TEMAT 1

APROKSYMACJA

Damian Nowak

GIP gr. 2

Sprawozdanie techniczne

1. Dane formalno-prawne

1. ZLECENIODAWCA: Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie

2. WYKONAWCA: Damian Nowak

3. PRZEDMIOT ZLECENIA: Obliczenie parametrów modeli opisujących przemieszczenia oraz ocena dokładności wyników.

4. TERMIN WYKONANIA ZLECENIA: 27.03.2011

1. Wykorzystane oprogramowanie/materiały

W trakcie wykonywania przedmiotu zlecenia posługiwano się oprogramowaniem:

• Microsoft Excel

• Microsoft WORD

• Surfer 10.0

Posiadany zestaw danych: 25

Nr	X [m]	Y [m]	dZ [mm]
1	0.0	0.6	4.6
2	0.6	10.2	10.4
3	0.2	20.0	23.9
4	0.6	30.1	65.2
5	10.1	0.7	10.3
6	10.1	10.4	0.0
7	10.0	20.0	32.3
8	10.6	30.6	75.8
9	20.6	0.7	-43.3
10	20.8	10.1	-34.7
11	20.0	20.7	-1.0
12	20.4	30.6	41.9
13	30.4	0.3	-123.2
14	30.2	10.6	-106.5
15	30.8	20.0	-80.7
16	30.4	30.5	-14.3

1. Obliczenia

MODEL 1

Δz = a₀+a₁x+a₂y + δ

1. Obliczenie macierzy współczynników A oraz macierzy wyrazów wolnych L

1.0	0.0	0.6			4.6
1.0	0.6	10.2			10.4
1.0	0.2	20.0			23.9
1.0	0.6	30.1			65.2
1.0	10.1	0.7			10.3
1.0	10.1	10.4			0.0
1.0	10.0	20.0			32.3
1.0	10.6	30.6			75.8
1.0	20.6	0.7			-43.3
1.0	20.8	10.1			-34.7
1.0	20.0	20.7			-1.0
1.0	20.4	30.6			41.9
1.0	30.4	0.3			-123.2
1.0	30.2	10.6			-106.5
1.0	30.8	20.0			-80.7
1.0	30.4	30.5			-14.3
	A				L [mm]

1. Rozwiązanie układu metodą najmniejszych kwadratów

16.00	245.80	246.10
245.80	5799.30	3799.83
246.10	3799.83	5765.47
	A^TA

0.29639381	-0.00752046	-0.00769513
-0.00752046	0.00049431	-0.00000477
-0.00769513	-0.00000477	0.00050506
	A^TA^-1

X = A^TA^-1 x A^TL

a0	4.73
a1	-3.60
a2	2.73
	X

1. Obliczenie estymatora odchylenia standardowego

-1.77		3.13
-19.98		399.12
-34.64		1199.67
-19.43		377.48
40.06		1604.96
3.32		11.01
9.09		82.56
25.85		668.30
24.31		590.86
8.00		64.04
9.92		98.44
27.27		743.88
-19.18		367.84
-31.28		978.42
-28.94		837.70
7.39		54.62
δ [mm]	$$\sum_{}^{}\ $$	8082.04
		δ^2 [mm]^2

$$\mathbf{\delta}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{\ \pm \ }\sqrt{\frac{\sum_{}^{}\mathbf{\text{δδ}}}{\mathbf{n - u}}}\mathbf{= \pm \ 24.9\ mm}$$

Gdzie:

n = 16 – liczba równań

u = 3 – liczba niewiadomych

δ = L − AX

1. Obliczenie macierzy wariancyjno-kowariancyjnej dla wyznaczonych parametrów

184.2667	-4.6754	-4.7840
-4.6754	0.3073	-0.0030
-4.7840	-0.0030	0.3140
	Cov(X)

1. Obliczenie odchyleń standardowych poszczególnych parametrów modelu

Odchylenia liczymy jako pierwiastki wartości znajdujących się na przekątnej macierzy wariancyjno-kowariancyjnej.

	[mm]
a0	13.57
a1	0.55
a2	0.56

1. Obliczenie współczynnika korelacji macierzy wielorakiej

13.3	177.1
19.1	365.0
32.6	1063.2
73.9	5462.1
19.0	361.2
8.7	75.8
41.0	1681.5
84.5	7141.3
-34.6	1196.7
-26.0	675.7
7.7	59.4
50.6	2561.0
-114.5	13108.8
-97.8	9563.6
-72.0	5183.1
-5.6	31.3
L' [mm]	L'^2 [mm]^2

$$R^{2} = 1 - \ \frac{\sum_{}^{}\text{δδ}}{\sum_{}^{}{L^{'}L^{'}}} = 0.83$$

Gdzie:

L’ – L – Lśr

1. Wyznaczenie przedziałów ufności dla parametrów modelu na poziomie ufności 1 – α = 0.90

Z tablic odczytano kwantyl rozkładu T-Studenta t(0.95,13) = 1.77093

Przedział ufności definiujemy za pomocą wzoru:

$${(a}_{i} - \sigma_{\text{ai}}*t\left( 1 - \frac{\alpha}{2},k \right)\ ;\text{\ a}_{i} + \sigma_{\text{ai}}*t\left( 1 - \frac{\alpha}{2},k \right))$$

	min [mm]	max [mm]
a0	-19.3	28.8
a1	-4.6	-2.6
a2	1.7	3.7

1. Estymacja dla nieznanej wartości przeciętnej na poziomie prawdopodobieństwa 0.90

$${\pm \ \sigma}_{\text{ai}}*t\left( 1 - \frac{\alpha}{2},k \right) = \pm \ 44.1\ mm$$

1. Wyznaczenie przemieszczenia i odchylenia standardowego w punkcie o współrzędnych (15.00,15.00)

Z równania modelu Δz = a₀+a₁x+a₂y + δ wyznaczono wartość Δz dla punktu (15.00,15.00).

Δz_{15.00, 15.00} = -8.4 mm

$$\sigma_{\Delta z_{15.00,15.00}} = \ \sigma_{\text{ai}}*\sqrt{F^{T}\text{QF}} = 6.2\ mm$$

MODEL 2

Δz = a₀+a₁x+a₂y+a₃x²+a₄y²+a₅xy + δ

1. Obliczenie macierzy współczynników A oraz macierzy wyrazów wolnych L

1.0	0.00	0.60	0.00	0.36	0.0		4.6
1.0	0.60	10.20	0.36	104.04	6.1		10.4
1.0	0.20	20.00	0.04	400.00	4.0		23.9
1.0	0.60	30.10	0.36	906.01	18.1		65.2
1.0	10.10	0.70	102.01	0.49	7.1		10.3
1.0	10.10	10.40	102.01	108.16	105.0		0.0
1.0	10.00	20.00	100.00	400.00	200.0		32.3
1.0	10.60	30.60	112.36	936.36	324.4		75.8
1.0	20.60	0.70	424.36	0.49	14.4		-43.3
1.0	20.80	10.10	432.64	102.01	210.1		-34.7
1.0	20.00	20.70	400.00	428.49	414.0		-1.0
1.0	20.40	30.60	416.16	936.36	624.2		41.9
1.0	30.40	0.30	924.16	0.09	9.1		-123.2
1.0	30.20	10.60	912.04	112.36	320.1		-106.5
1.0	30.80	20.00	948.64	400.00	616.0		-80.7
1.0	30.40	30.50	924.16	930.25	927.2		-14.3
A		L [mm]

1. Rozwiązanie układu metodą najmniejszych kwadratów

16.0000	245.8000	246.1000	5799.3000	5765.4700	3799.8300
245.8000	5799.3000	3799.8300	151433.0980	89507.8650	89371.5990
246.1000	3799.8300	5765.4700	89371.5990	150226.8190	89507.8650
5799.3000	151433.0980	89371.5990	4183763.2578	2103801.3633	2331916.2723
5765.4700	89507.8650	150226.8190	2103801.3633	4148917.2967	2341924.4427
3799.8300	89371.5990	89507.8650	2331916.2723	2341924.4427	2103801.3633
A^TA

0.67314	-0.04149	-0.04537	0.00064	0.00076	0.00092
-0.04149	0.00719	0.00091	-0.00019	0.00000	-0.00006
-0.04537	0.00091	0.00753	0.00000	-0.00020	-0.00006
0.00064	-0.00019	0.00000	0.00001	0.00000	0.00000
0.00076	0.00000	-0.00020	0.00000	0.00001	0.00000
0.00092	-0.00006	-0.00006	0.00000	0.00000	0.00000
A^TA^-1

X = A^TA^-1 x A^TL

a0	9.89
a1	1.27
a2	-1.40
a3	-0.18
a4	0.11
a5	0.05
	X [mm]

1. Obliczenie estymatora odchylenia standardowego

-4.48		20.10
2.85		8.14
-0.47		0.22
0.60		0.36
7.00		49.03
-6.20		38.42
3.61		13.05
0.53		0.28
-0.76		0.58
1.28		1.64
-0.28		0.08
-5.53		30.56
-1.00		1.01
-0.09		0.01
-0.99		0.98
3.92		15.38
	$$\sum_{}^{}\ $$	179.82
δ [mm]		δ^2 [mm]^2

$$\mathbf{\delta}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{\ \pm \ }\sqrt{\frac{\sum_{}^{}\mathbf{\text{δδ}}}{\mathbf{n - u}}}\mathbf{= \pm \ }\mathbf{4.2}\mathbf{\text{\ mm}}$$

Gdzie:

n = 16 – liczba równań

u = 6 – liczba niewiadomych

δ = L − AX

1. Obliczenie macierzy wariancyjno-kowariancyjnej dla wyznaczonych parametrów

12.10439	-0.74606	-0.81588	0.01158	0.01358	0.01660
-0.74606	0.12938	0.01635	-0.00341	-0.00004	-0.00102
-0.81588	0.01635	0.13539	0.00003	-0.00352	-0.00110
0.01158	-0.00341	0.00003	0.00011	0.00000	0.00000
0.01358	-0.00004	-0.00352	0.00000	0.00011	0.00000
0.01660	-0.00102	-0.00110	0.00000	0.00000	0.00007
Cov(X)

1. Obliczenie odchyleń standardowych poszczególnych parametrów modelu

Odchylenia liczymy jako pierwiastki wartości znajdujących się na przekątnej macierzy wariancyjno-kowariancyjnej.

	[mm]
a0	3.48
a1	0.36
a2	0.37
a3	0.01
a4	0.01
a5	0.01

1. Obliczenie współczynnika korelacji macierzy wielorakiej

W tym przypadku korzystamy z danych (L’L’) obliczonych już dla pierwszego modelu.

$$R^{2} = 1 - \ \frac{\sum_{}^{}\text{δδ}}{\sum_{}^{}{L^{'}L^{'}}} = 0.996$$

Gdzie:

L’ – L – Lśr

1. Wyznaczenie przedziałów ufności dla parametrów modelu na poziomie ufności 1 – α = 0.90

Z tablic odczytano kwantyl rozkładu T-Studenta t(0.95,13) = 1.81246

Przedział ufności definiujemy za pomocą wzoru:

$${(a}_{i} - \sigma_{\text{ai}}*t\left( 1 - \frac{\alpha}{2},k \right)\ ;\text{\ a}_{i} + \sigma_{\text{ai}}*t\left( 1 - \frac{\alpha}{2},k \right))$$

	min [m]	max [mm]
a0	3.58	16.19
a1	0.62	1.92
a2	-2.07	-0.73
a3	-0.20	-0.17
a4	0.09	0.12
a5	0.04	0.07

1. Estymacja dla nieznanej wartości przeciętnej na poziomie prawdopodobieństwa 0.90

$${\pm \ \sigma}_{\text{ai}}*t\left( 1 - \frac{\alpha}{2},k \right) = \pm \ 7.7\text{\ mm}$$

1. Wyznaczenie przemieszczenia i odchylenia standardowego w punkcie o współrzędnych (15.00,15.00)

Z równania modelu Δz = a₀+a₁x+a₂y + δ wyznaczono wartość Δz dla punktu (15.00,15.00).

Δz_{15.00, 15.00} = 1.9 mm

$$\sigma_{\Delta z_{15.00,15.00}} = \ \sigma_{\text{ai}}*\sqrt{F^{T}QF} = 2.2\text{\ mm}$$

1. Wnioski

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, iż model pierwszy nie jest zbyt dobry do odzwierciedlenia posiadanych danych. Świadczy o tym między innymi współczynnik macierzy wielorakiej oraz estymator odchylenia standardowego. Odchyłki od modelu są stosunkowo duże i maksymalnie wynoszą 40.1 mm. Wartości te świadczą o małej dokładności stworzonego modelu, zaleca się również nie korzystanie z tego modelu przy jakichkolwiek analizach z nim związanych.

Natomiast drugi model bardzo dobrze przedstawia posiadane dane. Współczynnik macierzy wielorakiej wyniósł 0.996, co świadczy o bardzo dobrym wpasowaniu modelu w dane. Świadczy o tym również estymator odchylenia standardowego, który wyniósł 4.2 mm.

Z uwagi na to, iż nie znaleziono żadnych nieistotnych parametrów w tym modelu (tj. parametrów, dla których odchylenie standardowe było większe od samego parametru) nie obliczano modelu trzeciego z odrzuconymi parametrami tego typu. Model drugi posiada wystarczającą dokładność do przedstawienia posiadanych danych.

Oba modele zostały również przedstawione w postaci graficznej jako barwne mapy warstwicowe dołączone do niniejszego sprawozdania.