Klotoida jako krzywa przejściowa – podstawy teoretyczne i tyczenia terenowe

xxxx

xxxx

3 rok

Klotoidą nazywamy krzywą najczęściej używaną jako krzywa przejściowa przeprojektowaniu dróg. Zapewnia ona największe bezpieczeństwo oraz płynność ruchu pojazdów ze względu na proporcjonalność krzywizny do długości łuku. Może być stosowana jako krzywa przejściowa, ale również jako samodzielny element trasy krzywoliniowej na równi z prostą i łukiem kołowym. Została wprowadzona przez francuskiego fizyka Marie Alfreda Cornu w 1874 roku podczas badań prowadzonych w dziedzinie optyki. Zadaniem klotoidy jest rozkładanie w czasie i przestrzeni narastania siły odśrodkowej.

Rysunek Zastosowanie krzywej przejściowej

Klotoida (spirala Cornu) – taka krzywa, której krzywizna K rośnie proporcjonalnie do długości łuku L, mierzonego od punktu stałego, co wyrażamy wzorem

L=a² K

gdzie

a² – stały dla danej klotoidy współczynnik proporcjonalności.

Rysunek Klotoida

Z powyższego wzoru wynika, że w punkcie początkowym krzywizna jest równa zeru, a więc w punkcie tym krzywa łączy się w sposób ciągły z linią prostą styczną do niej. Zgodnie z definicją krzywizny K=1/R, otrzymujemy

L=a²1/R => L K= a²=const.

Iloczyn długości łuku liczonego od stałego punktu i promienia krzywizny jest w każdym punkcie klotoidy stały. Jako stałej użyto wielkości a², aby uzyskać równanie jednorodne o kwadratowych wymiarach z obu stron. Liczba a nazywa się parametrem klotoidy i określa jej wielkość podobnie jak promień R określa jej wielkość koła.

Zależności pomiędzy elementami klotoidy:

τ=L/2R=a²/2R²=L²/2a²

τ- kąt zwrotu stycznej klotoidy

Rysunek Elementarny trójkąt klotoidy

Dokładne wytyczne dotyczące parametrów klotoidy podczas projektowania tras drogowych i kolejowych są zawarte w Rozporządzeniu Ministra Transportu i Gospodarki Morskiej z dnia 2 marca 1999r. w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać drogi publiczne i ich usytuowanie (Dz. U. z dnia 14 maja 1999 r.).

Do wytyczenia klotoidy w terenie należy jej równanie naturalne wyrazić we współrzędnych prostokątnych. W tym celu rozpatruje się zależności:

dX=cosτ dL

dY=sinτ dL

Do projektowania i tyczenia w terenie klotoidy wykorzystuje się specjalne tablice zestawiane dla argumentów. Na podstawie klotoidy jednostkowej oblicza się elementy klotoidy o parametrze a. Klotoida jednostkowa - klotoida o parametrze a=1

Podstawowe elementy geometryczne charakteryzujące położenie punktów głównych klotoidy wyznacza się w układzie współrzędnych prostokątnych OXY. Początek tego układu pokrywa się z punktem przegięcia klotoidy, zaś osią X jest styczna główna klotoidy w tym punkcie.

Punkty pośrednie klotoidy rozmieszcza się na ogół w równych odległościach łuku ΔL, przy czym odległości te mogą być wartościami okrągłymi (10m, 20m), lub nieokrągłymi dostosowanymi do przyjętego w tablicach klotoidy odstępu Δl argumentu l. W obydwu tych przypadkach końcowy odcinek klotoidy ΔL_p będzie mniejszy od ΔL.

Rysunek Punkty pośrednie klotoidy

Natomiast zachowanie okrągłego pikietażu przy tyczeniu punktów pośrednich w równych odstępach ΔL lecz zgodnie z bieżącym kilometrażem trasy wywołuje na początku i końcu klotoidy wystąpienie odcinków ΔL₁ < ΔL oraz ΔL_p < ΔL

Rysunek Punkty pośrednie klotoidy

Ostatecznie, odległość L_i dowolnego punktu pośredniego klotoidy od jej punktu przegięcia O można wyrazić wzorem

L_i = i ⋅ ΔL lub L_i = ΔL₁ + (i - 1) ΔL

Dla ustalonego parametru a klotoidy oblicza się wartości argumentów li=Li/a umożliwiających wejście do tablicy klotoidy jednostkowej i odczytanie współrzędnych x_i, y_i. Współrzędne X_i, Y_i potrzebne do tyczenia punktów pośrednich klotoidy od stycznej głównej uzyskuje się z zależności:

X_i = x_i ⋅ a

Y_i = y_i ⋅ a

Tyczenie punktów pośrednich metodą rzędnych i odciętych może być również prowadzone od dowolnej innej prostej O^’X^’ zawierającej ze styczną główną OX kąt ϕ. Jeśli ponadto określone zostaną współrzędne punktu O^’ będącego początkiem nowego układu współrzędnych O^’X^’Y^’ to współrzędne punktów pośrednich klotoidy w tym nowym układzie uzyskuje się z zależności:

X_i^’ = (X_i - X₀^,) sin ϕ + (Y_i - Y₀^,) cos ϕ

Y_i^’ = (Y_i - Y₀^,) cos ϕ - (X_i - X₀^,) sin ϕ

Z uwagi na możliwości użytkowe tachymetrów elektronicznych do tyczenia punktów pośrednich klotoidy stosuje się powszechnie metodę biegunową. Przyjęcie bieguna w punkcie przegięcia klotoidy O (rys. 119) pozwala na tyczenie kolejnych punktów przez odłożenie od stycznej głównej kąta kierunkowego ω_i i odległości C_i. Wymienione elementy oblicza się z wzorów

ω=arctg(Yi/Xi)

Ci=(Xi²+Yi²)^0,5

Kąt kierunkowy ω_i można również odczytać bezpośrednio w tablicach klotoidy jednostkowej. Jeśli tyczenie całego łuku klotoidy z punktu O jest utrudnione wówczas stanowisko tachymetru można usytuować na dowolnym, już wytyczonym punkcie pośrednim B. Kąt kierunkowy δ_k pomiędzy przedłużoną cięciwą OB a kierunkiem do kolejnego punktu pośredniego k oblicza się z wzoru

δ_k= ϕ_k- ω_k

Rysunek Tyczenie punktów pośrednich klotoidy metodą biegunową

Literatura:

Gocał J., „Geodezja inżynieryjno-przemysłowa” cześć I, wydanie pierwsze

Czempiński B., „Tablice do tyczenia krzywych – Teoria”