja, która informuje o znaczeniu, jakie definiowane wyrażenie będzie mieć w tym języku. Nazywa się ją również definicją syntetyczną. Definicje projektujące dzielimy na definicje konstrukcyjne i definicje regulujące.

Definicja konstrukcyjna to definicja projektująca danego wyrażenia dla określonego, budowanego właśnie języka, która nie liczy się ze znaczeniem, jakie wyraz definiowany ma - ewentualnie - w języku, na bazie którego powstaje budowany język.

Definicja regulująca to definicja projektująca danego wyrażenia dla określonego, budowanego właśnie języka, która liczy się ze znaczeniem, jakie wyraz definiowany ma w języku, na bazie którego powstaje budowany język. c.d. Na następnej stronie

Definicje c.d.

Eksplikacja to szczególna odmiana definicji projektujących(brak konkretnej definicji,patrz str180).

Eksplikandum to wyrażenie poddane eksplikacji.

Eksplikatum to wyrażenie definiowane w eksplikacji.

Definicja ostensywna, zwana też definicją dejktyczną, to definicja składająca się z wyrażeń oraz towarzyszących ich wypowiadaniu gestów pokazywania; wyrażenia te zawierają wyrażenie definiowane w postaci niezaprzeczonej oraz zaprzeczonej. Wypowiadaniu pierwszego z nich towarzyszy gest pokazywania pozytywnych wzorców stosowania definiowanego wyrażenia; wypowiadaniu drugiego z nich towarzyszy gest pokazywania negatywnych wzorców stosowania definiowanego wyrażenia. Definicje ostensywne kwalifikuje się jako jedną z odmian definicji nierównościowych.

Definicja perswazyjna jest to definicja , której zadanie polega na zmienianiu określonej postawy ocennej jej odbiorcy.

Nieznane przez nieznane jest to jeden z błędów popełnianych w definiowaniu (patrz str. 185).

Błędne koło jest to jeden z błędów popełnianych w definiowaniu; dzieli się na błędne koło bezpośrednie i błędne koło pośrednie.

Błędne koło bezpośrednie polega na tym, iż wyrażenie definiowane występuje nie tylko w definiendum, gdzie jest jego miejsce, ale także w definiensie, gdzie nie powinno się pojawić.

Błędne koło pośrednie to błąd obarczający nie jedną definicję, ale cały ich zestaw; polega on na tym, że wyrażenie pierwotnie definiowane zostaje użyte dla zdefiniowania wyrażenia je definiującego (od autora: fajny przykład w podróży 14 w „Dziennikach gwiazdowych” S. Lema).

Błąd sprzeczności dotyka współtworzącą nowy język definicję, gdy wśród tez języka wyjściowego nie ma zdań wzajem sprzecznych, a wśród tez języka nowego są zdania wzajem sprzeczne (s. 187).

Błąd nieadekwatności, gdy definicja sprawozdawcza nienależycie informuje o znaczeniu definiowanego w niej wyrażenia; nieadekwatność przejawia się na kilka sposobów, w tym gdy jest definicją za szeroką, definicją za wąską lub definicją krzyżującą (s. 188).

Wnioskowania

Wnioskowanie jest to rozumowanie, w którym na podstawie pewnych przekonań dochodzi się do jakiegoś przekonania.

Przesłanka danego wnioskowania jest to zdanie wyrażające jedno z jego przekonań wyjściowych.

Wniosek danego wnioskowania jest to zdanie wyrażające przekonanie, do którego dochodzi się w danym wnioskowaniu.

Przesłanka entymematyczna to domyślna, nie odtworzona przesłanka zrekonstruowanego wnioskowania.

Wnioskowanie entymematyczne to zrekonstruowane wnioskowanie, zawierające choć jedną przesłankę entymematyczną.

Wnioskowanie dedukcyjne jest to takie wnioskowanie, z którego przesłanek wynika logicznie wniosek.

Wnioskowanie dedukcyjne entymematyczne to wnioskowanie, w którym wniosek wynika logicznie z jego przesłanek zrekonstruowanych i przesłanek entymematycznych.

Wnioskowanie niededukcyjne jest to takie wnioskowanie, z którego przesłanek nie wynika logicznie wniosek. Wiele z takich wnioskowań jest bezwartościowych poznawczo.

Wnioskowanie redukcyjne jest to takie wnioskowanie niededukcyjne, którego przesłanki wynikają logicznie z wniosku albo też którego pewne przesłanki wynikają logicznie z koniunkcji wniosku i innych jego przesłanek.

Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną niezupełną jest to wnioskowanie niededukcyjne, w którym dochodzi się do wniosku opisującego jakąś ogólną prawidłowość, wychodząc od przesłanek opisujących jednostkowe przypadki tej prawidłowości.

Wnioskowanie przez analogię jest to wnioskowanie niededukcyjne w którym:

1. od przesłanek przypisujących wskazanym obiektom jakiegoś rodzaju pewną cechę dochodzi się do wniosku, przypisującego tę cechę kolejnemu obiektowi tego rodzaju.

2. od przesłanek konstatujących podobieństwo pod względem pewnych cech dwóch wskazanych obiektów dochodzi się do wniosku konstatującego podobieństwo tych obiektów pod względem jeszcze jednej cechy.

Błąd materialny we wnioskowaniu występuje wtedy, gdy choć jedna z jego przesłanek jest zdaniem fałszywym.

Błąd bezpodstawności (petitio principii - „żądanie podstawy”) we wnioskowaniu występuje wtedy, gdy choć jedna z jego przesłanek jest zdaniem bezpodstawnym.

Błąd formalny we wnioskowaniu występuje wtedy, gdy wedle wnioskującego jest ono wnioskowaniem dedukcyjnym, a w rzeczywistości z przesłanek tego wnioskowania nie wynika logicznie jego wniosek.

Błędne koło we wnioskowaniu (w jego najprostszej postaci) występuje wtedy, gdy wniosek tego wnioskowania jest identyczny z którąś z jego przesłanek.

---