11.05.2010

Teoria Sterowania

Sprawozdanie 1

1. Obwód RLC:

R = 20 Ω

L = 1 H

C = 2 F

1. Zapis matematyczny:

$$U_{w}\ = \ \ Ri\ + \ L\frac{\text{di}}{\text{dt}}\ + \ U_{c}$$

$$C\frac{\text{du}}{\text{dt}} = i$$

$$\frac{\text{di}}{\text{dt}} = \ \frac{1}{L}U_{w} - \frac{R}{L}i - \frac{1}{L}U_{c}$$

U_c =  ∫₀^ti dt

U_L = U_w − Ri −  U_c

1.1 Model w pakiecie Simulink:

2.3. Analiza w przestrzeni stanów:

$\dot{x_{1}} = \ - \frac{R}{L}x_{1} - \frac{1}{L}x_{2} + \frac{1}{L}u$ x₁ = i

$\dot{x_{2}} = \ \frac{1}{C}x_{1}$ x₂ = U_c

u = U_w

y = −Rx₁ − x₂ + u y = U_L

$\begin{bmatrix} \dot{x_{1}} \\ \dot{x_{2}} \\ \end{bmatrix}\ $= $\begin{bmatrix} - \frac{R}{L} & - \frac{1}{L} \\ \frac{1}{C} & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{L} \\ 0 \\ \end{bmatrix}u$

$y = \begin{bmatrix} - R & - 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \left\lbrack 1 \right\rbrack u$

Wykresy wykonane obydwoma metodami są identyczne:

1. Układ mechaniczny:

m = 1 kg , b = 1 Ns/m, k = 1 N/m

b = r

1. Zapis matematyczny

$$m\frac{d^{2}y}{dt^{2}} = k\left( y - u \right) + \ r\ \frac{d}{\text{dt}}\left( y - u \right)$$

$$m\ddot{y} - r\dot{y} - ky = \ - ku - r\dot{u}$$

W takim przypadku mamy do czynienia z pochodną w sygnale sterowania. Uproszczamy rozważania (eliminujemy pochodną) przez zastąpienie ruchu unoszenia siłą F.

$$F = \ m\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + r\ \frac{\text{dy}}{\text{dt}} + ky$$

1. Zapis w przestrzeni stanów:

$\dot{x_{1}} = \ $ x₂  x₁ = y

$\dot{x_{2}} = \ - \frac{k}{m}x_{1} - \frac{r}{m}x_{2} + \frac{1}{m}u$ x₂ $= \dot{y}$

u = F

y =  x₁

$\begin{bmatrix} \dot{x_{1}} \\ \dot{x_{2}} \\ \end{bmatrix}\ $= $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{r}{m} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \\ \end{bmatrix}u$

$y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix}$

1. Analiza układu za pomocą pakietu Simulink:

oraz

Otrzymujemy dwa identyczne wykresy:

1. Wnioski

Metoda przestrzeni stanów jest bardzo przydatnym narzędziem podczas analizy układów sterowania tak elektrycznych jak i mechanicznych. Dzięki wbudowanym funkcją jest również łatwa do użycia w pakiecie Matlab/Simulink. Rozwiązania uzyskane za pomocą tej metody pokrywają się z klasycznymi rozważaniami matematycznymi z wykorzystaniem równań różniczkowych.

W metodzie przestrzeni stanów korzystamy z równań macierzowych postaci:

$$\dot{x} = Ax + Bu$$

y = Cx + Du

Rozmiar poszczególnych macierzy zdeterminowany jest przez liczbę zmiennych stanu (macierz A i C) ilość wejść (A i B) oraz liczbę wyjść (C i D)