Obliczanie granic ciągów liczbowych
Poniżej podamy sposób obliczania typowych granic ciągów liczbowych. Wszystkie rachunki
wykonamy za pomocą kalkulatora ClassPad 300 Plus.
Przykład 1. Obliczyć granicę
1
2
3
5
lim
3
4
n
n
n
n
Jest to granica z wielomianu; wyciągamy największą potęgę przed nawias:
4
3
4
3
4
1
2
3
5
lim
1
2
3
5
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Tak więc, wyrażenie w nawiasie dąży do 5, zaś wyrażenie przed nawiasem dąży do
, czyli
1
2
3
5
lim
3
4
n
n
n
n
Przykład 2. Obliczyć granicę
11
8
2
3
1
7
2
5
2
lim
2
4
2
3
4
n
n
n
n
n
n
n
n
W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę
zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez
4
n
:
4
3
2
4
3
2
11
8
2
3
1
7
2
5
2
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
Tak więc, wszystkie składniki licznika za wyjątkiem 2 i wszystkie składniki z mianownika za
wyjątkiem 3 dążą do zera, czyli
3
2
11
8
2
3
1
7
2
5
2
lim
2
4
2
3
4
n
n
n
n
n
n
n
n
Uwaga.
Łatwo zauważyć, że jeżeli licznik i mianownik są wielomianami tego samego stopnia,
to granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach wielomianu z licznika i
wielomianu z mianownika.
Przykład 3. Obliczyć granicę
2
8
2
3
1
2
5
lim
2
4
2
3
n
n
n
n
n
n
W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę
zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez
4
n
:
4
3
2
4
2
2
8
2
3
1
2
5
lim
n
n
n
n
n
n
n
Tak więc, wszystkie składniki licznika i wszystkie składniki z mianownika za wyjątkiem 3 dążą do
zera, czyli
0
2
8
2
3
1
2
5
lim
2
4
2
3
n
n
n
n
n
n
Uwaga.
Łatwo zauważyć, że jeżeli licznik jest wielomianem stopnia niższego niż mianownik,
to granica jest zawsze równa zero.
Przykład 4. Obliczyć granicę
2
8
3
1
2
5
lim
2
2
3
n
n
n
n
n
W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę
zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez
2
n
:
2
2
2
8
3
1
2
5
lim
n
n
n
n
n
Tak więc, licznik dąży do
i wszystkie składniki z mianownika za wyjątkiem 3 dążą do zera, czyli
2
8
3
1
2
5
lim
2
2
3
n
n
n
n
n
Uwaga.
Łatwo zauważyć, że jeżeli licznik jest wielomianem stopnia wyższego niż mianownik,
to granica jest zawsze równa
ze znakiem plus lub minus, który zależy od znaku ilorazu
współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika.
2
8
3
1
2
5
lim
2
2
3
n
n
n
n
n
2
8
3
1
2
5
lim
2
2
3
n
n
n
n
n
2
8
3
1
2
5
lim
2
2
3
n
n
n
n
n
Przykład 5. Obliczyć granicę
4
3
3
4
lim
n
n
n
Licznik i mianownik są funkcjami wykładniczymi, dzielimy każdy składnik przez
n
3
:
n
n
n
n
3
4
1
3
3
3
4
lim
4
3
3
4
lim
n
n
n
Przykład 6. Obliczyć granicę
n
n
n
n
n
2
2
lim
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
2
2
)
)(
(
b
a
b
a
b
a
, zatem
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
2
lim
)
1
1
(
)
1
1
(
2
lim
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
Po skróceniu przez n dostajemy
n
n
n
1
1
1
1
2
lim
czyli ostatecznie
1
1
1
2
lim
2
2
n
n
n
n
n
Sprawdźmy:
Przykład 7. Obliczyć granicę przy x różnym od zera
)
)(
1
(
1
...
)
3
)(
2
(
1
)
2
)(
1
(
1
)
1
(
1
lim
n
x
n
x
x
x
x
x
x
x
n
Zauważmy, że
zatem
n
x
x
n
x
n
x
x
x
x
x
x
x
n
n
1
1
lim
1
1
1
...
3
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
lim
Ostatecznie
x
n
x
n
x
x
x
x
x
x
x
n
1
)
)(
1
(
1
...
)
3
)(
2
(
1
)
2
)(
1
(
1
)
1
(
1
lim