Liczby zespolone

1. Liczby naturalne – (… 0, 1, 2, 3…) wszystkie liczby całkowite, przynajmniej równe 1. Czasami dołącza się do nich liczbę 0.
Działania – takie które nie wyprowadzają wynik poza liczbę naturalną
- Dodawanie (odejmowanie nie jest wykonywalne)
- Mnożenie (dzielenie nie jest wykonywalne)
- Brak elementu naturalnego
Własności liczb naturalnych:
- nie istnieje liczba największa
- dla każdej liczby naturalnej poza 0 istnieje najbliższy sąsiad
- 0 nie ma najbliższego sąsiada z lewej strony

2. Liczby całkowite (…-2, -1, 0, 1, 2, 3…)
Działania:
-dodawanie
- odejmowanie
- mnożenie
- 0 i 1 są modułami dodawania i mnożenia
Własności liczb naturalnych
- Nie istnieje liczba największa ani najmniejsza
- Dla każdej liczby całkowitej istnieje najbliższy sąsiad

3. Liczby wymierne (p/q, gdzie q nie jest może być równe 0)
działania:
- dodawanie, mnożenie, odejmowanie, dzielenie, 0 i 1 są modułami dodawania i mnożenia: x+0=x
Właściwości liczb wymiernych
- nie istnieje liczba największa ani najmniejsza
- Pomiędzy dwoma liczbami wymiernymi istnieje nieskończenie wiele innych liczb wymiernych
- Po podzieleniu zbioru licz wymiernych na dwie części ograniczone liczą wymierną p zachodzi:
a) liczba p jest największą liczbą w jednym zbiorze, a drugim nie ma liczby najmniejszej
b) liczba p jest najmniejszą liczą w jednym zbiorze, a w drugim nie ma liczby największej

4. Liczby rzeczywiste
Własności:
- Nie istnieje liczba największa i najmniejsza
- Liczby rzeczywiste spełniają zasadę ciągłości
- Zbiór licz rzeczywistych nie jest identyczny ze zbiorem liczb wymiernych
- Zbiór liczb rzeczywistych zawiera zbiór liczb wymiernych
Działania:
- dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie
Dla liczb dodatnich:
- obliczanie pierwiastków, obliczanie logarytmów
- 0 i 1 są modułami dodawania i mnożenia: x+0=x

Wartości bezwzględne
|x|= x dla x większego, równego zero oraz –x dla mniejszego od zera

Liczby zespolone
Potrzeba wprowadzenia liczb zespolonych: rozwiązanie równania dla α i β nie równych 0 rzeczywistych
(z-α)² +β²=0
Δ=4α² – 4(α² + β²) = -4β²<0

Definicja: Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary licz rzeczywistych (x, y) na których są działania dodawania i mnożenia.
Niech z₁=(x₁,y₁) i z₂=(x₂,y₂)
Dodawanie: z₁+z₂=(x₁+x₂, y₁+y₂)
Mnożenie: z₁z₂=(x₁x₂ – y₁y₂, x₁y₂+x₂y₁)

Moduły licz zespolonych:
0 = (0,0), 1=(1,0)
z+0 = (x,y)+(0,0) = (x+0, y+0)=(x,y) = z
z.1 = (x,y).(1,0) = (x.1-y.0, x.0+y.1)=(x,y)=z
Przykład:
1²=(1,0).(1,0) = (1.1-0.0,1.0+1.0)=(1,0)=1
Liczbę zespoloną: z(x,0)=x utożsamiamy z liczbą rzeczywistą x.
Liczbę zespoloną: i=(0,1) nazywamy jednością urojoną i oznaczamy przez i.

i²=(0,1).(0,1) = (0.0-1.1,0.1+1.0)=(-1,0)=-1
Dowolną liczbę zespoloną z=(x,y) można zapisać w postaci: z=x+iy, gdzie x=Re(z), y=Im(z).

z=x+iy = (x,0)+(0,1).(y,0)=(x,0)+(0.y-1.0,0.0+1.y)
W zbiorze liczb zespolonych nie wykonalne jest porządkowanie

Liczba /z sprzężoną do liczby zespolonej z nazywamy:
/z=x-iy
z-/z=x+iy-(x-iy)=x² –ixy+ixy-i²y²=x²+y²
z+/z=x+iy+(x-iy)=2x
Liczbę zespoloną z można interpretować jako punkt o współrzędnych (x,y) na prostokątnym układzie współrzędnych.
Moduł liczby zespolonej |z|= pierwiastek z x²+y²

|z₁z₂|=|z₁||z₂|

z₁z₂=|z₁||z₂|(cos(ϕ+Ψ)+isin(ϕ+Ψ))
z₁/z₂=|z₁|/|z₂|(cos(ϕ-Ψ)+ isin(ϕ-Ψ))
zⁿ=|z|ⁿ(cos(nϕ)+isin(nϕ))

Wzór de Moivre’a
(cos(ϕ) + isin(ϕ))ⁿ = cos(nϕ)+isin(nϕ)

Pierwiastkowanie:
zⁿ=a
Definicja: Każdą liczbę zespoloną spełniającą to równanie nazywamy n – w tym pierwiastkiem z liczby zespolonej a i oznaczamy ⁿ$\sqrt{a}$

Elementy algebry
Definicja: Równaniem o niewiadomej x nazywamy wyrażenie postaci
f(x)=0
gdzie f() jest dowolną funkcją.

Definicja: Rozwiązaniem są wszystkie wartości x (miejsca zerowe, pierwiastki równania)
f(x)=0
spełniające dane równanie.

Równania dzielimy na:
a) liniowe
b) nieliniowe
c) jednej zmiennej

Wielomiany jednej zmiennej
Niech K będzie zbiorem liczbowym zawierającym co najmniej jeden element, w którym wykonywalne są działania dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie poza dzieleniem przez 0.
Definicja: Wielomianem o współczynnikach ze zbioru liczbowego K nazywamy funkcję:
f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n
Liczby a_i należące do zbioru K(i=0, 1…, n) nazywamy współczynnikami wielomianu. Współczynnik a_n nazywamy wyrazem wolnym, liczbę n nazywamy stopniem wielomianu.

Własności:
1. Suma wielomianów jest wielomianem
2. Różnica wielomianów jest wielomianem
3. Iloczyn wielomianów jest wielomianem
4. f(x) = const jest wielomianem stopnia zerowego
5. Dwa wielomiany są równie, gdy ich stopnie są równie i mają jednakowe współczynniki
6. Stopień sumy wielomianów jest równy najwyższemu stopniowi jednego ze składników
7. Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie stopni poszczególnych czynników.

Definicja: Wielomian g(x) jest dzielnikiem wielomianu f(x), jeżeli wielomian h(x) taki, że
f(x) = h(x)g(x)
Twierdzenie: Na to żeby liczba t była pierwiastkiem wielomianu f(x) potrzeba i wystarcza, by dzielnikiem wielomianu f(x) był jednomian (x-t)
f(x)=h(x)(x-t)
Dowód: f(t)=h(t)(t-t)=0
Twierdzenie Bezout: Resztą z dzielenia wielomianu f(x) przez dwumian (x-t) jest f(t)
Przykład: f(x)=x⁴+1 / (x-1)
f(1)=1⁴+1=2
Twierdzenie: Jeżeli t₁, t₂, t₃… tm są różnymi pierwiastkami wielomianu f(x) stopnia n, o krotnościach k₁, k₂, k₃…, k_m (k_i>0), to
f(x)=(x-t₁)^k1(x-t₂)^k2… (x-t_m)^kmh
gdzie h(t_j) nie jest równe 0 dla j= 1, 2, 3,…, m
Wielomian f(x) stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków

Definicja: Równaniem algebraicznym stopnia n o niewiadomej x nazywamy równanie
a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0
gdzie współczynniki a_i są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, przy czym a₀ nie jest równe 0

Podstawowe twierdzenie algebry: równanie algebraiczne stopnia n ma dokładnie n pierwiastków wliczając w to krotność pierwiastków
k₁+k₂+…+k_m = n
Równanie algebraiczne stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych

Równanie kwadratowe:
ax²+bx+c=0
Rozwiązanie: Δ=b²-4ac
1. Δ> 0 - dwa pierwiastki rzeczywiste
2. Δ= 0 - jeden pierwiastek podwójny
3. Δ<0 –dwa pierwiastki zespolone

Równanie trzeciego stopnia: ax³+bx²+cx+d=0
1. Δ > 0 jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone
2. Δ = 0, gdy p=q=0 równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty potrójny, lub gdy p³=-q² nie równe 0 równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste w tym jeden podwójny
3. Δ < 0 trzy pierwiastki rzeczywiste