Otrzymano następujące pomiary :

m_sz = 0,1032 kg t₁ = 20C - temperatura początkowa

c_sz = 750 $\frac{J}{\text{kg}\ k}$ t₂ =100  C - temperatura końcowa

m_w = 0,250 kg

c_w = 4200 $\frac{J}{\text{kg\ k}}$

P = 220 W

T = 580 s

Przyjęto następujące dokładności przyrządów :

∆ t= 1°C ∆ P = 20 W

∆ m = 0,0005 kg ∆ T = 5s

Sprawność grzałki obliczamy wzorem :
𝔶 = $\frac{{(m}_{k} \bullet m_{w}c_{w})(t_{2} - t_{1})}{P \bullet T}$

𝔶 =$\frac{(72,4 + 1050) \bullet 80}{220 \bullet 580}$ = 0,71 ⇒ 71 %

Błąd bezwzględny wynosi :

Δ 𝔶 =$\left| \frac{c_{k}(t_{2} - t_{1})}{P \bullet T} \right| \bullet \ m_{k}\ $+ $\left| \frac{c_{w}(t_{2} - t_{1})}{P \bullet T} \right| \bullet \ m_{w}$ + $\left| \frac{(m_{k} \bullet c_{k} + m_{\text{cw}})}{P \bullet T} \right| \bullet \ \ t$ + 2 $\bullet \left| \frac{(c_{\text{mk}}c_{k} + u_{1}c_{w})}{P \bullet T} \right| \bullet \ t_{1}\ $ + $\left| \frac{\left( m_{k}c_{k} + m_{c} \bullet c_{c} \right)(t_{2} - t_{1})}{P^{2} \bullet T} \right| \bullet \ P$ + $\left| \frac{- \left( m_{k} \bullet c_{k}\ + \ m_{c}\ \bullet \ c_{c} \right)(t_{2}\ - \ t_{1})}{P \bullet T^{2}} \right| \bullet \ \ T$

Δ 𝔶 = $\left| \frac{750\ \bullet 80}{127600} \right|$ ∙ 0,0005 + $\left| \frac{4200\ \bullet 80}{127600} \right|$ ∙0,0005 + $\left| \frac{\left( 1127,4 \right)}{220\ \bullet 580} \right|$ ∙ 1 +

$\left| \frac{1122,4}{127600} \right|$ ∙ 1 +$\left| \frac{90192}{127600 \bullet 220} \right|$ ∙ 20 + $\left| \frac{90192}{127600 \bullet 580} \right|$ ∙ 5 = 0,000235 + 0,001317 +

0,017671 + 0,064258 + 0,006093 = 0,0 89574

Błąd względny :

$\frac{\Delta\mathfrak{\text{\ y}}}{\mathfrak{y}\ }$ = $\frac{0,089574}{0,71}$ = 0,126 ⇒ 12,6 %

Błąd względny

$\frac{\ f_{1}}{f_{1}}$ = $\frac{0,062}{5,25}$ = 0,012 ⇒ 1,2 %

Powiększenie tej soczewki ( lupy ) wynosi :

P = 1 + $\frac{d}{f}$

gdzie d =25 cm jest odległością najlepszego widzenia

P₁ =1+ $\frac{25}{5,25}$ P₁ = 5,8

Błąd bezwzględny powiększenia lupy wynosi :

ΔP₁ = $\frac{25}{{(5,25)}^{2}}$ ∙ 0,062

ΔP₁ = 0,06 ,

a błąd względny

$\frac{P_{1}}{P_{1}}$ = $\frac{0,06}{5,8}$ = 0,0097 ⇒ 1 %

Pomiary ogniskowej soczewki skupiającej :

X [cm] y[cm] f[cm]

7 21 5,25

11 11 5,5

6,5 27 5,24

6 43,5 5,27

8 15 5,22

Średnia ogniskowa wynosi : $\overset{\overline{}}{f}$ = 5,30 cm

Odchylenie standardowe wynosi : $\hat{s}$ = 0,12 cm

Błąd średni średniej arytmetycznej :

$\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$ = 0,05 cm

$\overset{\overline{}}{f}$ ± $\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$ = [ 5,30 ± 0,05 ] cm

Zdolność zbierająca

$\frac{1}{f}$ = 18,9 D= 18,9 detr.

Obliczenie błędu bezwzględnego pomiaru ogniskowej przeprowadzamy dla pierwszego pomiaru :

Δ f = $\left| \frac{y^{2}}{{(x + y)}^{2}} \right|$ ∙ Δ x + $\left| \frac{x^{2}}{{(x + y)}^{2}} \right|$ ∙ Δ y

Przyjmujemy dokładność pomiarów :

Δ x = Δ y = 0,1 cm

Δ f₁ = $\left| \frac{{21\ }^{2}}{28^{2}} \right|$ ∙ 0,1 + $\left| \frac{7^{2}}{28^{2}} \right|$ ∙ 0,1

Błąd bezwzględny pierwszego pomiaru wynosi

Δ f₁ = 0,056 cm + 0,006 cm = 0,062 cm.

Napięcie powierzchniowe obliczamy wzorem :

δ₂ = δ₁ ∙ ( $\frac{m_{2}}{m_{1}}$ )

50 m₂ = 1,765 g

50 m₁ = 1,645 g

t₁ = 21 ° C

przyjęto Δt = 1° C

z przykładowej wartości napięcie powierzchniowego interpolujemy dla danej temperatury i możliwego błędu wartości δ₁ oraz δ₂

20° - 72,75

25 °- 71,97

5° 0,78

1° 0,156 ≈ 0,16

dla 20 ° C 72,75

21 ° C 72,91

δ₂ = 72,91 ∙ $\frac{1,765}{2,645}$

δ₂ = 48,65

δ₂ = 48,65 ∙ 10 ^-3 $\frac{N}{m}$

przyjęto Δ m₁ = Δ m₂ = 0,05 g

Δ t = 1° oraz Δ δ₁ = 0,2 ∙ 10 ^-3 $\frac{N}{m}$ , wówczas błąd względny wynosi :

Δ δ₂ = δ₂∙ ($\frac{\ \ \delta_{1}}{\delta_{1}}$ + $\frac{\ m_{2}}{m_{2}}$ + $\frac{\ m_{1}}{m_{1}}$ )

Δ δ₂ = 48,65 ∙ 10 ^-3 ∙ ( $\frac{0,2\ \bullet \ 10^{- 3}}{72,91 \bullet {\ 10}^{- 3}}$ + $\frac{0,05}{0,0353}$ + $\frac{0,05}{0,0529}$ )

Δ δ₂ = 115,0 ∙ 10 ^-3 $\frac{N}{m}$

CIEPŁO

Wyznaczenie wilgotności powietrza za pomocą psychometru Augusta lub Assmanna.

Pomiary temperatury na termometrze „suchym ” t oraz „mokrym” t ’ są następujące :

t =20°

t ‘ = 13°

Z tablic odczytujemy dla tych temperatur odpowiadające prężności Pt oraz Pt ’ :

Pt = 17,54 mmHg

Pt ‘ = 11,23 mmHg

Przyjmujemy dokładności przyrządów :"""

Δ t = Δ t ‘ = 0,5 ° C

Δ P t = Δ P t ‘ = Δ P t ’’ ∙ 0,5 mmHg

Pt ’’ = P t ’- 0,5 ∙( t –t ’ )

P t ’’ = 7,73 mmHg

W_w = $\frac{\ Pt\ "\ }{\text{P\ t}}$

Wilgotność względna wynosi :

W_w = $\frac{7,73}{17,54}$ = 0,44 ⇒ 44 %

Δ W_w = $\left| \frac{1}{P\ t} \right|$ ∙ Δ P t ’ + $\left| \frac{0,5}{P\ t} \right|$ ∙ Δ t ∙ $\left| \frac{0,5}{P\ t} \right|$ ∙ Δ t + $\frac{\lbrack P\ t\ ' - \left( \text{\ t} - \ t\ ' \right)\rbrack}{P\ t}$ ∙ | t| = $\frac{1}{17,54\ }$ ∙ 0,5 ∙ 2 + 2 ∙ $\frac{0,5}{17,5}$ ∙ 0,5 + $\frac{7,73}{{(\ 17,54\ )}^{2}}$ ∙ 0,5 = 0,07 mmHg ;

a błąd wględny :

$\frac{\ w_{w}}{w_{w}}$ = $\frac{0,07}{0,44}$ = 0,16 ⇒ 16 %

MECHANIKA

Wyznaczenie współczynnika tarcia poślizgowego.

Współczynnik tarcia poślizgowego dla różnych sił obliczamy wzorem :

μ = tg 𝓛 _s = $\frac{h}{d}$ , gdzie

h – jest wysokością równi pochyłej

d – długość równi pochyłej

Pomiary są następujące :

1.Drewno – drewno

h₁ = 0,18 μu_s1 = $\frac{0,18}{0,7}$ = 0,2571

h₂ = 0,215 μu_{s 2} = $\frac{0,215}{0,7}$ = 0,3071

h₃ = 0,265 μu_{s 3} = $\frac{0,265}{0,7}$ = 0,3786

2.Drewno –brąz

h₁ = 0,52 μu_s1 = $\frac{0,52}{0,7}$ = 0,7429

h₂ = 0,51 μu_s2 = $\frac{0,285}{0,7}$ = 0,4071

h₃ = 0,25 μu_s3 = $\frac{0,25}{0,7}$ = 0,3571

$\overset{\overline{}}{\text{μu}s}$ = 0,3714

Powierzchnia - Powierzchnia	$$\mu\overset{\overline{}}{s}$$	$$\hat{s}$$	$$\frac{\hat{s}\mu}{\sqrt{N}}$$
Drewno - drewno	0,3143	0,061	0,035
Drewno - brąz	0,7524	O,029	0,017
Ciemny brąz - drewno	0,3714	0,031	0,018

Błędy bezwzględne obliczamy wzorem :

Δ µ_s = $\overset{\overline{}}{\text{μu}s}$ =[ $\frac{\ h}{h}$ + $\frac{\ d}{}$ ]

Przyjmujemy dokładność pomiarów :

Δ h = Δ d = 0,001 m

Obliczanie przeprowadzamy dla wszystkich powierzchni :

1.Drewno – drewno

h₁ = 0,18 $\overset{\overline{}}{\text{μu}s}$ = 0,3143

Δ μ_s1 = 0,3143 ( $\frac{0,001}{0,18}$ + $\frac{0,001}{0,7}$ )= 0,0022

$\frac{\text{Δ\ \ }\mu_{s1}\ }{\overset{\overline{}}{\text{μu}s}\ }$ = 0,0070 ∙ 100 % = 0,7 %

h₂ = 0,215

Δ μ_s2 = 0,3143 ( $\frac{0,001}{0,215}$ + $\frac{0,001}{0,7}$ )= 0,0019

$\frac{\text{Δ\ \ }\mu_{s2}\ }{\overset{\overline{}}{\text{μu}s}\ }$ = 0,0061 ∙ 100 % = 0,61 %

h₃ = 0,265

Δ μ_s3 = 0,3143 ( $\frac{0,001}{0,265}$ + $\frac{0,001}{0,7}$ )= 0,0016

$\frac{\text{Δ\ \ }\mu_{s2}\ }{\overset{\overline{}}{\text{μu}s}\ }$ = 0,0052 ∙ 100 % = 0,52 %

2.Drewno – brąz

h₁ = 0,52

Δ μ_s1 = 0,7524 ( $\frac{0,001}{0,52}$ + $\frac{0,001}{0,7}$ )= 0,0025

$\frac{\Delta\text{\ \ }\mu_{s1}\ }{\overset{\overline{}}{\mu s}\ }$ = 0,0034 ∙ 100 %=0,34 %

h₂ = 0,51

Δ μ_s2 = 0,7524 ( $\frac{0,001}{0,52}$ + $\frac{0,001}{0,7}$ )= 0,0026

$\frac{\ \mu s2}{\overset{\overline{}}{\text{μu}}s\ }$ = 0,026 ∙ 100% = 0,26%

h₃ = 0,55

∆ $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$_s3 = 0,7524 $\left( \frac{0,001}{0,55} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0121

$\frac{\ \mu us3}{\overset{\overline{}}{\text{μu}}s\ }$ =0,0161∙ 100% = 1,61%

3.Ciemny brąz – drewno.

h₁ = 0,245 $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$_s = 0,3714

∆ μs₁ = 0,3714 $\left( \frac{0,001}{0,245} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0020

$\frac{\ \mu s1\ }{\overset{\overline{}}{\text{μus}}\ }$ = 0,0055 ∙ 100% = 0,55%

h₂ = 0,285 ∆ μu_s2 = 0,3714 ∙ $\left( \frac{0,001}{0,285} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0018

$\frac{\ \mu s2}{\overset{\overline{}}{\text{μus}}}$ = 0,0049 ∙ 100% = 0,49%

h₃ = 0,250 ∆ μu_s3 = 0,3714 ∙ $\left( \frac{0,001}{0,250} + \ \frac{0,001}{0,7} \right)$ = 0,0005

$\frac{\ \mu s3}{\overset{\overline{}}{\text{μus}}}$ = 0,0014 ∙ 100% = 0,14%

Sprawdzamy czy tarcie poślizgowe zależy od wielkości trących się powierzchni :

	Pow. duża	Pow. mała
	hi	μsi
1	0,18	0,2571
2	0,215	0,3071
3	0,265	0,3786
4	0,240	0,3429
5	0,235	0,3357
6	0,240	0,3429
7	0,245	0,3500
8	0,250	0,3571
9	0,230	0,3286
10	0,215	0,3071
$\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s(1) = 0,3307 $\overset{\overline{}}{\text{μu}}$s(2) = 0,3143

Tabela pomocnicza do obliczeń odchylenia standardowego :

	(1)	(2)
	μsi - ${\overset{\overline{}}{\mu}}_{s}$	(μsi - ${\overset{\overline{}}{\mu}}_{s}$)^2
1	0,0736	0,0054
2	0,0236	0,00056
3	0,0479	0,00229
4	0,0122	0,00015
5	0,005	0,00003
6	0,0122	0,00015
7	0,0143	0,00028
8	0,0264	0,0007
9	0,0021	0,0
10	0,0236	0,00056
Σ = 0,01012 Σ = 0,0128

Odchylenie standardowe.

$\hat{s}$₁ = $\sqrt{\frac{0,01012}{10 - 1}}$ = 0,034

$\hat{s}$₂ =$\sqrt{\frac{0,0128}{9}}$ = 0,038

t = $\frac{0,3307 - 0,3143}{\sqrt{\frac{10\ \bullet {(\ 0,001\ )}^{2} + 10\ \bullet \ {(\ 0,0013\ )}^{2}}{10 + 10 - 2}\ (\frac{1}{\ 10} + \ \frac{1}{10\ })}}$ = $\frac{0,0164}{0,0149}$ = 1,10

wobec hipotezy alternatywnej

H_o ; $\overset{\overline{}}{\text{μs}}$ = (1) = $\overset{\overline{}}{\text{μs}}$ (2)

0,3307 = 0,3143

H_i ; $\overset{\overline{}}{\text{μs}}$ = (1) ≠ $\overset{\overline{}}{\text{μs}}$ (2)

0,3307 ≠ 0,3143

poziom ufności – 0,95

Przyjmujemy k = n₁ + n₂ – 2 = 18 t $\frac{\mathcal{L}}{2}$ = ±2,10 ( z tabeli ) t < t $\frac{\mathcal{L}}{2}$

Nie znajdujemy się w obszarze krytycznym , więc nie ma podstawy do odrzucenia hipotezy H_o.

MECHANIKA

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła prostego.

Wyniki pomiarów :

g₁= 9,92 $\frac{m}{s^{2}}$ odchylenie standardowe

g₂= 10,03 $\frac{m}{s^{2}}$ przyspieszenia ziemskiego

g₃= 9,85 $\frac{m}{s^{2}}$ $\hat{s}$= 0,13 $\frac{m}{s^{2}}$

g₄= 9,67 $\frac{m}{s^{2}}$ wartość średnia średniej aryt. : g₅= 9,82 $\frac{m}{s^{2}}$ $\frac{\hat{s}}{\sqrt{N}}$ = 0,06 $\frac{m}{s^{2}}$

wartość średnia : ` $\overset{\overline{}}{g}$ ± $\frac{\hat{s}}{\sqrt{N}}$ = (9,86 ± 0,06)$\ \frac{m}{s^{2}}$

$\overset{\overline{}}{g}$= 9,86 $\frac{m}{s^{2}}$

Przyjęto dokładność pomiarów :

ΔL=0,001 m

ΔT = 0,02 s

Błąd względny obliczamy wzorem :

$\frac{g}{g}$ = $\frac{L}{L}$ + $\frac{2T}{T}$

Przeprowadzamy obliczenia dla 2 pomiaru :

$\frac{g}{g}$ = $\frac{0,001}{0,97}$ + $\frac{2\ \bullet \ 0,02}{1,953}$ = 0,022 → 2,2 $\frac{m}{s^{2}}$ - błąd bezwzględny 2 pomiaru

g= 10,03 ∙ 0,022= 0,22 $\frac{m}{s^{2}}$

Weryfikujemy hipotezę : H_o ;$\ \overset{\overline{}}{g}$ = m_o , gdzie m_o= 9,81$\ \frac{m}{s^{2}}$

9,86$\ \frac{m}{s^{2}}$ = 9,81$\ \frac{m}{s^{2}}$

H₁ ; $\overset{\overline{}}{g}$ ≠ m_o m_o = 9,81$\ \frac{m}{s^{2}}$

9,81$\ \frac{m}{s^{2}}$ = 9,81$\ \frac{m}{s^{2}}$

Przyjmujemy :

m_o = 9,81$\ \frac{m}{s^{2}}$

ℒ = 0,05 , stąd dla K=n-1 , k=4

t $\frac{\mathcal{L}}{2}$ = ± 2,78

MECHANIKA

Badanie amplitudy drgań wahadła o różnej masie i amplitudzie drgań.

Pomiary okresów drgań wahadła o różnej masie i amplitudzie są następujące :

mała masa	Mała amplituda	Duża amplitude
	T1 = 1,951 s T2 = 1,953 s T3= 2,007 s T4 = 1,980 s T5 = 1,968 s	T1 = 1,9475 s T2 = 1,935 s T3 = 1,970 s T4 = 1,975 s T5 = 1,958 s
duża masa	T1 = 1,964 s T2 = 1,953 s T3 = 1,971 s T4 = 1,990 s T5 = 1,975 s	T1 = 2,037 s T2 = 2,007 s T3 = 2,017 s T4 = 2,000 s T5 = 2,024 s

Średnie wartości okresów są następujące :

$\overset{\overline{}}{T}$₁₁ = 1,972 s s₁₁ = 0,021 s

$\overset{\overline{}}{T}$₁₂ = 1,957 s s₁₂ = 0,015 s

$\overset{\overline{}}{T}$₂₁ = 1,971 s s₂₁ = 0,012 s

$\overset{\overline{}}{T}$₂₂ = 2,017 s s₂₂ = 0,013 s

Obliczamy statystykę t :

t = $\frac{\ \overset{\overline{}}{T}12 - \ \overset{\overline{}}{T}22}{\sqrt{\frac{n_{1}s_{12}^{2} + n_{2}s_{22}^{2}}{n + n_{2} - 2}\ (\frac{1}{n_{1}}\ + \ \frac{1}{n_{2}})}} = \frac{- 0,046}{\sqrt{\frac{5\ {(0,015)}^{2} + \ 5{(0,013)}^{2}}{5 + 5 - 2}\ (\frac{1}{5}\ + \ \frac{1}{5})}} =$ -0,01

Nie znajdujemy się w obszarze krytycznym , więc nie ma podstawy do odrzucenia hipotezy H_o.

Optyka

Wyznaczenie długości fali światła laserowego :

d = 400 linii/mm = $\frac{1}{400\ 000}$ m

Pomiary długości fali światła laserowego λ :

l [ m ] a [m ] n x [ μm ]

0,2 a₁=0,058 1 0,70

a₂ = 0,128 2 0,67

0,3 a₁ = 0,084 1 0,67

a₂ =0,198 2 0,69

0,4 a₁ = 0,111 1 0,67

Wartość średnia długości fali światła laserowego wynosi :

$\overset{\overline{}}{\text{λ\ }}$= 0,68 μm , odchylenie standardowe $\hat{s}$

$\hat{s}$ = 0,01 μm

Przyjęto dokładności mierzenia :

∆ a = ∆ l = 0,001 m

∆ t₁ =0,01 μm

$\frac{\ \text{λ\ }}{\text{λ\ }_{1}}$ = $\frac{0,01}{0,7}$ = 0,0206 → 2,1 %

Pomiar napięcia U_i , następnie J_i są następujące :

y x

U_i [ V ] J_i[ mA ] $\frac{U_{i}}{J_{i}}$ = Ri [ Ω ]

1,14 11,5 99,1

1,21 12,2 99,2

1,29 12,9 100,0

1,37 13,8 99,3

1,62 16,4 99,8

1,82 18,3 99,5

2,17 21,8 99,5

2,61 26,2 99,6

3,73 37,5 99,5

18,39 206,8

wartość średnia oporu wynosi $\overset{\overline{}}{R}$ = 99,38 Ω ≈ 99 Ω

Obliczamy odchylenie standardowe pomiaru oporu :

y - $\overset{\overline{}}{y}$ x - $\overset{\overline{}}{x}$ (y - $\overset{\overline{}}{y}$)² (x - $\overset{\overline{}}{x}$)² (y - $\overset{\overline{}}{y}$) (x - $\overset{\overline{}}{x}$)

0,7 - 5,2 0,49 84,64 6,44

0,63 - 8,5 0,40 77,25 5,36

0,55 -7,8 0,30 60,84 4,29

0,47 - 6,9 0,22 47,61 3,24

0,41 - 6,3 0,17 39,69 2,58

0,22 - 4,3 0,05 18,49 0,95

0 -2,4 0 5,76 0

0,33 - 1,1 0,11 1,21 0,36

0,77 - 5,5 0,59 30,25 4.24

1,89 - 16,8 3,57 282,24 31,75 20,7 5,9 642,98 59,21

$\overset{\overline{}}{y}$ =$\frac{18,39}{10}$ ≈ 1,84 S_y = $\sqrt{\frac{5,9}{10}}$ = 0,77

$\overset{\overline{}}{x}$ = $\frac{206,8}{10}$ ≈ 20,7 S_x = $\sqrt{\frac{642,98}{10}}$ = 8,02

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona wynosi :

R = $\frac{59,21}{10\ \bullet 0,77\ \bullet 8,02}$ = $\frac{59,21}{7,7\ \bullet 8,02}$ =0,96

Równanie prostej w/g metody najmniejszych kwadratów

y- 1,84 = 0,96 ∙$\ \frac{0,77}{8,02}$ ( x – 20,7 ) = 0,0922 x -1,91

$\overset{\overline{}}{y}$ = 92,2 x – 0,07

Wielkość współczynnika kierunkowego 92,2 jest wartością oporu elektrycznego obliczonego metodą korelacji liniowej.