Analiza matematyczna 1/Wykład 5: Obliczanie granic

Obliczanie granic

Wykład ten jest kontynuacją poprzedniego wykładu dotyczącego ciągów o wyrazach rzeczywistych. Wykład rozpoczynamy od definicji liczby jako granicy pewnego ciągu. Podajemy twierdzenia o arytmetyce granic niewłaściwych i liczymy pewne granice specjalne. Wprowadzamy pojęcia granicy dolnej i granicy górnej ciągu.

[Edytuj]

Liczba e

Zajmiemy się teraz pewnym przykładem ciągu zbieżnego, którego granica odgrywa ważną rolę w matematyce.

Twierdzenie 5.1. [Liczba , symbol ]

(1) Ciąg o wyrazach jest zbieżny.
Jego granicę oznaczamy przez przy czym

(2) Jeśli jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że to

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, którego dowód indukcyjny zostawiamy jako proste ćwiczenie.

Lemat 5.2.

Dla każdego mamy

Dowód 5.2.

(Ad (1))
Krok 1. Pokażemy, że ciąg jest rosnący. W tym celu dla dowolnego obliczymy iloraz:

Stosując nierówność Bernoullego

(patrz uwaga 2.16.) z oraz dostajemy

Pokazaliśmy zatem, że

czyli ciąg jest rosnący.

Krok 2. Pokażemy, że ciąg jest ograniczony. Ponieważ jest to ciąg liczb dodatnich, więc wystarczy pokazać, że jest on ograniczony z góry. Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz twierdzenie 1.40.), mamy

Korzystając z Lematu lematu 5.2., mamy

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz przyklad 1.12.), dostajemy

Pokazaliśmy zatem, że

czyli że ciąg jest ograniczony.
Krok 3. Ponieważ ciąg jest rosnący i ograniczony, więc korzystając z twiedzenia 4.15., wnioskujemy, że jest on zbieżny.

(Ad (2)) [Dowód nadobowiązkowy]

Niech oraz Zauważmy, że

Niech będzie dowolnym ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że W celu udowodnienia naszego twierdzenia skorzystamy z twierdzenia 3.25.(5). W tym celu weźmy dowolny podciąg ciągu

Wybierzmy z kolei podciąg ciągu który jest monotonicznie rosnący do oraz taki, że

oraz

Dla każdego wyraz jest zawarty w pewnym przedziale o końcach naturalnych (przy czym ciąg jest silnie rosnący). Korzystając z monotoniczności funkcji potęgowej oraz funkcji wykładniczej (o podstawie większej od ), mamy

gdzie zbieżności ciągów i do liczby wynikają z faktów, iż są to podciągi ciągów
i mających granicę Zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (twierdzenia 4.11.), wnioskujemy, że

Ponieważ wystartowaliśmy od dowolnego podciągu ciągu zatem korzystając z twierdzenia 3.25.(5), dostajemy, że

Kolejne twierdzenie będzie przydatne przy wyznaczaniu pewnych granic ciągów. Jego dowód jak i zastosowania pozostawione są na ćwiczenia (patrz zadanie 5.6.).

Twierdzenie 5.3.

Jeśli jest ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy ), to
(1) jeśli to ;
(2) jeśli to

[Edytuj]

Arytmetyka granic niewłaściwych

Analogicznie do twierdzeń o "arytmetyce" granic (twierdzenie 4.9.), można sformułować cały szereg twierdzeń dotyczący "arytmetyki" granic niewłaściwych. Poniższe twierdzenie zbiera informacje dotyczące granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów, gdy przynajmniej jeden z ciągów ma granicę niewłaściwą. Podamy dowód jednego z poniższych punktów. Pozostałe dowody można zrobić analogicznie.

Twierdzenie 5.4. [O "arytmetyce" granic niewłaściwych]

(1) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie to

(2) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie to

(3) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie to

(4) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie to

(5) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i oraz dla to

(6a) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie oraz dla to

(6b) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie oraz dla to

(7a) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie oraz dla to

(7a) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie oraz dla to

(8a) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie oraz dla to

(8b) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie oraz dla to

(9a) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie to

(9b) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie to

(10) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie to

(11) dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi, że i gdzie to

Dowód 5.4.

(Ad (1)) Załóżmy, że

Ustalmy dowolne Ponieważ (gdzie ), więc ciąg jest ograniczony od dołu, to znaczy

Ponieważ więc

Zatem dla dowolnego mamy

Ponieważ było wybrane dowolnie, więc pokazaliśmy, że

zatem udowodniliśmy, że

Uwaga 5.5. [Symbole nieoznaczone]

Dla pewnych działań na ciągach nie można z góry przewidzieć, jaka jest granica "wynikowa" mimo, że znane są granice poszczególnych ciągów. Dla przykładu rozważmy dwa ciągi i rozbieżne do i zbadajmy ich różnicę Okazuje się, że w zależności od konkretnych ciągów i ich różnica może mieć granicę właściwą lub niewłaściwą lub nie mieć granicy. Mówimy wówczas, że jest symbolem nieoznaczonym. Oznacza to w szczególności, że dla takiego symbolu nie możemy sformułować twierdzenia analogicznego do twierdzenia 5.4..
Mamy siedem takich symboli nieoznaczonych:

Przykład 5.6.

Dla każdego z powyższych symboli nieoznaczonych podamy przykłady ciągów mających granicę, dających w wyniku wykonania wskazanych działań ciągi o różnych granicach lub bez granicy.

[Edytuj]

Granice specjalne

W następnym lemacie podamy pewne nierówności liczbowe przydatne w następnym twierdzeniu.

Lemat 5.7.

Zachodzą następujące nierówności liczbowe:
(1)
(2)

Dowód 5.7. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Wobec rysunku znajdującego się obok mamy następujące nierówności między polami:

gdzie:
oznacza pole trójkąta
oznacza pole wycinka koła
oznacza pole trójkąta

Podstawiając wzory na poszczególne pola, dostajemy:

Zatem

Zatem dla nierówność (1) jest udowodniona. Zauważmy, że dla zachodzi równość, natomiast dla nierówność jest oczywista, gdyż Zatem pokazaliśmy nierówność (1) dla dowolnego
(Ad (2)) Powróćmy raz jeszcze do wyprowadzonych w pierwszej części nierówności

Pierwsza z powyższych nierówności implikuje, że

Druga z powyższych nierówności implikuje, że

Zatem łącząc dwie otrzymane nierówności, dostajemy

przy czym

(gdzie wykorzystaliśmy udowodnioną już nierówność ). Zatem ostatecznie

skąd dostajemy dowodzoną nierówność

Podamy teraz granice pewnych funkcji specjalnych. Znajomość tych granic będzie przydatna do rozwiązywania zadań.

Twierdzenie 5.8. [Granice specjalne]

(1)

(2) jeśli oraz to ;

(3) jeśli to ;

(4) jeśli to ;

(5) ;

(6) jeśli to

(7) .

(8)

gdzie jest dowolnym ciągiem takim, że

Dowód 5.8. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Gdy to mamy do czynienia z symbolem (z ). Z twierdzenia 5.4. (11) wynika, że

Gdy to ciąg jest stały oraz

Gdy to mamy do czynienia z symbolem (z ). Z twierdzenia 5.4. (10) wynika, że
(Ad (2)) Niech dla Liczymy

Ponieważ więc Korzystając z twierdzenia 5.3., wnioskujemy, że
(Ad (3)) Na początku policzmy granicę ciągu gdzie (gdzie ). Policzmy

Z (1) wiemy, że ostatni ciąg dąży do zatem Korzystając z Twierdzenia twierdzenia 5.3., wnioskujemy, że Z kolei korzystając z twierdzenia 4.9. (7), wnioskujemy, że
(Ad (4)) Przypadek Gdy

Wówczas jest ciągiem niemalejącym i ograniczonym, zatem zbieżnym (z twierdzenia 4.15.) oraz

(patrz twierdzenie 4.14.). Zatem a więc

Pokażemy, że Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że Wówczas przechodząc do granicy w powyższej nierówności dostajemy

sprzeczność z założeniem, że Zatem i
Przypadek Gdy

Wówczas więc z udowodnionej już części dostajemy, że

skąd wynika, że

(Ad (5)) Ustalmy dowolny Oznaczmy Ponieważ

zatem

Korzystając z (4), wiemy, że zatem

Niech Wówczas dla dowolnego mamy

czyli

Ponieważ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

zatem
(Ad (6)) Gdy to mamy znany nam ciąg geometryczny zbieżny do zera (patrz przykład 3.22.).

Gdy to ciąg jest ciągiem stałym, którego wszystkie wartości wynoszą zatem

Gdy to dla dowolnej liczby ustalając dla każdego mamy

zatem pokazaliśmy, że

co oznacza, że

Gdy to zauważmy, że oraz (dla dowolnego ). Zatem ciąg nie ma granicy (ani właściwej ani niewłaściwej).
(Ad (7)) Wykorzystamy tu lemat 5.7. Podstawiając w nierówności z lematu, mamy

Ponieważ więc korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, mamy

a zatem

co należało dowieść.
(Ad (8)) Ponieważ więc od pewnego miejsca wyrazy ciągu są w przedziale to znaczy

Z lematu 5.7 wnioskujemy zatem, że

Ponieważ mamy więc korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, mamy

a zatem

co należało dowieść.

[Edytuj]

Granica górna i granica dolna

Jak już wiemy nie wszystkie ciągi mają granicę. Na przykład ciągi i nie mają granic nawet niewłaściwych. Zauważmy jednak, że z tych ciągów można wybrać podciągi, które mają granice (właściwe lub niewłaściwe) (na przykład i ).

Co więcej, z poprzedniego wykładu (patrz wniosek 4.18.) wiemy, że z każdego ciągu liczbowego można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą). Takie , które są granicami jakichś podciągów danego ciągu będziemy nazywać punktami skupienia wyjściowego ciągu.

Postawmy następującą definicję. Definicja 5.9.

Niech będzie ciągiem.
(1) Mówimy, że jest punktem skupienia ciągu jeśli istnieje podciąg taki, że
(2) Granicą dolną ciągu nazywamy

gdzie jest zbiorem punktów skupienia ciągu
(3) Granicą górną ciągu nazywamy

gdzie jest zbiorem punktów skupienia ciągu

{{przyklad|5.10.||

Obliczyć granicę dolną i górną dla ciągu gdzie

Ponieważ (patrz twierdzenie 5.8. (7)), oraz zatem jedynymi punktami skupienia ciągu są liczby i Zatem

Dla ciągów zbieżnych zarówno granica górna jak i granica dolna są równe granicy. Okazuje się, że jest również na odwrót, to znaczy, jeśli policzymy granicę dolną i granicę górną i okaże się, że są sobie równe, to ten ciąg jest zbieżny. Dokładniej, zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 5.11.

Jeśli jest ciągiem liczbowym, to ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy

Dowód 5.11. [nadobowiązkowy]

Niech będzie ciągiem liczbowym.
"":
Jeśli to dla dowolnego podciągu ciągu także (patrz twierdzenie 3.25.). Zatem jedynym punktem skupienia ciągu jest oraz

co należało pokazać.
"":
Załóżmy teraz, że Oznacza to w szczególności, że jest jedynym punktem skupienia ciągu
Przypadek Załóżmy, że
Należy pokazać, że

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

Możemy wówczas skonstruować podciąg ciągu którego elementy nie leżą w przedziale w następujący sposób:

Z Wniosku wniosek 4.18. wiemy, że z tego ciągu można wybrać podciąg mający granicę (właściwą lub niewłaściwą). Oczywiście , czyli Zatem otrzymaliśmy sprzeczność z faktem, że jest jedynym punktem skupienia ciągu

Przypadek i Załóżmy, że lub
Dowód w tych dwóch przypadkach jest podobny do dowodu przypadku i pozostawiamy go jako ćwiczenie.

@@@@@@@@@@@@@@

Ćwiczenie 5.1.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1)
(2)
(3)

Wskazówka

(1) Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
(2) Rozwiązać analogicznie jak punkt (1).
(3) Podzielić licznik i mianownik przez oraz skorzystać z arytmetyki granic niewłaściwych.

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

Zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że

(2) Ponieważ więc podobnie jak w poprzednim przykładzie mamy

Zatem korzystając z twierdzenie o trzech ciągach, wnioskujemy, że

(3) Dzieląc licznik i mianownik przez oraz korzystając z arytmetyki granic niewłaściwych, mamy

Ćwiczenie 5.2.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) gdzie jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Wskazówka

(1) Wykorzystać znajomość granicy ciągu (patrz twierdzenie 5.1. (2)).
(2)-(3) Wykorzystać punkt (1).
(4) Najpierw obliczyć granicę podstawy potęgi.
(5) Stwierdzić z jakim symbolem nieoznaczonym mamy do czynienia.
(6) Najpierw obliczyć granicę podstawy potęgi.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie 5.1. (2) oraz fakt, że Zauważmy także, że ułamek ma sens przynajmniej od pewnego miejsca, gdyż założenie implikuje, że więc w szczególności

(2) Liczymy

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy udowodniony już punkt (1).

(3) Liczymy

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy udowodniony już punkt (1) oraz twierdzenie o arytmetyce granic.

(4) Ponieważ

więc

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych.

(5) Liczymy

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie 5.1. (2).

(6) Ponieważ

więc

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych (patrz twierdzenie 5.4. (8)).

Ćwiczenie 5.3.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1)
(2)
(3)
(4)

Wskazówka

(1) Skorzystać z granicy specjalnej gdzie
(2) Podobnie jak w punkcie (1).
(3) Najpierw wyznaczyć granicę argumentu funkcji
(4) Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach oraz twierdzenie 5.3.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

gdzie skorzystaliśmy z granicy specjalnej dla (patrz twierdzenie 5.8. (8)).

(2) Liczymy

gdzie skorzystaliśmy z granicy specjalnej dla (patrz twierdzenie 5.8. (8)).

(3) Ponieważ

więc

(4) Zauważmy, że

Niech W celu obliczenia granicy wyliczmy

Zatem korzystając z twierdzenie 5.3. (1), wnioskujemy, że Z kolei z twierdzenia o trzech ciągach i powyższego oszacowania mamy, że

Ćwiczenie 5.4.

Obliczyć granice górne i dolne następujących ciągów:
(1)
(2)
(3)

Wskazówka

(1) Zbadać jak wygląda ciąg
(2) Zbadać jakie wartości przyjmuje ciąg
(3) Zbadać jakie wartości przyjmuje ciąg

Rozwiązanie

Wykres funkcji oraz ciągu

(1) Zauważmy, że dla oraz (patrz ćwiczenie 5.2.).

Zatem dla wyrazów parzystych mamy

a dla nieparzystych

Wnioskujemy stąd, że

(2)

Zauważmy, że

Zatem kolejne wyrazy ciągu wynoszą:

Jedynymi wartościami ciągu jak również jego punktami skupienia

są: Zatem

(3) Zauważmy, że

Zatem ciąg przyjmuje tylko dwie wartości

co możemy zapisać krócej

czyli

Ćwiczenie 5.5.

Ciąg zadany jest rekurencyjnie

gdzie Zbadać zbieżność ciągu Jeśli jest on zbieżny, obliczyć jego granicę.

Wskazówka

Wykazać kolejno, że ciąg jest ograniczony od dołu przez (przynajmniej od drugiego miejsca) następnie, że jest malejący (także przynajmniej od drugiego miejsca). Należy skorzystać z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym w celu stwierdzenia istnienia granicy. W końcu obliczyć granicę wykorzystując związek rekurencyjny.

Rozwiązanie

Najpierw zauważmy, że dla każdego Następnie pokażemy, że dla każdego W tym celu przekształcamy oczywistą nierówność otrzymując kolejno

zatem

Pokażemy następnie, że ciąg jest malejący (przynajmniej od drugiego wyrazu). Ponieważ dla więc mamy kolejno

zatem

czyli ciąg jest malejący (począwszy od drugiego wyrazu). Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym (patrz twierdzenie 4.15.), wnioskujemy, że ciąg ten ma granicę W zadanym związku rekurencyjnym możemy zatem przejść do granicy po obu stronach (oczywiście ), otrzymując

zatem

Zatem, jeśli jest granicą, to musi spełniać powyższą równość. Rozwiązując to równanie, dostajemy
Odpowiedź:

Ćwiczenie 5.6.

Niech będzie ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy ). Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) jeśli to ;

(2) jeśli to
Korzystając z powyższych stwierdzeń, wyznacz następujące granice:

(3) gdzie ;

(4) gdzie

Wskazówka

(1) Dobrać tak małe aby wyrazy ciągu były mniejsze od pewnej liczby Wyprowadzić stąd oszacowanie na wyrazy ciągu przez wyrazy ciągu geometrycznego (od pewnego miejsca, gdzie jest pewną stałą).
(2) Zrobić analogicznie do poprzedniego twierdzenia, dobierając tym razem tak małe , aby wyrazy ciągu były większe od pewnej liczby
(3) Rozważyć osobno przypadki i Gdy obliczyć granicę ilorazu w celu skorzystania z punktu (1) lub (2).
(4) Obliczyć granicę ilorazu w celu skorzystania z punktu (1) lub (2). Rozważyć osobno przypadki i

Rozwiązanie

(1) Ponieważ więc możemy wybrać takie, że Niech Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

więc w szczególności mamy

czyli

Postępując indukcyjnie, dla dowolnego dostajemy

gdzie jest stałą niezależną od Zatem pokazaliśmy, że wyrazy naszego ciągu (począwszy od -tego miejsca) szacują się od góry przez wyrazy ciągu geometrycznego który jest zbieżny do zera (bo ). Z założenia wiemy, że wyrazy zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, dostajemy, że co należało dowieść.

(2) Ponieważ więc możemy wybrać takie, że Niech Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

więc w szczególności mamy

czyli

Postępując indukcyjnie, dla dowolnego dostajemy

gdzie jest stałą niezależną od Zatem pokazaliśmy, że wyrazy naszego ciągu (począwszy od -tego miejsca) szacują się od dołu przez wyrazy ciągu geometrycznego który jest rozbieżny do (bo ). Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, dostajemy, że co należało dowieść.

(3) Niech dla

Gdy to ciąg jest zerowy i jego granica wynosi

Załóżmy teraz, że .

Liczymy

Zatem korzystając z punktu (1), dostajemy, że

W końcu gdy to zauważmy, że definiując mamy zatem możemy wykorzystać już udowodnioną część i wywnioskować, że Korzystając teraz z twierdzenia 4.9. (7), dostajemy, że

Zatem dla dowolnego dostaliśmy, że

(4) Niech Liczymy

Zatem, jeśli to korzystając z punktu (1), dostajemy, że Jeśli to korzystając z punktu (2) dostajemy, że Jeśli to stwierdzamy bezpośrednio, że