Prowadzący dr inż. D. Grzybek	Teoria Sterowania Sprawozdanie 1	Data Zajęć 05.05.2010 r.
Rok i grupa Rok IID gr. 29	Imię i nazwisko Dawid Bębenek

1. Obwód RLC:

R = 10 Ω

L = 1 H

C = 2 F

1. Model matematyczny:

$$U_{w}\ = \ \ Ri\ + \ L\frac{\text{di}}{\text{dt}}\ + \ U_{c}$$

$$C\frac{\text{du}}{\text{dt}} = i$$

$$\frac{\text{di}}{\text{dt}} = \ \frac{1}{L}U_{w} - \frac{R}{L}i - \frac{1}{L}U_{c}$$

U_c =  ∫₀^ti dt

U_L = U_w − Ri −  U_c

1. Analiza model w pakiecie Simulink:

1. Analiza w przestrzeni stanów:

$\dot{x_{1}} = \ - \frac{R}{L}x_{1} - \frac{1}{L}x_{2} + \frac{1}{L}u$ x₁ = i

$\dot{x_{2}} = \ \frac{1}{C}x_{1}$ x₂ = U_c

u = U_w

y = −Rx₁ − x₂ + u y = U_L

$\begin{bmatrix} \dot{x_{1}} \\ \dot{x_{2}} \\ \end{bmatrix}\ $= $\begin{bmatrix} - \frac{R}{L} & - \frac{1}{L} \\ \frac{1}{C} & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{L} \\ 0 \\ \end{bmatrix}u$

$y = \begin{bmatrix} - R & - 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \left\lbrack 1 \right\rbrack u$

Otrzymane wykresy w obu metodach są identyczne:

1. Układ mechaniczny:

m = 1 kg , b = 1 Ns/m, k = 1 N/m

1. Model matematyczny

$$m\frac{d^{2}y}{dt^{2}} = k\left( y - u \right) + \ b\ \frac{d}{\text{dt}}\left( y - u \right)$$

$$m\ddot{y} - b\dot{y} - ky = \ - ku - b\dot{u}$$

Uproszczamy układ poprzez eliminacje pochodnej:

$$F = \ m\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + b\ \frac{\text{dy}}{\text{dt}} + ky$$

1. Model w przestrzeni stanów:

$\dot{x_{1}} = \ $ x₂  x₁ = y

 x₂ $= \dot{y}$

$\dot{x_{2}} = \ - \frac{k}{m}x_{1} - \frac{b}{m}x_{2} + \frac{1}{m}u$ u = F

y =  x₁

$\begin{bmatrix} \dot{x_{1}} \\ \dot{x_{2}} \\ \end{bmatrix}\ $= $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{b}{m} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \\ \end{bmatrix}u$

$y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix}$

1. Analiza układu w pakiecie Simulink:

Otrzymane wykresy w obu metodach są identyczne:

1. Wnioski

Metoda przestrzeni stanów jest bardzo przydatna do analizy różnego rodzaju układów sterowania. Korzystanie z niej za pomocą pakietu Matlab i Simulink jest dosyć łatwe dzięki wbudowanym funkcją. Otrzymane wykresy za pomocą metody przestrzeni stanów pokrywają się z wykresami uzyskanymi dzięki zastosowaniu równań różniczkowych.

W metodzie przestrzeni stanów wykorzystujemy równania macierzowe w postaci:

$$\dot{x}(t) = \text{Ax}(t) + \text{Bu}(t)$$

y(t)=Cx(t)+Du(t)

Liczba zmiennych stanu wpływa na macierz A i C. Iilość wejść wpływa na macierz A i B. Liczba wyjść wpływa na macierz C i D.