ALGEBRA LINIOWA

Literatura:

S.Kowalski „Algebra liniowa” - skrypt

Ciąg ( skończony )

Ciągi ( podwójne ) =: macierze

a_wk

w Є { 1,2, ..... m } - wiersze

k Є { 1,2, ..... n } - kolumny

macierz kwadratowa ( w = k )

DZIAŁANIA NA MACIERZACH

Dodawanie ( warunek równości wymiarów )

Macierz zerowa - wszystkie elementy równe 0 ( element metody dodawania )

Transponowanie macierzy ( A^T ) - zamiana wiersz na kolumny

( A + B )^T = A^T + B^T

MNOŻENIE PRZEZ LICZBY

Liczba mnożona jest przez wszystkie elementy macierzy

( α * A )^T = α^T * A^T

MNOŻENIE MACIERZY

Definicja mnożenia macierzy

Mnożenie macierzy nie jest przemienne

Stopień macierzy - ilość jedynek po przekątnej

MACIERZE KWADRATOWE

Wyznacznik macierzy

Schemat Sarrusa ( tylko do wyznaczników stopnia trzeciego )

Algorytm CHIO

Rozwinięcie Laplase'a

Algorytm CHIO

Wyznaczniki w arkuszach kalkulacyjnych

Excel

Berive

ZASTOSOWANIA

Odwracanie macierzy

Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jej wyznacznik jest różny od 0

Wzór

M_rs - minor ( wyznacznik ) bez r-tego wiersza s-tej kolumny

A - macierz nie jest odwracalna ( det A = 0 )

B - macierz jest odwracalna (
)

Sprawdzenie wyniku

RÓWNANIA LINIOWE

2x-y=2 - wykresem jest prosta ( w R² )

2x+y+3z=5 - wykresem jest płaszczyzna ( w R³ )

- wykresem jest płaszczyzna w ( R^n-1)

Inny zapis ( macierzowy )

- układ równań liniowych

- macierz rozszerzona

Układy Cramera

- postać macierzowa

- mam dwie metody

1. metoda wzorów Cramera

2. metoda wzorów macierzowych

- kolumnę pierwszą zamieniamy kolumną wyrazów wolnych

- kolumnę drugą zamieniamy kolumną wyrazów wolnych

- kolumnę trzecią zamieniamy kolumną wyrazów wolnych

Metoda macierzy odwrotnych

Eliminacja Gaussa

Operacje elementowe

- zamiana r-tego równania z s-tym

- r-te równanie pomnożone przez

- r-te równanie pomnożone przez
dodajemy do s-tego

- macierz rozszerzona
Macierz występuje w postaci normalnej jeżeli:

• pierwszy niezerowy element wiersza jest

• jeżeli w kolumnie jest to pozostałe elementy tej kolumny są zerami

• przemieszcza się schodkowo w prawo

• wiersze zerowe są po niezerowych

- macierz jest w postaci normalnej

- postać normalna

Rząd macierzy

1. Liczba niezerowa wierszy w postaci normalnej tych macierzy

2. 
   w macierzy A istnieje niezerowy minor stopnia K oraz nie istnieją niezerowe minory stopnia wyższego

Odp: rząd macierzy równy 3

Przykład:

- wszystkie macierze 3-go stopnia są zerowe

Odp: rząd macierzy = 2 rzB=2

Twierdzenie ( Konecker, Capelli)

Układ równań A*X=B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy

2000-09-15

Przestrzenie liniowe

- zbiór macierzy K=1 ( kolumnowy )

R³

Macierz kolumnowa - wektor

- C jest kombinacją liniową wektorów a i b

wtedy i tylko wtedy gdy istnieją liczby
i
takie, że

- współczynniki kombinacji

Przedstaw wektor
w postaci kombinacji liniowej wektorów

Przestrzenie z iloczynem skalarnym

1. 
   - długość ( norma )

2. 
   - ortogonalność

3. 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Pole równe jest pierwiastkowi z wyznacznika

Ortogonalizacja bazy metodą Gramma - Smidtha

- baza

Czy to jest baza ?

( największy niezerowy minor macierzy )

Jeżeli rząd macierzy jest równy liczbie generatorów to jest to baza, jeżeli rząd macierzy jest mniejszy od liczby generatorów to nie jest to baza.

Nowa baza ( ortogonalna )

1. I wektor
   O₁ wybieramy dowolnie spośród wektorów bazy B. Np.
   

2. II wektor O₂ określa się następująco
   
   z warunkiem
   ( ortogonalny )
   
   

I₃- macierz jednostkowa 3-go stopnia

Macierz jednostkowa stopnia 2-go

determinanta

Macierz dołączona

A^d, A^D, adj A

macierz

główna

macierz

niewiadoma

kolumna wyrazów wolnych

wyrazy wolne

macierz kwadratowa

Wzory Cramera

skalary

b

a

a

b

w kolumnach są generatory

c

---