konspekt wykładu z dn.13.11.2009
Ekstrema lokalne funkcji
Załóżmy, że punkt x0 jest punktem wewnętrznym dziedziny funkcji f.
Def
Jeżeli istnieje otoczenie punktu x0, w którym największą wartością funkcji jest f(x0), to mówimy, że funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie x0.
Jeżeli istnieje otoczenie punktu x0, w którym najmniejszą wartością funkcji jest f(x0), to mówimy, że funkcja f ma minimum lokalne w punkcie x0.
Jeżeli istnieje sąsiedztwo punktu x0, w którym największą wartością funkcji jest f(x0), to mówimy, że funkcja f ma maksimum (lokalne) właściwe w punkcie x0.
Analogicznie
Jeżeli istnieje sąsiedztwo punktu x0, w którym najmniejszą wartością funkcji jest f(x0), to mówimy, że funkcja f ma minimum (lokalne) właściwe w punkcie x0.
Powiedzenie, że funkcja ma ekstremum w pewnym punkcie oznacza, że ma w tym punkcie maksimum lub minimum.
Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne oraz 
dla każdego 
, to mówimy, że f ma w x0 maksimum globalne.
Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne oraz 
dla każdego 
, to mówimy, że f ma w x0 minimum globalne.
Warunek konieczny ekstremum funkcji różniczkowalnej
Tw: Fermata dowód
Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i ma w tym punkcie pierwsza pochodną, to 
Punkty, w których zeruje się pierwsza pochodna nazywamy punktami stacjonarnymi (krytycznymi) funkcji.
Wniosek
Funkcja f może mieć ekstremum jedynie w punktach, w których albo pochodna jest równa zero albo pochodna nie istnieje.
Tw: Rolle'a dowód
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym
i różniczkowalna na przedziale otwartym 
oraz 
, to istnieje taki punkt 
, że 
.
Tw: Lagrange'a
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym 
i różniczkowalna na przedziale otwartym, to istnieje taki punkt 
, że 
.
Wnioski Monotoniczność funkcji, a znak jej pochodnej
Niech funkcja f będzie różniczkowalna na przedziale 
.
1. Jeżeli 
dla każdego 
, to funkcja f jest stała na przedziale 
.
2. Jeżeli 
dla każdego 
, to funkcja f jest rosnąca na przedziale 
.
3. Jeżeli 
dla każdego 
, to funkcja f jest malejąca na przedziale 
.
Przy wnioskowaniu w przeciwnym kierunku
1. Jeśli funkcja f jest stała na 
, to 
dla każdego 
.
2. Jeśli funkcja f jest rosnąca na 
, to 
dla każdego 
.
3. Jeśli funkcja f jest malejąca na 
, to 
dla każdego 
.
Wnioski pozostają słuszne dla przedziałów nieskończonych.
Warunek wystarczający ekstremum funkcji różniczkowalnej
(zmiana znaku pochodnej)
Tw:
Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu 
punktu x0 pochodną 
, która jest:
to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum właściwe.
Jeżeli zaś pochodna 
jest
to funkcja f ma w punkcie x0 minimum właściwe.
Warunek wykluczający ekstremum
Jeżeli pochodna 
jest
2º stałego znaku w obustronnym sąsiedztwie punktu x0,
to w punkcie x0 funkcja f nie ma ekstremum.
Warunek wystarczający ekstremum funkcji ciągłej w punkcie x0
Tw:
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz ma w pewnym sąsiedztwie 
punktu x0 pochodną 
, która jest:
to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum właściwe.
Jeżeli zaś pochodna 
jest
to funkcja f ma w punkcie x0 minimum właściwe.
Warunek wystarczający ekstremum z drugą pochodną
Tw:
Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x0 drugą pochodną przy czym
to funkcja f ma w punkcie x0
maksimum właściwe, jeżeli 
,
minimum właściwe, jeżeli 
.
obliczanie granic wyrażeń nieoznaczonych typu 
, 
.
Tw: Reguła de L'Hospitala
Jeżeli
1) funkcje f, g są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie S punktu x0, przy czym 
dla 
;
2a) 
,
albo
2b) 
;
3) istnieje granica 
skończona albo niewłaściwa,
to istnieje granica 
i zachodzi równość
.
Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz gdy 
.