1. Dla układu o transmitancji: $G\left( s \right) = \frac{2}{\left( s + 2 \right)^{2}\left( s + 1 \right)}\backslash n$-podać bieguny układu,
   - wyznaczyć macierze A, B, C, D dla fazowych zmiennych stanu
   - podać możliwe postacie postaci kanonicznej Jordana J z zaznaczeniem bloków i klatek.

2. Da sterowalnego układu opisanego w przestrzeni stanów równaniami:
   $\frac{d\overset{\overline{}}{x}(t)}{\text{dt}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 \\ \end{bmatrix}\overset{\overline{}}{x}\left( t \right) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ \end{bmatrix}u(t)$ $\text{\ \ \ \ \ y}\left( t \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\overset{\overline{}}{x}(t)$

Wymagane jest następujące rozmieszczenie biegunów układu: p₁^w = −2 + 2j;  p₃^w = −10

-podać położenie bieguna p₂^* dla układu rzeczywistego,
- wyznaczyć wektor wzmocnień K sprzężenia od stanu
- wyznaczyć macierz stanu A_k układu ze sprzężeniem zwrotnym od stanu

1. Podać warunki sterowalności i obserwowalności układu opisanego równaniami stanu w postaci kanonicznej Jordana. Odpowiedź uzasadnić.

2. Dla układu podanego schematem
   - wyznaczyć stopień astatyzmu,
   - podać postacie sygnału u(t) dla których uchyb ustalony będzie tożsamościowo równy zeru, odpowiedź uzasadnić,
   - podać stan sygnału u(t) dla którego uchyb ustalony będzie miał wartość stałą różną od zera, odpowiedź uzasadnić.

3. Przedstawić strukturę normalnej postaci kanonicznej Jordana macierzy . Wyjaśnić pojęcie bloku i klatki Jordana.

4. Podać wymaganą postać macierzy B aby układ był sterowalny. Odpowiedź uzasadnić.
   $\frac{d\overset{\overline{}}{x}(t)}{\text{dt}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 2 \\ \end{matrix} & | & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ - & + & - \\ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} & | & \begin{matrix} - 5 & 1 \\ 0 & - 5 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\overset{\overline{}}{x}\left( t \right) + \begin{bmatrix} \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ \end{matrix} \\ b_{4} \\ b_{5} \\ \end{bmatrix}u(t)$

5. Dla sterowalnego układu opisanego w przestrzeni stanów równaniami
   $\frac{d\overset{\overline{}}{x}\left( t \right)}{\text{dt}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 5 & - 6 \\ \end{bmatrix}\overset{\overline{}}{x}\left( t \right) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}u\left( t \right)$ $\text{\ \ \ \ \ y}\left( t \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\overset{\overline{}}{x}\left( t \right)$
   wymagane jest następujące rozmieszczenie biegunów układu:
   p₁^w = −10 p₂^w = −2 + 4j p₃^w = −2 + bj j²=-1
   - podać wartość części urojonej bieguna p₃^*

- wyznaczyć wektor wzmocnień K sprzężenia od stanu
- wyznaczyć macierz stanu A_k układu ze sprzężeniem zwrotnym od stanu

1. Dla układu podanego schematem
   - transmitancję uchybową względem sygnału zadanego u(t),
   - transmitancję uchybową względem sygnału zadanego z(t),
   - transmitancję uchybu e(s) jeżeli $u\left( s \right) = \frac{A}{s^{2}};z\left( s \right) = \frac{B}{s}$
   A=const B=const

2. Podać wymaganą postać macierzy B aby układ był sterowalny. Odpowiedź uzasadnić.
   $\frac{d\overset{\overline{}}{x}(t)}{\text{dt}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} - 5 & 1 \\ 0 & - 5 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\overset{\overline{}}{x}\left( t \right) + \begin{bmatrix} \begin{matrix} b_{11}b_{12} \\ b_{21}b_{22} \\ b_{31}b_{32} \\ \end{matrix} \\ b_{41}b_{42} \\ b_{51}b_{52} \\ \end{bmatrix}u(t)$ $\text{\ \ \ \ \ }y\left( t \right) = \begin{bmatrix} c_{1}\ & \begin{matrix} c_{2} & c_{3} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ }c_{4} & c_{5} \\ \end{bmatrix}\overset{\overline{}}{x}\left( t \right)$

- zaznaczyć podział macierzy na bloki Jordana oraz podział bloków na klatki,

- podać warunki pod jakimi układ jest sterowalny, odpowiedź uzasadnić
- podać warunki pod jakimi układ jest obserwowalny, odpowiedź uzasadnić.

1. Dla sterowalnego układu opisanego w przestrzeni stanów równaniami
   $\frac{d\overset{\overline{}}{x}\left( t \right)}{\text{dt}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & - 2 \\ \end{bmatrix}\overset{\overline{}}{x}\left( t \right) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ \end{bmatrix}u\left( t \right)$ $\text{\ \ \ \ \ y}\left( t \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\overset{\overline{}}{x}\left( t \right)$

- wyznaczyć wartości własne macierzy stanu,
- wyznaczyć wektor wzmocnień K sprzężenia od stanu tak aby wartości własne macierzy stanu były następujące:
p₁^w = −5 p₂^w = −2 + j p₃^w = −2 − j j²=-1

- wyznaczyć macierz stanu A_k układu ze sprzężeniem zwrotnym od stanu

1. Dla układu podanego schematem
   - transmitancję uchybową względem sygnału zadanego u(t),
   narysować odpowiedni schemat,
   - transmitancję uchybową względem sygnału zadanego z(t),
   narysować odpowiedni schemat,
   - transmitancję uchybu e(s) jeżeli $u\left( s \right) = \frac{A}{s^{2}};z\left( s \right) = \frac{B}{s}$
   A=const B=const

$$a_{4}\frac{d^{4}y(t)}{\text{dt}} + a_{3}\frac{d^{3}y(t)}{\text{dt}} + a_{2}\frac{d^{2}y(t)}{\text{dt}} + a_{1}\frac{dy(t)}{\text{dt}} + a_{0}y\left( t \right) = b_{0}u(t)$$